Загрузка

Многогранники

Если высота правильной треугольной пирамиды равна $$4$$, а сторона ее основания равна $$6\sqrt{3}$$, то длина апофемы равна:

1. Пирамидой называют многогранник, одна грань которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной. Многоугольник является основанием пирамиды, а треугольники – боковыми гранями.
2. Высотой пирамиды называют отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к плоскости ее основания. 
3. Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота опускается в центр вписанной и описанной окружности многоугольника, лежащего в основании пирамиды. 
4 .Высоту боковой грани правильной пирамиды, проведенную из ее вершины, называют апофемой.
5. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $$a$$ находят по формуле:
$$r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$$ .
1. Найдем радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: 
$$r=\frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=3$$ .

На рисунке 9.3 $$OE=r=3$$.

2. Так как $$OE\perp CB$$ , то и $$DE\perp CB$$  (по теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, $$DE$$ – апофема.
По теореме Пифагора: 

$$DE=\sqrt{DO^{2}+OE^{2}}$$, $$DE=\sqrt{16+9}=5$$.

Теорема о трех перпендикулярах: для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна проекции этой наклонной на плоскость.

Выберите один из вариантов

Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $$45^{\circ}$$ . Если площади оснований пирамиды равны $$8$$ и $$32$$, то ее утроенный объем равен:

  1. Усеченной пирамидой называют многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды. Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники.
  2. Площадь квадрата с диагональю $$d$$:

    $$S=\frac{d^{2}}{2}$$.
  3. Объем усеченной пирамиды находят по формуле:

    $$V=\frac{1}{3}h(S_{1}+S_{2}+\sqrt{S_{1}S_{2}})$$,

    где $$S_{1}$$ и $$S_{2}$$ – площади оснований, $$h$$ – ее высота.
  1. Диагональное сечение пирамиды – равнобокая трапеция $$ABCD$$ (рис. 9.8).
  2. Так как основания усеченной пирамиды – квадраты и площади их соответственно равны $$8$$ и $$32$$, то:
  3. 1) $$8=\frac{d_{1}^{2}}{2}$$, откуда $$d_{1}=4$$ , а $$\frac{d_{1}}{2}=2$$;

    2) $$32=\frac{d_{2}^{2}}{2}$$, откуда $$d_{2}=8$$, а $$\frac{d_{2}}{2}=4$$.
  4. Тогда: $$DP=OD-OP$$, $$DP=\frac{d_{2}}{2}-\frac{d_{1}}{2}$$, $$DP=4-2=2$$.
  5. Треугольник $$CPD$$ – равнобедренный ($$\angle C=\angle D=45^{\circ}$$).

    Значит, $$CP=2=h$$.
  6. Найдем объем пирамиды: 

    $$V=\frac{1}{3}\cdot 2(8+32+\sqrt{8\cdot 32})$$, $$V=\frac{2}{3}\cdot (40+16)=\frac{112}{3}$$.
  7. Тогда, $$3V=112$$.

Если пирамида правильная, то ее основание – правильный многоугольник.

Введите ответ в поле

Если основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $$6$$ и $$8$$, а все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $$45^{\circ}$$, то объем пирамиды равен:

  1. Если все боковые ребра пирамиды равны (или наклонены к плоскости основания пирамиды под одним и тем же углом), то высота пирамиды опускается в центр окружности, описанной около ее основания.
  2. Площадь прямоугольного треугольника с катетами $$a$$ и $$b$$:

    $$S=\frac{ab}{2}$$ .
  3. Объем пирамиды:

    $$V=\frac{1}{3}S$$осн.$$\cdot h$$ .

Высота пирамиды опускается в центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника $$ABC$$, точку $$O$$, расположенную на середине гипотенузы $$AB$$ (рис. 9.5).

По теореме Пифагора найдем гипотенузу треугольника $$ABC$$

$$AB=\sqrt{CA^{2}+CB^{2}}$$, $$AB=\sqrt{64+36}=10$$.
Тогда $$AO=5$$ , а так как треугольник $$AOS$$ равнобедренный, то и $$SO=5=h$$.

Найдем площадь основания пирамиды:

$$S=\frac{8\cdot 6}{2}=24$$
Найдем объем пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 24\cdot 5=40$$.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, расположен на середине его гипотенузы.

Выберите один из вариантов

Если большая диагональ правильной шестиугольной призмы равна $$2$$ и образует с высотой угол $$60^{\circ}$$, то площадь боковой поверхности призмы равна:

Площадь боковой поверхности прямой призмы высоты $$h$$ находят по формуле:

$$S$$бок.$$=P$$осн.$$\cdot h$$.

Согласно рисунку 9.2 в треугольнике $$ACD$$ гипотенуза $$AC=2$$ , $$\angle ACD=60^{\circ}$$.

