Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Студент
Матрицы и определители КТ 2
45.000

Матрицы и определители КТ 2

Если $$A=\begin{bmatrix} -1 &4 \\ 0&1 \end{bmatrix}$$, $$C=\begin{bmatrix} 4 &0 \\ 1&3 \end{bmatrix}$$, то решение уравнения $$XA=C$$ имеет вид:
  1. Найдем определитель матрицы $$A$$:
    $$|A|=-1\cdot 1-0\cdot 4=-1$$. 
  2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы $$A$$:
    $$A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1\cdot 1= 1$$; $$A_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}= -1\cdot 0=0$$;
    $$A_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}= -1\cdot 4=-4$$; $$A_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}= 1\cdot (-1)=-1$$. 
  3. Найдем матрицу, обратную к матрице $$A$$:
    $$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21}\\ A_{12}& A_{22} \end{bmatrix}$$; $$A^{-1}=-1\cdot \begin{bmatrix} 1 & -4\\ 0& -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 4\\ 0& 1 \end{bmatrix}$$. 
  4. Найдем матрицу $$X$$:
    $$X=C\cdot A^{-1}= \begin{bmatrix} 4 & 0\\ 1 &3 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} -1 & 4\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$,
    $$X=\begin{bmatrix} 4\cdot (-1)+0\cdot 0 & 4\cdot 4+0\cdot 1\\ 1\cdot (-1)+3\cdot 0 &1\cdot 4+3\cdot 1 \end{bmatrix}$$,
    $$X=\begin{bmatrix} -4 & 16\\ -1& 7 \end{bmatrix}$$.
Выберите один из вариантов
Определитель матрицы $$A=\begin{bmatrix} 1 &-2 & 3 &0 \\ -1& 2 & 4 & 3\\ 1& 2 &3 & 0\\ 0& -5& 0 & 2 \end{bmatrix}$$ равен:

  1. Разложим определитель по элементам четвертой строки:
    $$|A|=-5\cdot A_{42}+2\cdot A_{44}$$. 
  2. Найдем алгебраические дополнения:
    $$A_{42}=(-1)^6\cdot M_{42}=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ -1 & 4 & 3\\ 1& 3&0 \end{vmatrix}=0$$ (соответствующие элементы первой и третьей строки равны);
    $$A_{44}=(-1)^8\cdot M_{44}=\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3\\ -1 & 2 & 4\\ 1& 2&3 \end{vmatrix}=-28$$. 
  3. Найдем определитель:
    $$|A|=-5\cdot 0+2\cdot (-28)=-56$$.
Введите ответ в поле
Ранг матрицы $$\begin{bmatrix} 5& 6\\ -5& -6\\ 6 & 5 \end{bmatrix}$$ равен:

Найдем миноры второго порядка:
    $$\begin{vmatrix} 5 & 6\\ -5 & -6\end{vmatrix}=0$$;
    $$\begin{vmatrix} 5 & 6\\ 6 & 5\end{vmatrix}=-11\neq 0$$;
    $$\begin{vmatrix} -5 & -6\\ 6 & 5\end{vmatrix}=11\neq 0$$.
Так как среди миноров второго (высшего) порядка нашелся отличный от нуля, то $$r_A=2$$.

Введите ответ в поле
Если $$A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 2\\ 0 &-1 & -2\end{bmatrix}$$, $$B= \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 4 \end{bmatrix}$$, $$C= \begin{bmatrix} 1& 2 & 0\end{bmatrix}$$, то произведение $$A\cdot B\cdot C$$ равно:
  1. Найдем произведение матриц $$A$$ и $$B$$:
    $$AB=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}$$;
    $$AB= \begin{bmatrix} 3\cdot 1+1\cdot 2 + 2\cdot 4 \\ 0\cdot 1+(-1)\cdot 2+(-2)\cdot 4 \end{bmatrix}$$;
    $$AB=\begin{bmatrix} 13\\ -10 \end{bmatrix}$$. 
  2. Найдем произведение матриц $$AB$$ и $$C$$:
    $$ABC=\begin{bmatrix} 13\\ -10 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 &0 \end{bmatrix}$$;
    $$ABC=\begin{bmatrix} 13 & 26 & 0 \\ -10 & -20 & 0 \end{bmatrix}$$.
Выберите один из вариантов
Если $$C=\begin{bmatrix} 0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}$$, то значение |$$C^2$$ | равно:

