Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Студент
Матрицы и определители КТ 1
45.000

Матрицы и определители КТ 1

Ранг матрицы  $$\begin{bmatrix} 1& -2& 3 & 0\\ -1& -2& 4 &3 \\ 3& 5 &0 &1 \\ -2 &4&-6 & 0\end{bmatrix}$$ равен:
  1. С помощью элементарных преобразований приведем матрицу к треугольному виду:
    $$ \begin{bmatrix} 1 & -2 &3 &0 \\ -1 & -2 &4 &3 \\ 3 & 5 & 0 &1\\ -2 & 4 & -6 &0\end{bmatrix}$$; $$\begin{bmatrix} 1 & -2 &3 &0 \\ 0 & -4 &7 &3 \\ 0 & 11 & -9&1\\ 0 & 0 & 0 &0\end{bmatrix}$$; $$\begin{bmatrix} 1 & -2 &3 &0 \\ 0 & -4 &7&3\\0&0&41&29\end{bmatrix}$$. 
  2. Так как среди миноров третьего (высшего) порядка есть отличные от нуля, например,
    $$\begin{vmatrix} 1 & -2 &3 \\ 0 & -4 &7 \\ 0 & 0 & 41 \end{vmatrix}=1 \cdot (-4) \cdot 41=-164$$,
    то ранг матрицы $$A$$ равен $$3$$.
Введите ответ в поле
Если $$A=\begin{bmatrix} 2 &-1 & 0  \\ -3& 1 & 1 \\ 2& 0 &-1 \end{bmatrix}$$, то произведение элементов главной диагонали матрицы $$A^{-1}$$ равно:

  1. Найдем определитель матрицы $$A$$:
    $$|A|=-2-2+0-0+3-0=-1$$. 
  2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы $$A$$:
    $$A_{11}=(-1)^2=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}=-1$$, $$A_{12}=(-1)^3=\begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}=-1$$, $$A_{13}=(-1)^4=\begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}=-2$$,
    $$A_{21}=(-1)^3=\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}=-1$$, $$A_{22}=(-1)^4=\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}=-2$$, $$A_{23}=(-1)^5=\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}=-2$$, 
    $$A_{31}=(-1)^2=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}=-1$$, $$A_{32}=(-1)^5=\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ -3 & 1 \end{vmatrix}=-2$$, $$A_{33}=(-1)^6=\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix}=-1$$. 
  3. Найдем матрицу, обратную данной:
    $$A^{-1}=\frac {1}{|A|}\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{bmatrix}$$,
    $$A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2& 2 & 1 \end{bmatrix}$$. 
  4. Найдем произведение элементов главной диагонали матрицы $$A^{-1}$$:
    $$1\cdot 2\cdot 1=2$$.
Введите ответ в поле
Если $$A=\begin{bmatrix} 2 & 1\\5 & -2\end{bmatrix}$$, $$E=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$$, то решение уравнения $$5X=E^2+2A$$ имеет вид:
  1. Умножим все элементы матрицы $$A$$ на число $$2$$:
    $$2A=2 \cdot \begin{bmatrix}2 & 1\\5 & -2\end{bmatrix}$$; $$2A=\begin{bmatrix}4 & 2\\10 & -4\end{bmatrix}$$. 
  2. Найдем квадрат матрицы $$E$$:
    $$E^2=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$$; $$E^2=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$$. 
  3. Найдем матрицу $$B=E^2+2A$$:
    $$B=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}4 & 2\\10 & -4\end{bmatrix}$$; $$B=\begin{bmatrix}5 & 2\\10 & -3\end{bmatrix}$$. 
  4. Найдем матрицу $$X$$, разделив все элементы матрицы $$B$$ на число $$5$$:
    $$X=\begin{bmatrix} 1 & 0,4\\2 & -0,6\end{bmatrix}$$.
Выберите один из вариантов
Если $$A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 2\\ -3 & 0 & -2\end{bmatrix}$$, $$B= \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 4 & 1\\ 0 & -5 \end{bmatrix}$$, $$C= \begin{bmatrix} -4 & 1\\ 16 & 7\end{bmatrix}$$, 
то сумма элементов первой строки матрицы $$2(B^T-A-3C)-3(A-2C)$$ равна:

