$$M\left(\frac{a_{1}+b_{1}}{2}; \frac{a_{2}+b_{2}}{2}; \frac{a_{3}+b_{3}}{2}\right)$$.

$$M\left(\frac{5+3}{2}; \frac{8+2}{2}; \frac{1+5}{2}\right)$$,
$$M(4; 5; 3)$$.

$$M\left(\frac{a_1+b_1}{2}; \frac{a_2+b_2}{2}; \frac{a_3+b_3}{2}\right)$$.

$$x=\frac{x_1 +l\cdot x_2}{1+l}$$, $$y=\frac{y_1 +l\cdot y_2}{1+l}$$.

1. Так как $$x_1=6$$, $$x_2=-1$$, $$y_1=-2$$, $$y_2=4$$, а $$l=\frac{3}{5}=0,6$$, то:
   $$x=\frac{6+0,6\cdot (-1)}{1+0,6}=\frac{27}{8}$$;
   $$y=\frac{-2+0,6\cdot 4}{1+0,6}=\frac{1}{4}$$. 
2. Найдем сумму координат точки $$M$$:
   $$\frac{27}{8}+ \frac{1}{4}=\frac{29}{8}$$.

$$x=\frac{x_2 +l\cdot x_1}{1+l}$$,
$$y=\frac{y_2 +l\cdot y_1}{1+l}$$.

1. Полярными координатами точки $$M$$ называют полярный радиус $$\rho$$ и полярный угол $$\varphi$$. Записывают:
   $$M(\rho; \varphi)$$, где $$\rho\geq 0, 0\leq \varphi< 2\pi $$. 
2. Декартовы координаты $$x$$ и $$y$$ точки $$M(\rho; \varphi)$$ находят по формулам:
   $$x=\rho \cos \varphi $$, $$y=\rho \sin \varphi $$.

1. Согласно условию задачи:
   $$\rho=\sqrt{3} $$, $$\varphi =\frac{\pi }{3}$$. 
2. Декартовы координаты точки $$M$$:
   $$x=\sqrt{3} \cos \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$,
   $$y=\sqrt{3} \sin \frac{\pi }{3}=\frac{3}{2}$$.

Рис. 2

1. Сферическими координатами точки $$M$$ (Рис. 5) называют числа $$r, \theta $$ и $$\varphi $$,
   где $$r$$ – длина отрезка $$OM$$, $$\theta $$ – угол между отрезком $$OM$$ и осью $$Oz$$, $$\varphi $$ – угол, на который необходимо повернуть ось $$Ox$$ против часовой стрелки (со стороны положительного направления оси $$Oz$$, чтобы она совпала с лучом  $$ON$$). 
   Записывают: $$M(r; \theta ;\varphi )$$,
   где $$r\geq 0$$, $$0\leq \theta \leq \pi $$, $$0\leq \varphi < 2\pi $$. 
2. Декартовы координаты точки $$x$$, $$y$$ и $$z$$ находят по формулам: 
   $$x=r \textrm{sin} {\theta} \textrm{cos} {\varphi} $$,
   $$y=r\textrm{sin}\theta \textrm{sin} \varphi$$,
   $$z=r\textrm{cos} {\theta}$$.

1. Сферические координаты точки $$M$$:
   $$r=\sqrt{3}$$, $$\theta =\frac{5\pi }{6}$$, $$\varphi =0$$.
2. Декартовы координаты точки $$M$$:
   $$x=\sqrt{3}\textrm{sin} \frac{5\pi}{6}\textrm{cos}0=\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
   $$y=\sqrt{3}\textrm{sin} \frac{5\pi}{6}\textrm{sin} 0=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0= 0$$;
   $$z=\sqrt{3} \textrm{cos} \frac{5\pi}{6}= -\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3}{2}$$.

$$\textrm{sin}\frac{5\pi}{6}=\textrm{sin} \left ( \pi -\frac{\pi}{6} \right )=\textrm{sin}\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$$;
$$\textrm{cos} \frac{5\pi}{6}=\textrm{cos} \left ( \pi -\frac{\pi}{6} \right )=-\textrm{cos}\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

$$\rho =\sqrt{x^2+y^2}$$, $$\textrm{tg} \varphi =\frac{y}{x}$$,

1. Декартовы координаты точки $$M$$:
   $$x=1$$, $$y=\sqrt{3}$$. 
2. Полярные координаты точки $$M$$:
   $$\rho =\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$, $$\textrm{tg}\varphi =\frac{-1}{1}=-1$$.

$$\varphi =2\pi -\textrm{arctg}{1} = \frac{7\pi }{4}$$.

$$x=\rho \cos \varphi $$, $$y=\rho \sin \varphi $$, $$z=z_{0}$$.