  1. Найдем квадрат матрицы $$C$$:
    $$C^2=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$;
    $$C^2= \begin{bmatrix} 0\cdot 0+1\cdot 1 & 0\cdot 1+1\cdot 0\\1\cdot 0+0\cdot 1 & 1\cdot 1+0\cdot 0 \end{bmatrix}$$;
    $$C^2=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 &1 \end{bmatrix}$$. 
  2. Найдем определитель квадрата матрицы $$C$$:
    |$$C^2$$ |=$$\begin{vmatrix} 1 &0 \\ 0&1 \end{vmatrix}= 1\cdot 1-0\cdot 0=1$$.
Введите ответ в поле
Ранг матрицы $$\begin{bmatrix} 1& 2& -4 & 8\\ 1& 2& -4 &8 \\ 0 & 1 & 0 &0 \end{bmatrix}$$ равен:
  1. С помощью элементарных преобразований приведем матрицу к трапециевидному виду:
    $$\begin{bmatrix} 1 & 2 &-4 &8 \\ 1 & 2 &-4 &8 \\ 0 &1 & -5 & 0 \end{bmatrix}$$; $$\begin{bmatrix} 1& 2& -4 & 8\\ 0& 0& 0 &0 \\ 0 & 1 & -5 &0 \end{bmatrix}$$; $$ \begin{bmatrix} 1& 2& -4 & 8\\ 0 & 1 & -5 &0 \end{bmatrix}$$; $$\begin{bmatrix} 1& 2& -4 & 8\\ 0 & 0 & 6 &8 \end{bmatrix}$$. 
  2. Так как среди миноров есть отличные от нуля, например,
    $$\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 0&6 \end{vmatrix}=12$$,
    то ранг матрицы $$A$$ равен $$2$$.
Введите ответ в поле
Если $$A=\begin{bmatrix} 10 &4 & 2  \\ 3& 5 & 1 \\ 3& -2 & 0 \end{bmatrix}$$, то значение выражения |$$5M_{23}|-|2A_{23}|$$ равно:
  1. Упрощая выражение |$$5M_{23}|-|2A_{23}$$|, получим:
    $$5|M_{23}|-2|(-1)^5\cdot M_{23}|=5|M_{23}|-2|M_{23}|=3|M_{23}|$$. 
  2. Найдем минор $$M_{23}$$:
    $$M_{23}=\begin{vmatrix} 10& 4\\ 3&-2 \end{vmatrix}=10\cdot (-2)-4\cdot 3=-32$$.
  3. Найдем значение выражения:
    $$3 \cdot|M_{23}|=3\cdot|-32|=96$$.
Введите ответ в поле
Сумма действительных корней уравнения $$\begin{vmatrix} x+5 & -2\\ 5 & x+5\end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 1 & 10\end{vmatrix}=6$$ равна:
  1. Вычислим определители:
    1) $$\triangle_1=\begin{vmatrix} x+5 & -2\\ 5 & x+5\end{vmatrix}$$, $$\triangle_1=(x+5)^2+10$$;
    2) $$\triangle_2=\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 1 &10\end{vmatrix}=10-2=8$$. 
  2. Составим уравнение:
    $$(x+5)^2+10-8=6$$, откуда $$(x+5)^2=4$$.
    Тогда $$ x+5=2$$ или $$x+5=-2$$, откуда $$x_1=-3$$, а $$x_2=-7$$. 
  3. Найдем сумму корней уравнения: $$-3-7=-10$$.
Введите ответ в поле
Сумма корней уравнения $$\begin{vmatrix} x & -1 & -3\\ x & 5 & x\\ 2& 2& 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 5 & 12\\ 1 & -6 & 4\\ 9& 9& 36 \end{vmatrix}$$ равна:

  1. Вычислим определители:
    $$\begin{vmatrix} x & -1 & -3\\ x & 5 & x\\ 2& 2& 1 \end{vmatrix}=-2x^2-2x+30$$;
    $$\begin{vmatrix} 3 & 5 & 12\\ 1 & -6 & 4\\ 9& 9& 36 \end{vmatrix}=0$$. 
  2. Решим уравнение:
    $$-2x^2-2x+30=0$$, откуда $$x^2+x-15=0$$.
    Так как $$D=61>0$$, то по теореме, обратной теореме Виета, $$x_{1}+x_{2}=-1$$.
Введите ответ в поле
Если $$A=\begin{bmatrix} 2 &0 & 0 \\ 0& 2 & 0 \\ 0& 0 & 2 \end{bmatrix}$$, $$B=\begin{bmatrix} 0 &0 & 1 \\ 0& 1 & 0 \\ 1& 0 & 0 \end{bmatrix}$$, то решение уравнения $$XA=B$$ имеет вид:
  1. Найдем определитель матрицы $$А$$:
    $$|A|=2\cdot 2\cdot 2=8$$. 
  2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы $$A$$:
    $$A_{11}=(-1)^{2}\cdot\begin{vmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{vmatrix}=4$$; $$A_{12}=(-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix} 0 & 0\\ 0 & 2\end{vmatrix}=0$$; $$A_{13}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix} 0 & 2\\ 0 & 0\end{vmatrix}=0$$;
    $$A_{21}=(-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix} 0 & 0\\ 0 & 2\end{vmatrix}=0$$; $$A_{22}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{vmatrix}=4$$; $$A_{23}=(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}2 & 0\\ 0 & 0\end{vmatrix}=0$$;
    $$A_{31}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}0 & 0\\ 2 & 0\end{vmatrix}=0$$; $$A_{32}=(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}2 & 0\\ 0 & 0\end{vmatrix}=0$$; $$A_{33}=(-1)^{6}\cdot\begin{vmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{vmatrix}=4$$. 
  3. Найдем матрицу, обратную к матрице $$A$$:
    $$A^{-1}=\frac{1}{8}\begin{bmatrix} 4 &0& 0& \\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 4 \end{bmatrix}$$;
    $$A^{-1}=\begin{bmatrix} 0,5& 0& 0 \\ 0& 0,5& 0\\ 0& 0& 0,5 \end{bmatrix}$$. 
  4. Найдем матрицу $$X$$:
    $$X=B\cdot A^{-1}$$;
    $$X=\begin{bmatrix} 0 &0 & 1 \\ 0& 1 & 0 \\ 1& 0 & 0\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 0,5 &0 & 0 \\ 0& 0,5 & 0 \\ 0& 0 & 0,5 \end{bmatrix}$$;
    $$X=\begin{bmatrix} 0 &0 & 0,5 \\ 0& 0,5 & 0 \\ 0,5& 0 & 0 \end{bmatrix}$$.
Выберите один из вариантов
© Сиротина И.К., 2013—2026