Окружность и круг ИТ
Вписанный и центральный углы окружности диаметра $$10$$ опираются на одну и ту же дугу $$AC$$. Если вписанный угол равен $$30^o$$, то длина дуги $$AC$$ равна:
- Угол называется центральным, если его вершина лежит в центре окружности, а стороны являются радиусами окружности. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.
- Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны являются непересекающимися хордами этой окружности. Вписанный в окружность угол равен половине соответствующего ему центрального угла.
- Длина дуги окружности радиуса $$R$$ c центральным углом $$n^o$$: $$l=\frac{2\pi R}{360^o}n^o$$.
- Если $$\angle ABC=30^o$$, то $$\angle AOC=60^o$$ (рис. 8.7).
- Найдем длину дуги $$AC$$: $$l=\frac{2\pi \cdot 5 \cdot 60^o}{360^o}=\frac{2\pi \cdot5}{6}=\frac{5\pi}{3}$$.
Диаметр окружности состоит из двух ее радиусов: $$D=2R$$.
Если вписанный в окружность угол $$ACB$$, одна из сторон которого проходит через диаметр окружности, равный $$8$$, равен $$60^0$$, то площадь сегмента, отсекаемого от круга хордой $$AB$$, равна:
- Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны являются непересекающимися хордами этой окружности.
- Круговым сегментом называют часть круга, ограниченного хордой и дугой окружности, стягивающей эту хорду.
- Площадь кругового сектора радиуса $$R$$ с центральным углом $$n^o$$: $$S_{c}=\frac{\pi R^{2}}{360^{\circ}}n^{\circ}$$.
- Площадь треугольника: $$S=\frac{1}{2}absin\alpha$$, где $$a$$ и $$b$$ – стороны треугольника, $$\alpha$$ – угол между ними.
- Если диаметр окружности равен $$8$$, то ее радиус равен $$4$$. Треугольник $$COB$$ – равносторонний с углами $$60^o$$ (рис. 8.8). Следовательно, $$\angle BOA=180^o-60^o=120^o$$ (как смежный с углом $$COB$$).
- Найдем площадь сектора $$BOAD$$: $$S_{c}=\frac{16\pi}{360^{\circ}}\cdot 120^{\circ}=\frac{16\pi}{3}$$.
- Найдем площадь треугольника $$BOA$$: $$S_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot sin120^o$$, $$S_{\Delta}=8 \cdot \frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3$$.
- Найдем площадь сегмента $$BAD$$: $$S=S_{c}-S_{\Delta }$$, $$S=\frac{16\pi}{3}-4\sqrt{3}$$, $$S=\frac{16\pi -12\sqrt{3}}{3}$$.
- Сумма смежных углов равна $$180^o$$.
- Длина радиуса окружности равна половине длины его диаметра.
К окружности из одной точки проведены касательная и секущая так, что длина касательной в два раза меньше длины секущей. Если внутренний отрезок секущей равен $$4$$, то длина касательной равна:
Свойство касательной и секущей: если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению секущей и ее внешней части.
На рисунке 8.10:
$$AB$$ – касательная, а $$AD$$ – секущая, причем $$CD=4$$.
По свойству касательной и секущей:
$$AB^2=AD \cdot AC$$,
- Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку.
- Секущей называют прямую, имеющую с окружностью две общие точки.
- Деление уравнения $$(x+4)^2=4(x+4)x$$ на множитель $$x+4$$ в данном случае допустимо, так как мы теряем корень уравнения $$x=-4$$, который согласно условию задачи посторонний.
Если площадь круга равна $$3,14^2$$, то длина окружности, огранивающей этот круг, равна:
- Длина окружности радиуса $$R$$: $$C=2\pi R$$.
- Площадь круга радиуса $$R$$: $$S=\pi R^2$$.
- Так как $$S=3,14^2$$, то $$\pi R^2=3,14^2$$, $$R^2=\frac{3,14^2}{\pi}$$, $$R=\frac{3,14}{\sqrt\pi}$$.
- Тогда, $$C=\frac{2\pi\cdot 3,14}{\sqrt\pi}=6,28\sqrt\pi$$.
-
Число $$\pi$$ – иррациональное:
- $$\pi=3,14159...$$, но $$\pi\neq 3,14$$.
Через точку $$P$$, лежащую внутри круга, проведен диаметр$$AB$$ и хорда $$CD=13$$. Если $$BP=3$$, а радиус окружности равен $$7,5$$, то длина большего из отрезков, на которые точка $$P$$ делит хорду $$CD$$, равна:
- Хордой называют отрезок, соединяющий две точки окружности.
- Диаметром окружности называют хорду, проходящую через центр окружности.
- Свойство пересекающихся хорд . Если через точку $$P$$, лежащую внутри окружности, проведены две хорды $$AB$$ и $$CD$$, то произведения отрезков хорд равны: $$AP\cdot BP=CP\cdot DP$$.
- Если радиус окружности равен $$7,5$$, то диаметр $$AB$$ равен $$15$$.
Тогда $$AP=AB-PB=12$$ (рис. 8.9). - Пусть $$CP=x$$, тогда $$DP=13-x$$.
По свойству пересекающихся хорд:
$$AP \cdot BP=CP \cdot DP$$,$$12 \cdot3=x \cdot(13-x)$$,
$$13x-x^2-36=0$$,
$$x^2-13x+36=0$$,
откуда $$x=4$$ или $$x=9$$.
