Умножение векторов ИТ
Проекция вектора $$\bar{a}(-1;0;9)$$ на вектор $$\bar{b}(-3;4;1)$$ равна:
- Проекцией вектора $$\bar{a}$$ на вектор $$\bar{b}$$ называют длину отрезка, концами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора $$\bar{a}$$ на вектор $$\bar{b}$$.
- Проекцию вектора $$\bar{a}$$ на вектор $$\bar{b}$$ находят по формуле:
$$пр_{\bar{b} } \bar{a}$$=$$\frac{\bar{a}\cdot \bar{b}}{|\bar{b}|}$$.
- Найдем скалярное произведение векторов $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$:
$$ \bar{a}\cdot \bar{b}=-1\cdot (-3)+ 0\cdot 4 + 9 = 12$$. - Найдем длину вектора $$\bar{b}$$:
$$\left | \bar{b} \right |=\sqrt{9+16+1}=\sqrt{26}$$. - Найдем проекцию вектора $$\bar{a}$$ на вектор $$\bar{b}$$:
$$пр_{\bar{b} } \bar{a}$$=$$\frac{12} {\sqrt{26}}$$.
Проекцию вектора $$\bar{b}$$ на вектор $$\bar{a}$$ находят по формуле:
- $$пр_{\bar{a} } \bar{b}$$=$$\frac{\bar{a}\cdot \bar{b}}{|\bar{a}|}$$.
Выберите один из вариантов
Если известны точки $$A(-1; 4; 0)$$, $$B(-1; 8; 5)$$, $$C(0; 0; 0)$$, $$D(0;3;1)$$, то высота $$CH$$ пирамиды $$ABCD$$ равна:
- Площадь треугольника, построенного на векторах $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$, находят по формуле:
$$S=\frac{1}{2} \left |\bar{a}\times \bar{b} \right |$$. - Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах $$\bar{a}, \bar{b}$$ и $$\bar{c}$$, находят по формуле:
$$V= \frac{1}{6}|(\bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} ) |$$.
Так как объем пирамиды находят по формуле $$V= \frac{1}{3}S_{ABD} \cdot h$$, то
$$h=\frac{3V}{S_{ABD}}$$ (Рисунок 1).
$$h=\frac{3V}{S_{ABD}}$$ (Рисунок 1).
- Найдем координаты векторов, на которых построена пирамида:
$$\bar{a}=\overline{AB}(0;4;5)$$; $$\bar{b}=\overline{AD}(1;-1;1)$$; $$\bar{c}=\overline{AC}(1;-4;0)$$. - Найдем векторное произведение векторов $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$:
$$\bar{a}\times \bar{b}=\begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ 0 & 4& 5\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$,
$$\bar{a}\times \bar{b}=4\bar{i}+5\bar{j}-4\bar{k}+5\bar{i}=9\bar{i}+5\bar{j}-4\bar{k}$$. - Найдем площадь треугольника $$ABD$$:
$$S_{ABD}=\frac{1}{2} \left |\bar{a}\times \bar{b} \right |$$,
$$S_{ABD}=\frac{1}{2} \sqrt{9^2+5^2+4^2}$$=$$\frac{1}{2} \sqrt{122}$$. - Найдем смешанное произведение векторов $$\bar{a}$$, $$\bar{b}$$ и $$\bar{c}$$:
$$\left (\bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} \right )=\begin{vmatrix} 1 & -4 & 0 \\ 0 & 4 & 5\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$,
$$\left (\bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} \right )=4-20+5=-11$$. - Найдем объем пирамиды:
$$V=\frac{|-11|}{6}=\frac{11}{6}$$. - Найдем высоту пирамиды:
$$h=\frac{3\cdot 11\cdot 2}{6\sqrt{122}}=\frac{11}{\sqrt{122}}$$.
Рис. 1
Различайте модуль числа и модуль вектора:
- 1) если $$a=-2$$, то $$|a|=|-2|=2$$;
2) если $$\bar{a}(-2;-1;1)$$, то $$\left | \bar{a} \right | = \sqrt{4+1+1}=\sqrt {6}$$.
