Комбинации многогранников и тел вращения ИТ
Если сфера вписана в цилиндр, площадь поверхности которого равна $$12\pi$$, то площадь поверхности сферы равна:
Осевое сечение цилиндра – квадрат.
Тогда, если радиус основания цилиндра $$r$$, то его образующая $$l=2r=h$$ и радиус шара $$R=r$$.
Согласно условию задачи:
$$2\pi r^2+2\pi rl=12\pi$$, $$r^2+rl=6$$, $$r^2+2r^2=6$$, $$3r^2=6$$, $$r^2=2$$, $$r=\sqrt2$$.Тогда: $$R=\sqrt2 $$ и $$S=4\pi \sqrt2^2=8\pi$$.
Окружность можно вписать в квадрат, но нельзя вписать в прямоугольник.
Если в прямой параллелепипед, одна из диагоналей которого равна $$2\sqrt3$$ и равна его стороне, можно вписать шар, то объем параллелепипеда будет равен:
- Шар вписан в многогранник, если он касается всех граней многогранника.
- Если шар вписан в прямую призму, то его радиус равен половине высоты призмы и радиусу окружности, вписанной в ее основание.
- Площадь ромба: $$S=a^2\sin \alpha$$ или $$S=ah$$, где $$a$$ - сторона, $$h$$ - высота, $$\alpha$$ - угол ромба.
- Объем параллелепипеда: $$V=S\cdot H$$, где $$H$$- высота.
- Окружность можно вписать в квадрат или в ромб. Но диагональ квадрата не может быть равна его стороне. Диагональ ромба может быть равна его стороне, если угол ромба равен $$60^{\circ}$$. Следовательно, основание параллелепипеда – ромб.
- Найдем высоту ромба. Так как $$a^2sin\alpha=ah$$, то $$asin\alpha=h$$, $$2\sqrt3 sin60^{\circ}=h$$, $$2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=h$$, $$h=3$$.
- Найдем площадь ромба: $$S=ah=2\sqrt3\cdot3=6\sqrt3$$.
- Найдем высоту параллелепипеда: $$H=2r=h=3$$.
- Найдем объем параллелепипеда: $$V=S\cdot H=6\sqrt3\cdot3=18\sqrt3$$.
Окружность можно вписать в квадрат и ромб, но нельзя вписать в прямоугольник и параллелограмм.
Если шар касается всех граней треугольной призмы с ребрами оснований $$5$$ см, $$5$$ см и $$6$$ см, то площадь боковой поверхности призмы равна:
- Шар вписан в многогранник, если он касается всех граней многогранника.
- Если шар вписан в прямую призму, то его радиус равен половине высоты призмы и радиусу окружности, вписанной в ее основание.
- Радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами $$a,b,c$$ и площадью $$S$$: $$r=\frac{2S}{a+b+c}$$.
- Формула Герона: $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$a,b,c$$ - стороны, $$p=\frac{a+b+c}{2}$$ - полупериметр треугольника.
- Площадь боковой поверхности призмы высоты $$h$$: $$S= $$$$P$$осн.$$\cdot h$$.
- Найдем площадь основания призмы: $$p=\frac{5+5+6}{2}=8$$, $$S=\sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)}=12$$.
- Найдем радиус окружности, вписанной в основание призмы: $$r=\frac{2\cdot12}{5+5+6}=\frac{3}{2}$$.
- Найдем высоту призмы: $$h=2r=3$$.
- Найдем боковую поверхность призмы: $$S=16\cdot3=48$$.
Не во всякую призму можно вписать шар.
Если около конуса, высота которого равна $$6$$, описать шар радиуса $$4$$, то объем конуса будет равен:
- Шар описан около конуса, если вершина и окружность основания конуса лежат на поверхности шара. Центр шара лежит на прямой, содержащей ось конуса, и равноудален от вершины и точек окружности основания конуса.