Следовательно, длина большего из отрезков, на которые точка $$P$$ делит хорду $$CD$$,
равна $$9$$.
Длина радиуса окружности равна половине длины ее диаметра.
Если разность между площадью квадрата и площадью описанного около него круга равна
$$4\pi-8$$, то длина гипотенузы прямоугольного треугольника, вписанного в этот круг, равна:- Площадь круга радиуса $$R$$ находят по формуле: $$S=\pi R^2$$.
- Площадь квадрата с диагональю $$d$$ находят по формуле: $$S=\frac{1}{2}d^2$$.
- Радиус окружности, описанной около квадрата с диагональю $$d$$ находят по формуле: $$R=\frac{d}{2}$$.
- Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с гипотенузой $$c$$ находят по формуле: $$R=\frac{c}{2}$$.
- Согласно условию задачи:
$$S_{kr}-S_{kv}=4\pi-8$$, $$\pi R^2-\frac{1}{2}d^2=4\pi-8$$.
Так как $$d=2R$$, то $$\pi R^2-\frac{1}{2}\cdot 4R^2=4\pi-8$$, $$\pi R^2-2R^2=4\pi-8$$, $$R^2(\pi-2)=4(\pi-2)$$, $$R^2=4$$, $$R=2$$. - Найдем гипотенузу треугольника, вписанного в эту окружность:
$$c=2R=4$$.
Свойства описанной окружности:
1) около любого треугольника можно описать окружность;
2) около четырехугольника можно описать окружность, если суммы его противолежащих углов равны.
В правильный треугольник вписана окружность и около него описана окружность. Если сторона треугольника равна $$\sqrt6$$, то площадь образовавшегося кольца равна:
- Окружность вписана в $$n$$-угольник, если она касается всех его сторон.
- Если $$R$$ – радиус описанной, $$r$$ – радиус вписанной окружности, то для равностороннего треугольника со стороной $$a$$: $$R=\frac{a}{\sqrt3}$$, $$r=\frac{a}{2\sqrt3}$$.
- Площадь круга радиуса $$R$$: $$S=\pi R^2$$.
Так как $$a=\sqrt6$$, то $$R=\frac{\sqrt6}{\sqrt3}=\sqrt2$$, а $$r=\frac{\sqrt6}{2\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt2}$$.
Тогда: $$S_1=\pi R^2=2\pi$$, а $$S_2=\pi r^2=0,5\pi$$.
Найдем площадь кольца: $$S_1-S_2=2\pi-0,5\pi=1,5\pi$$.В любой треугольник можно вписать окружность.
Если окружность, центр которой расположен на большей стороне треугольника, делит эту сторону на отрезки $$4$$ и $$8$$ и касается двух других его сторон, длина одной из которых равна $$5$$, то периметр треугольника равен:
- Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы его внутреннего угла, заключенный между вершиной треугольника и точкой пересечения биссектрисы угла и стороны треугольника.
- Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Случай 1. Согласно свойству биссектрисы треугольника (рис.8.12) запишем:
$$\frac{5}{4}=\frac{x}{8}$$, откуда $$x=10$$. Тогда, $$P=5+10+12=27$$. Случай 2. Аналогично (рис. 8.13) $$\frac{x}{4}=\frac{5}{8}$$, откуда $$x=2,5$$, что не возможно, так как $$2,5+5<4+8$$.Длина стороны треугольника должна быть меньше суммы длин двух других его сторон.
Если длина дуги кругового сектора с центральным углом $$120^o$$ равна $$\frac{4\pi}{3}$$, то, площадь кругового сектора, ограниченного этой дугой, равна:
- Длина дуги окружности радиуса $$R$$ c центральным углом в $$n^o$$: $$l=\frac{2\pi R}{360^o}n^o$$.
- Площадь кругового сектора радиуса $$R$$ с центральным углом в $$n^o$$: $$S_{c}=\frac{\pi R^{2}}{360^{\circ}}n^{\circ}$$.
- Зная длину дуги, запишем: $$\frac{2\pi R}{360^o}\cdot 120^o=\frac{4\pi}{3}$$, $$\frac{2R}{3}=\frac{4}{3}$$, откуда $$R=2$$.
- Найдем площадь сектора: $$S_{c}=\frac{4\pi}{360^{\circ}}\cdot 120^{\circ}=\frac{4\pi }{3}$$.
Круговым сектором называют часть круга, ограниченного центральным углом и дугой, на которую опирается этот угол.
В прямоугольную трапецию вписана окружность, которая в точке касания делит ее боковую сторону на отрезки $$3$$ и $$4$$. Если радиус окружности равен $$3$$, то средняя линия трапеции равна:
- Окружность вписана в $$n$$-угольник, если она касается всех его сторон.
- В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы длин его противолежащих сторон равны.
- Если в трапецию высоты $$h$$ можно вписать окружность радиуса $$r$$, то $$h=2r$$.
- Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований.
- Согласно условию задачи и рисунку 8.11, запишем: $$CD=7$$, $$h=2r=AB=6$$.
- По свойству четырехугольника, описанного около окружности, получим: $$AB+DC=BC+AD$$, $$6+7=BC+AD$$, $$BC+AD=13$$.
- Найдем среднюю линию трапеции: $$\frac{BC+AD}{2}=\frac{13}{2}=6,5$$.
Окружность нельзя вписать в прямоугольник и параллелограмм, но можно вписать в квадрат и в ромб.