Выберите один из вариантов
Если векторы $$\bar{a}(5;-4;1)$$ и $$\bar{b}(1;n;-5)$$ перпендикулярны, то значение $$n$$ равно:
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
- Найдем скалярное произведение данных векторов:
$$\bar{a}\cdot \bar{b}=5-4n-5=-4n$$. - Решим уравнение:
$$\bar{a}\cdot \bar{b}=0$$, откуда $$n=0$$.
Скалярное произведение векторов $$\bar{a} \left (a_{1}, a_{2}, a_{3} \right )$$ и $$\bar{b} \left (b_{1}, b_{2}, b_{3} \right )$$ находят по формуле:
- $$\bar{a}\cdot \bar{b}= a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}$$.
Введите ответ в поле
Скалярное произведение векторов $$\bar{a}=5\bar{i}+\bar{j}+4\bar{k}$$ и $$\bar{b}=\bar{j}-2\bar{i}+3\bar{k}$$ равно:
Скалярным произведением векторов $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3})$$ и $$\bar{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3})$$ называют число, которое находят по формуле:
- $$\bar{a}\cdot \bar{b}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}$$.
- Запишем координаты данных векторов:
$$\bar{a}(5; 1; 4), \bar{b}(-2; 1; 3)$$. - Найдем скалярное произведение векторов:
$$\bar{a}\cdot \bar{b}=-10+1+12=3$$.
- Любой вектор $$\bar{b}$$ трехмерного пространства можно разложить по ортам:
$$\bar{b}=x\bar{i}+y\bar{j}+z\bar{k}$$. - Говорят, что $$x$$, $$y$$ и $$z$$ – координаты вектора $$\bar{b}$$ и записывают:
$$\bar{b}(x; y; z)$$.
Введите ответ в поле
Площадь треугольника с вершинами в точках $$A(1; 2; 3)$$, $$B(3; 1; 4)$$ и $$C(2; 3; 4)$$ равна:
- Площадь треугольника, построенного на векторах $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$, находят по формуле:
$$S=\frac{1}{2} \left |\bar{a}\times \bar{b} \right |$$. - Векторное произведение векторов $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$ находят по формуле:
$$\bar{d}=\bar{a}\times \bar{b}=\begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{vmatrix}$$.
- Найдем координаты векторов $$\bar{a}=\overline{AB}$$ и $$\bar{b}=\overline{AC}$$:
$$\bar{a}(2; -1; 1)$$; $$\bar{b}(1; 1; 1)$$. - Найдем векторное произведение векторов $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$:
$$\bar{d}=\begin{vmatrix}\bar{i}&\bar{j}&\bar{k}\\2&-1&1\\1&1&1\end{vmatrix}$$, $$\bar{d}=-\bar{i}+\bar{j}+\bar{2k}+\bar{k}-\bar{2j}-\bar{i}$$, $$\bar{d}=-\bar{2i}-\bar{j}+\bar{3k}$$. - Запишем координаты вектора $$\bar{d}$$:
$$\bar{d}\left(-2;-1;3\right)$$. - Найдем модуль вектора $$\bar{d}$$:
$$\left|\bar{d}\right|=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$$. - Найдем площадь треугольника:
$$S=0,5\sqrt{14}$$.
Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала.
Выберите один из вариантов
Объем параллелепипеда, построенного на векторах $$\bar{a}(2; 3; -1)$$, $$\bar{b}(1; 4; 2)$$ и $$\bar{c}(1; -2; 0)$$, равен:
Объем параллелепипеда, построенного на векторах $$\bar{a}, \bar{b}$$ и $$\bar{c}$$, находят по формуле:
- $$V= |(\bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} ) |$$.
- Найдем смешанное произведение данных векторов:
$$\left(\bar{c},\bar{a}\times\bar{b}\right)$$$$=\begin{vmatrix} 2&3&-1\\1&4&2\\1&-2&0\end{vmatrix}$$,
$$\left(\bar{c},\bar{a}\times\bar{b}\right)=0+6+2+4-0+8=20$$. - Получим объем параллелепипеда: $$V=20$$.
Смешанное произведение векторов $$\bar{a}, \bar{b}$$ и $$\bar{c}$$ находят по формуле:
- $$\left (\bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} \right )$$$$=\begin{vmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$.