- Объем конуса: $$V=\frac{1}{3}S\cdot h$$, где $$S=\pi r^2$$, $$h$$ - высота, $$r$$ - радиус основания.
На рисунке 9.16 показано осевое сечение конуса.
Так как $$BP=6$$, а $$OA=OB=R=4$$, то $$OP=6-4=2$$. Из теоремы Пифагора: $$r=\sqrt{16-4}=2\sqrt3$$. Найдем объем конуса:Решая задачи на комбинацию шара и других пространственных фигур, вовсе не обязательно рисовать шар, а достаточно лишь определить расположение его центра и радиуса по отношению к данной фигуре.
Если правильный тетраэдр вписан в конус, объем которого равен $$4\sqrt3\pi$$, то объем тетраэдра равен:
На рисунке 9.19 изображен правильный тетраэдр с ребром $$a$$, где $$R$$ - радиус основания, $$h$$ - высота конуса и тетраэдра.
- Учитывая, что $$R=\frac{a}{\sqrt3}$$, из теоремы Пифагора найдем $$h$$: $$h=\sqrt{a^2-R^2}$$, $$h=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{\sqrt2a}{\sqrt3}$$.
- Запишем объем конуса: $$\frac{\pi R^2h}{3}=4\sqrt3\pi$$, $$R^2h=12\sqrt3$$.
- Подставляя в равенство $$R^2h=12\sqrt3$$, $$R=\frac{a}{\sqrt3}$$ и $$h=\frac{\sqrt2a}{\sqrt3}$$, получим: $$\frac{a^2}{3}\cdot \frac{\sqrt2a}{\sqrt3}=12\sqrt3$$, $$a^3=\frac{12\cdot 9}{\sqrt2}$$, $$a^3=27\cdot 2\sqrt2$$, $$a=3\sqrt2$$.
- Найдем высоту тетраэдра: $$h=\frac{\sqrt2\cdot 3\sqrt2}{\sqrt3}=2\sqrt3$$.
- Найдем объем тетраэдра: $$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt3a^2}{4}\cdot 2\sqrt3$$, $$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt3\cdot 18}{4}\cdot 2\sqrt3=9$$.
Различайте тетраэдр (треугольную пирамиду) и правильный тетраэдр (треугольную пирамиду, у которой все ребра равны).
Правильная шестиугольная пирамида вписана в конус, объем которого равен $$\frac{32\pi}{3}$$. Если радиус основания конуса в два раза больше его высоты, то апофема пирамиды равна:
- Объем конуса: $$V=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot h$$, где $$R$$ - радиус основания, $$h$$ - высота конуса.
- Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды.
- Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $$a$$: $$r=\frac{a\sqrt3}{2}$$.
- Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника со стороной $$a$$:
$$R=a$$.
Так как пирамида вписана в конус, то на рисунке 9.20:
$$h$$ - высота конуса и высота пирамиды, $$R$$ - радиус основания конуса и радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника и $$R=2h$$.- Запишем объем конуса: $$\frac{32\pi}{3}=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot \frac{R}{2}$$, откуда $$R^3=64$$, $$R=4$$. Тогда: $$a=4$$, $$h=2$$.
- Найдем радиус окружности, вписанной в шестиугольник: $$r=\frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3$$.
- По теореме Пифагора найдем апофему пирамиды: $$CS=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{4+12}=4$$.
Решая задачи стереометрии, часто вовсе не обязательно изображать сами пространственные фигуры, а достаточно лишь выполнить некоторые фрагменты рисунка.
В шар вписан цилиндр, высота которого в два раза больше радиуса его основания. Если объем шара равен $$4\sqrt3\pi$$, то объем цилиндра равен:
На рисунке 9.18 построено осевое сечение цилиндра – прямоугольник $$ABCD$$. Точка $$O$$ – центр этого прямоугольника и центр шара.
- Найдем радиус шара: $$4\sqrt3\pi=\frac{4}{3}\pi R^3$$, $$\sqrt3=\frac{1}{3}R^3$$, $$3\sqrt3=R^3$$, $$R=\sqrt3$$.