  1. Упрощая выражение $$2(B^T-A-3C)-3(A-2C)$$, получим:
    $$2B^T-2A-6C-3A+6C=2B^T-5A$$. 
  2. Умножим матрицу $$B^T$$ на число $$2$$:
    $$2B^T=\begin{bmatrix} 4 & 8 & 0\\ 6 & 2 & -10\end{bmatrix}$$.
  3. Умножим матрицу $$A$$ на число $$5$$:
    $$5A=\begin{bmatrix} 15 & 5 & 10\\ -15 & 0 & -10\end{bmatrix}$$. 
  4. Найдем разность матриц $$2B^T$$ и $$5A$$:
    $$2B^T-5A=\begin{bmatrix} 4 & 8 & 0\\ 6 & 2 & -10\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 15 & 5 & 10\\ -15 & 0 & -10\end{bmatrix}$$,
    $$2B^T-5A=\begin{bmatrix} -11 & 3 & -10\\ 21 & 2 & 0\end{bmatrix}$$. 
  5. Найдем сумму элементов первой строки матрицы $$2B^T-5A$$:
    $$-11+3-10=-18$$.
Введите ответ в поле
Определитель матрицы $$A=\begin{bmatrix} 10 &4 & 2  \\ 3& 5 & 1 \\ 3& -2 &0 \end{bmatrix}$$ равен:
Определитель матрицы $$A$$ найдем по правилу треугольника:
    $$|A|=0+4\cdot 1\cdot 3-3\cdot 2\cdot 2-2\cdot 5\cdot 3-0+1\cdot 2\cdot 10=-10$$.
Введите ответ в поле
Квадрат матрицы $$B=\begin{bmatrix}5 & 3\\-1 & 4\end{bmatrix}$$ равен:
Найдем произведение матриц $$B$$ и $$B$$:
    $$B^2=\begin{bmatrix}5 & 3\\-1 & 4\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}5 & 3\\-1 & 4\end{bmatrix}$$;
    $$B^2=\begin{bmatrix}5 \cdot 5-3 \cdot 1 & 5 \cdot 3+3 \cdot 4\\-1 \cdot 5-4 \cdot 1 & -1 \cdot 3+4 \cdot 4\end{bmatrix}$$;
    $$B^2=\begin{bmatrix}22 & 27\\-9 & 13\end{bmatrix}$$.
Выберите один из вариантов
Произведение корней уравнения $$\begin{vmatrix} 2 &1 & 2 \\ 0& x & 4 \\ 3& 5 & x \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 &1 & -1 \\ 4& 9 & 0 \\ -6& -3 & 3 \end{vmatrix}$$ равно:
  1. Найдем определители:
    1) $$\begin{vmatrix} 2 &1 & 2 \\ 0& x & 4 \\ 3& 5 & x \end{vmatrix}=2x^2+12-6x-40$$;
    2) $$\begin{vmatrix} 2 &1 & -1 \\ 4& 9 & 0 \\ -6& -3 & 3 \end{vmatrix}=0$$, так как соответственные элементы первой и третьей строки пропорциональны. 
  2. Решим уравнение:
    $$2x^2-6x-28=0$$, $$x^2-3x-14=0$$, откуда $$x_1x_2=-14$$.
Введите ответ в поле
Если $$A=\begin{bmatrix} 2 &1 \\ -3&5 \end{bmatrix}$$, $$B=\begin{bmatrix} 6 &8 \\ 0&-2\end{bmatrix}$$, то определитель произведения матриц $$B$$ и $$A$$ равен:
  1. Найдем произведение матриц $$B$$ и $$A$$:
    $$B\cdot A=\begin{bmatrix} 6 &8 \\ 0&-2\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 2 &1 \\ -3&5 \end{bmatrix}$$,
    $$B\cdot A=\begin{bmatrix} 6\cdot 2-8\cdot 3 & 6\cdot 1+8\cdot 5 \\ 0\cdot 2+2\cdot 3 & 0\cdot 1-2\cdot 5\end{bmatrix}$$,
    $$B\cdot A=\begin{bmatrix} -12 &46 \\ 6 & -10\end{bmatrix}$$. 
  2. Найдем определитель произведения матриц $$B$$ и $$A$$:
    $$|B\cdot A|=-12\cdot (-10)-46\cdot 6=-156$$.
Введите ответ в поле
Если $$A=\begin{bmatrix}0 & -1\\1 & 2\end{bmatrix}$$, $$B=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3\\ 5 & 0 & 2\end{bmatrix}$$, то произведение матриц $$B^T$$ и $$A^T$$ равно:
  1. Транспортируем матрицы:
    $$B^T=\begin{bmatrix} 1 & 5\\1 & 0\\3 & 2\end{bmatrix}$$; $$A^T=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 2\end{bmatrix}$$. 
  2. Найдем произведение $$B^T_{3х2} \cdot A^T_{2х2}=C_{3х2}$$:
    $$C=\begin{bmatrix} 1 & 5\\ 1& 0\\3 & 2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 2\end{bmatrix}$$;
    $$C=\begin{bmatrix} 1 \cdot 0-5 \cdot 1 & 1 \cdot 1+5 \cdot 2\\1 \cdot 0-0 \cdot 1 & 1 \cdot 1+0 \cdot 2\\3 \cdot 0-2 \cdot 1 & 3 \cdot 1+2 \cdot 2\end{bmatrix}$$;
    $$C=\begin{bmatrix} -5 & 11\\ 0 & 1\\ -2 & 7\end{bmatrix}$$.
Выберите один из вариантов
Если $$A=\begin{bmatrix} 2 &1 \\ -3&5 \end{bmatrix}$$, $$B=\begin{bmatrix} 6 &8 \\ 0&-2\end{bmatrix}$$, то произведение определителей матриц $$A$$ и $$B$$ равно:

  1. Найдем определители матриц $$A$$ и $$B$$:
    $$|A|=2\cdot 5-1\cdot (-3)=13$$, $$|B|=6\cdot (-2)-8\cdot 0=-12$$. 
  2. Найдем произведение определителей матриц $$A$$ и $$B$$:
    $$|A|\cdot |B|=13\cdot (-12)=-156$$.
Введите ответ в поле
© Сиротина И.К., 2013—2026