Введите ответ в поле
Векторное произведение векторов $$\bar{a}(0; -3; 5)$$ и $$\bar{b}(0; 0; 2 )$$ равно:
Векторное произведение векторов $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3})$$ и $$\bar{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3})$$ находят по формуле:
- $$\bar{d}=\bar{a}\times \bar{b}=\begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{vmatrix}$$,
Найдем векторное произведение данных векторов:
- $$\bar{a}\times \bar{b}=\begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ 0 & -3 & 5\\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}=-6\bar{i}$$.
Векторным произведением неколлинеарных векторов $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3})$$ и $$\bar{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3})$$ называют $$\bar{d}$$, который перпендикулярен как вектору $$\bar{a}$$, так вектору $$\bar{b}$$.
Выберите один из вариантов
Смешанное произведение векторов $$\bar{a}(0;-3;5)$$, $$\bar{b}(0;2;2)$$ и $$\bar{c}(1;5;1)$$ равно:
Смешанное произведение векторов $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3})$$, $$\bar{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3})$$ и $$\bar{c}(c_{1}; c_{2}; c_{3})$$ находят по формуле:
- $$\left (\bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} \right )$$$$=\begin{vmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$.
Найдем смешанное произведение данных векторов:
- $$\left (\bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} \right )=\begin{vmatrix} 1 & 5 & 1 \\ 0 & -3 & 5\\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix}=-6-10=-16$$.
Смешанным произведением векторов $$\bar{a}$$, $$\bar{b}$$ и $$\bar{с}$$ называют число, которое получено в результате скалярного умножения вектора $$\bar{с}$$ на векторное произведение векторов $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$.
Введите ответ в поле
Косинус угла между векторами $$\bar{a}(5; 1; -2)$$ и $$\bar{b}(2; 1; 0)$$ равен:
Угол между векторами $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$ находят по формуле:
- $$\cos \alpha =\frac{\bar{a}\cdot \bar{b}}{\left | \bar{a} \right |\cdot \left | \bar{b} \right |}$$.
Найдем косинус угла между данными векторами:
- $$\cos\alpha=\frac{5\cdot 2+1\cdot 1-2\cdot 0}{\sqrt{25+1+4}\cdot\sqrt{4+1+0}}$$,
$$\cos\alpha=\frac{11}{5\sqrt{6}}$$.
- Скалярное произведение векторов $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3})$$ и $$\bar{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3})$$ находят по формуле:
$$\bar{a}\cdot \bar{b}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}$$. - Длину вектора $$\bar{a}(a_1; a_2; a_3)$$ находят по формуле:
$$\left | \bar{a} \right | = \sqrt{{a_{1}}^2+{a_{2}}^2+{a_{3}}^2}$$.
Выберите один из вариантов
Внутренний угол $$A$$ треугольника $$ABC$$ с вершинами в точках $$A(-2;1), B(2;1)$$ и $$C(0;4)$$ равен:
Угол между векторами $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$ находят по формуле:
- $$\cos \alpha =\frac{\bar{a}\cdot \bar{b}}{\left | \bar{a} \right |\cdot \left | \bar{b} \right |}$$.
- Найдем координаты векторов $$\overline{AB}$$ и $$\overline{AC}$$:
$$\overline{AB}(4;0)$$, $$\overline{AC}(2;3)$$. - Найдем длины векторов $$\overline{AB}$$ и $$\overline{AC}$$:
$$\left | \overline{AB} \right |=\sqrt{16+0}=4$$; $$\left | \overline{AB} \right |=\sqrt{4+9}= \sqrt{13}$$. - Найдем скалярное произведение векторов $$\overline{AB}$$ и $$\overline{AC}$$:
$$ \overline{AB}\cdot \overline{AC}=4\cdot 2+ 0\cdot 3 = 8$$. - Найдем угол между векторами $$\overline{AB}$$ и $$\overline{AC}$$:
$$\cos \alpha =\frac{8}{4\cdot \sqrt{13}}$$, $$\alpha$$ = $$\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}$$.
- Скалярное произведение векторов $$\bar{a}(a_{1}; a_{2})$$ и $$\bar{b}(b_{1}; b_{2})$$ находят по формуле:
$$\bar{a}\cdot \bar{b}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}$$. - Длину вектора $$\bar{a}(a_1; a_2)$$ находят по формуле:
$$\left | \bar{a} \right | = \sqrt{{a_{1}}^2+{a_{2}}^2}$$.
Выберите один из вариантов