- Найдем радиус цилиндра. По теореме Пифагора: $$R^2=2r^2$$, $$R=\sqrt2r$$, откуда $$r=\frac{R}{\sqrt2}=\frac{\sqrt3}{\sqrt2}$$.
- Найдем образующую цилиндра: $$l=2r=\frac{2\sqrt3}{\sqrt2}$$.
- Найдем боковую поверхность цилиндра: $$S_{\delta o\kappa. }=2\pi\cdot \frac{\sqrt3}{\sqrt2}\cdot \frac{2\sqrt3}{\sqrt2}=6\pi$$.
Различайте шар и сферу. Сфера – это поверхность шара.
Если объем куба равен $$2\sqrt2$$, то отношение радиусов описанного около куба шара и вписанного в этот куб шара равно:
$$d^2=3a^2$$,
где $$a$$ - ребро, а $$d$$ - диагональ куба.
- Зная объем куба, найдем его ребро: $$2\sqrt2=a^3$$, откуда $$a=\sqrt2$$.
- Найдем диагональ куба: $$d=\sqrt3a=\sqrt3\cdot\sqrt2=\sqrt6$$.
- Найдём радиусы шаров: $$R$$вп. $$=\frac{a}{2}=\frac{\sqrt2}{2}$$, $$R$$оп. $$=\frac{d}{2}=\frac{\sqrt6}{2}$$.
- Найдем отношение радиусов описанного около куба шара и вписанного в этот куб шара:
$$\frac{\sqrt6}{2}:\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt6}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt3$$.
В куб всегда можно вписать шар.
Если все вершины прямоугольного параллелепипеда с измерениями $$3$$, $$4$$ и $$5$$ лежат на поверхности шара, то площадь поверхности шара равна:
- Шар описан около многогранника, если все вершины многогранника лежат на поверхности шара.
- В прямоугольном параллелепипеде с высотой $$h$$ и диагональю $$d$$ центром вписанного и описанного шара является точка пересечения диагоналей параллелепипеда. Радиус описанного шара находят по формуле: $$R =\frac{d}{2}$$.
- Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: $$d^2 = a^2 + a^2 + c^2$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ – длины ребер, выходящих из одной вершины, $$d$$ – диагональ параллелепипеда.
- Площадь сферы радиуса $$R$$:
$$S=4\pi R^2$$.
- Найдем диагональ параллелепипеда: $$d=\sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$$.
- Найдем радиус шара: $$R=\frac{d}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$$.
- Найдем площадь поверхности шара: $$S=4\pi\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2=50\pi$$.
Поверхность шара – сфера.
Если в усеченный конус, образующая которого равна $$2\sqrt2$$ и наклонена к плоскости основания под углом $$45^\circ$$, вписать в шар, то площадь боковой поверхности конуса будет равна:
- Шар вписан в усеченный конус, если он касается оснований конуса в их центрах, а боковой поверхности – по окружности. Центр шара находится на оси конуса и равноудален от центров оснований и образующей конуса.
- Площадь поверхности усеченного конуса вычисляют по формуле:
$$S_{\delta o\kappa. }=\pi(R_{1}+R_{2})l$$,
где $$R_{1} $$и $$R_{2}$$ - радиусы оснований, $$h$$ - высота.
- На рисунке 9.17 построено осевое сечение конуса - равнобокая трапеция $$ABCD$$:
- Так как $$AB+CD=BC+AD$$ ( по свойству четырехугольника, в который вписана окружность), то $$BC+AD=4\sqrt2$$. Но $$BC=2R_1$$, а $$AD=2R_2$$ . Тогда, $$R_1+R_2=2\sqrt2$$.
- $$S_{bok}=\pi\cdot 2\sqrt2\cdot 2\sqrt2=8\pi$$ .
В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы длин его противолежащих сторон равны.