Тогда $$\angle CAD=30^{\circ}$$, а $$CD=1$$   (как катет, лежащий против угла  $$30^{\circ}$$). 

Из теоремы Пифагора: 
$$AD=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$$.
Так как $$AD=2a$$ , то $$a=\frac{\sqrt{3}}{2}$$   – сторона шестиугольника.
Тогда, $$S_{bok.}=6a\cdot h$$, $$S_{bok.}=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=3\sqrt{3}$$.
  1. Правильной призмой называют прямую призму, основанием которой является правильный многоугольник.
  2. Диагональю призмы называют отрезок, соединяющий две ее вершины, не принадлежащие одной грани.
Выберите один из вариантов

Основание пирамиды – равнобокая трапеция с углом $$30^{\circ}$$, а все боковые грани образуют с плоскостью основания углы, тангенс которых равен $$ 1,5\sqrt{3}$$.

Если высота пирамиды равна $$3\sqrt{3}$$ , то площадь ее основания равна:

1. Теорема о трех перпендикулярах: для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна проекции этой наклонной на плоскость.
2. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего углу катета этого треугольника к прилежащему к нему катету.
3. Радиус окружности, вписанной в трапецию:

$$r=\frac{h}{2}$$
где $$h$$ – высота трапеции. 
4. Площадь трапеции:

$$S=\frac{1}{2}(a+b)h$$
где $$a,b$$ – основания, $$h$$ – высота.
5. Объем пирамиды: 
  $$V=\frac{1}{3}S$$осн.$$h$$.
1. На рисунке 9.7:
точка $$O$$ – центр окружности, вписанной в трапецию

$$ABCD$$;

$$PO=r$$ – радиус окружности, вписанной в трапецию;

$$SP\perp AD$$ по теореме о трех перпендикулярах.
2. Так как $$tg\angle SPO=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$ и $$tg\angle SPO=\frac{SO}{PO}$$, то

$$\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{PO}$$ , откуда $$PO=2=r$$.

Тогда $$BK=2r=4$$ – высота трапеции и катет треугольника $$ABK$$, который лежит против угла $$30^{\circ}$$. Следовательно, $$AB=8$$
3. Так как сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон и равна $$16$$, то площадь трапеции равна:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 4=32$$.

В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы длин его противолежащих сторон равны.

Введите ответ в поле

Если радиус окружности, описанной около грани правильного тетраэдра, равен $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$, то объем тетраэдра равен:

  1. Треугольную пирамиду называют тетраэдром. Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны.
  2. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $$a$$:

    $$R=\frac{a}{\sqrt{3}}$$ .
  3. Площадь правильного треугольника со стороной $$a$$:

    $$S=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}$$ .
  4. Объем пирамиды:

    $$V=\frac{1}{3}S$$осн.$$h$$ .

  1. Зная, что $$R=\frac{2}{\sqrt{3}}$$, найдем ребро тетраэдра:

    $$\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$$ , $$a=2$$ (рис. 9.4).
  2. Найдем высоту пирамиды: 

    $$DO=\sqrt{DA^{2}-OA^{2}}$$, $$DO=\sqrt{4-\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$.
  3. Найдем площадь основания пирамиды:

    $$S=\frac{\sqrt{3}\cdot 4}{4}=\sqrt{3}$$.
  4. Найдем объем пирамиды:

    $$V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$.

Различайте правильную треугольную пирамиду и правильный тетраэдр.

У правильной треугольной пирамиды основание – правильный треугольник, а боковые ребра хоть и равны между собой, но не обязательно, что они равны ребрам основания пирамиды.

Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, у которой все ребра равны.

Выберите один из вариантов

Если диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $$\sqrt{58}$$, а его измерения относятся как $$2:3:4$$, то объем параллелепипеда равен:

  1. Прямоугольным параллелепипедом называют прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.
  2. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:

    $$d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$$,

    где $$a,b,c$$ – длины ребер, выходящих из одной вершины, $$d$$ – диагональ параллелепипеда.
  3. Объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями $$a,b$$ и $$c$$ находят по формуле:

    $$V=abc$$ .

    Пусть коэффициент пропорциональности равен $$k$$.

    Запишем измерения параллелепипеда:

    $$a=2k$$, $$b=3k$$ и $$c=4k$$.

    По свойству диагонали параллелепипеда:

    $$58=4k^{2}+9k^{2}+16k^{2}$$, $$29k^{2}=58$$, $$k^{2}=2$$, $$k=\sqrt{2}$$.

    Тогда, $$V=abc=24k^{3}=48\sqrt{2}$$.

    Длины ребер, выходящих из одной вершины параллелепипеда, называют его измерениями.