1. Цилиндрические координаты точки $$M$$:
   $$\rho =\sqrt{2}$$, $$\varphi =0,25\pi $$, $$z_{0}=5$$.
2. Декартовы координаты точки $$M$$:
   $$x=\sqrt{2}\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} {2}=1$$;
   $$y=\sqrt{2}\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} {2}=1$$;
   $$z=5$$.

1. Биссектриса треугольника делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим его сторонам. 
2. Если точки $$A(x_{1}; y_{1})$$ и $$B(x_{2}; y_{2})$$ – концы отрезка $$AB$$, а точка$$M(x;y)$$ делит этот отрезок в отношении $$l=\frac{AM}{MB}$$, то координаты точки $$M$$ находят по формулам:
   $$x=\frac{x_{1}+ l\cdot x_{2}}{1+l}$$, $$y=\frac{y_{1}+ l\cdot y_{2}}{1+l}$$.

1. Найдем длины сторон $$AC$$ и $$AB$$ треугольника:
   $$AC=\sqrt{(9-1)^2 +(-5-1)^2}=10$$; $$AB=\sqrt{(4-1)^2 +(5-1)^2}=5$$. 
2. По свойству биссектрисы треугольника (рис. 1):
   $$\frac{AB}{AC}=\frac{BN}{CN}$$.
   Следовательно: $$l=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{10}=0,5$$; $$x_{1}=4$$, $$x_{2}=9$$, $$y_{1}=5$$, $$y_{2}=-5$$. 
                                                             
3. Найдем координаты точки $$N$$: $$x=\frac{4+0,5\cdot9}{1+0,5}=\frac{17}{3}$$; $$y=\frac{5-0,5\cdot5}{1+0,5}=\frac{5}{3}$$. 
4. Найдем длину биссектрисы $$AN$$:
   $$AN=\sqrt{\left ( \frac{17}{3}-1 \right )^2 +\left ( \frac{5}{3}-1 \right )^2}=\frac{1}{3}\sqrt{14^2+2^2}=\frac{10\sqrt{2}}{3}$$.

$$AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 +(y_{2}-y_{1})^2 +(z_{2}-z_{1})^2}$$.

1. Найдем длины сторон треугольника:
   $$AB=\sqrt{(-1-0)^2 +(-3-2)^2 +(5-3)^2}=\sqrt30$$;
   $$BC=\sqrt{(4+1)^2 +(2+3)^2 +(-3-5)^2}=\sqrt{114}$$;
   $$AC=\sqrt{(4-0)^2 +(2-2)^2 +(-3-3)^2}=\sqrt{52}$$. 
2. Найдем периметр треугольника:
   $$P_{ABC}=\sqrt{30}+\sqrt{114}+\sqrt{52}$$.

1. Цилиндрические координаты $$\rho, \varphi $$ и $$z_{0}$$ точки $$M(x; y; z)$$ находят по формулам:
   $$\rho =\sqrt{x^2+y^2}$$, $$\textrm{tg} \varphi =\frac{y}{x}$$, $$z=z_{0}$$. 
2. Записывают: $$M(\rho; \varphi; z_{0})$$, где $$\rho\geq 0, 0\leq \varphi< 2\pi $$.

1. Декартовы координаты точки $$M$$: $$x=3$$, $$y=\sqrt{3}$$, $$z=-3$$. 
2. Цилиндрические координаты точки $$M$$:
   $$\rho =\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}$$;
   $$\textrm{tg}\varphi =\frac{\sqrt{3}}{3}$$, откуда $$\varphi=\frac{\pi }{6}$$;
   $$z_{0}=-3$$.

$$AB^2=(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$$.

1. Найдем середину стороны $$AC$$:
   $$M\left ( \frac{1+5}{2}; \frac{2+2}{2} \right )$$, $$M(3;2)$$. 
2. Найдем квадрат длины отрезка $$BM$$:
   $$BM^2=(3+1)^{2}+(2-3)^{2}=17$$.