    Выберите один из вариантов

    Основание пирамиды – ромб с острым углом $$30^{\circ}$$ и площадью $$50$$. Если двугранные углы при основании пирамиды равны, а ее высота равна $$5\sqrt{3}$$, то площадь боковой поверхности пирамиды равна:

    1. Если боковые грани пирамиды наклонены к ее основанию под одним и тем же углом (двугранные углы при сновании равны), то высота пирамиды опускается в центр окружности, вписанной в ее основание.
    2. Площадь ромба:

    $$S=a^{2}sin\alpha$$
    где $$a$$ – сторона, $$\alpha$$ – угол ромба.

    3. Площадь ромба:
     $$S=ah$$
    где $$h$$ – высота ромба. 
    4. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:

    $$S$$бок.$$=\frac{1}{2}P$$осн.$$\cdot h$$бок.
    где $$h$$бок. – апофема пирамиды.

    На рисунке 9.6: 

    точка $$O$$ – центр вписанной окружности; 

    $$SO=h=5\sqrt{3}$$

    $$SP$$ – высота боковой грани, так как $$OP\perp DC$$.

    1. Найдем сторону ромба:

      $$50=a^{2}sin30^{\circ}$$ , $$50=a^{2}\cdot \frac{1}{2}$$ , $$a=10$$.
    2. Найдем высоту ромба:

      $$S=ah$$ , $$50=10h$$, $$h=5$$.

      Тогда радиус окружности, вписанной в ромб, равен $$2,5$$ – на рисунке 9.6 отрезок $$PO$$.
    3. Найдем высоту боковых граней пирамиды: 

      $$SP=\sqrt{OP^{2}+SO^{2}}$$, $$SP=\sqrt{\frac{25}{4}+75}$$, $$SP=5\sqrt{\frac{1}{4}+3}=\frac{5\sqrt{13}}{2}$$.
    4. Найдем боковую поверхность пирамиды: 

      $$S_{bok.}=\frac{1}{2}\cdot 4a\cdot SP$$, $$S_{bok.}\frac{1}{3}\cdot 40\cdot \frac{5\sqrt{13}}{2}=50\sqrt{13}$$.

    1. Двугранным углом при основании пирамиды называют угол между плоскостью ее боковой грани и плоскостью основания пирамиды.
    2. В нашем случае пирамида не является правильной, но боковые грани – равные треугольники, поэтому справедливо, что $$S$$бок.$$=\frac{1}{2}P$$осн.$$\cdot h$$бок.
    Выберите один из вариантов

    Если радиус окружности, описанной около грани куба, равен $$\sqrt{6}$$ , то площадь поверхности куба равна:

    1. Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной $$a$$:

      $$R=\frac{d}{2}$$ .
    2. Площадь квадрата со стороной $$a$$ и диагональю $$d$$:

      $$S=a^{2}$$; $$S=\frac{1}{2}d^{2}$$.
    3. Площадь поверхности куба с ребром $$a$$:

      $$S$$пов.$$= 6a^{2}$$.
      1. Так как грань куба – квадрат и $$R=\sqrt{6}$$ , то $$\sqrt{6}=\frac{d}{2}$$ , а $$d=2\sqrt{6}$$ – диагональ квадрата.
      2. Найдем площадь квадрата:

        $$S=\frac{1}{2}d^{2}$$, $$S=\frac{1}{2}(2\sqrt{6})^{2}=12=a^{2}$$.
      3. Тогда, $$S$$пов.$$=6\cdot 12=72$$.

      Все ребра куба равны, а поверхность куба состоит из шести равных квадратов.

      Выберите один из вариантов

      Если стороны основания параллелепипеда имеют длины $$3$$ и $$\sqrt{3}$$ образуют угол $$60^{\circ}$$, а его боковое ребро длины $$6$$ наклонено к плоскости основания под углом $$30^{\circ}$$, то объем параллелепипеда равен:

      1. Параллелепипедом называют призму, все грани которой параллелограммы.
      2. Объем наклонной призмы высоты $$h$$ можно вычислить по формуле:

        $$V=S$$осн.$$\cdot h$$.
      3. Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле:

        $$S=ab \cdot sin\alpha$$,

        где $$a,b$$ – смежные стороны, $$\alpha$$ – острый угол.

      На рисунке 9. 1: 

      $$AA_{1}=6$$ , $$\angle A_{1}AO=30^{\circ}$$ .

      Тогда, $$A_{1}O=3$$ (как катет, лежащий против угла $$30^{\circ}$$ ).

      Площадь основания:

      $$S=3\sqrt{3}sin60^{\circ}$$, $$S=3\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{2}$$.
      Объем: 
      $$V=\frac{9}{2}\cdot 3=13, 5$$ .

      Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, заключенный между основаниями призмы. Если призма прямая, то ее боковые ребра – высоты.

      Выберите один из вариантов