Векторы КТ 1
Модуль скалярного произведения векторов $$\bar{a}=\bar{i}-2\bar{j}+5\bar{k}$$ и $$\bar{b}=\bar{j}-2\bar{i}-3\bar{k}$$ равен:
- Запишем координаты данных векторов:
$$\bar{a}(1;-2;5)$$, $$\bar{b}(-2;1;-3)$$. - Найдем скалярное произведение:
$$\bar{a}\cdot\bar{b}=1\cdot(-2)-2\cdot1+5\cdot(-3)=-19$$. - Найдем модуль скалярного произведения: $$|-19|=19$$.
Введите ответ в поле
Если точки $$A(5; -2)$$ и $$B(-1; 4)$$ – концы отрезка $$AB$$, а точка $$M(x;y)$$ делит этот отрезок в отношении $$3:2$$, считая от точки $$B$$, то сумма координат точки $$M$$ равна:
Так как $$l=1,5$$, $$x_1=-1$$, $$x_2=5$$, $$y_1=4$$, $$y_2=-2$$, то
- $$x=\frac{-1+1,5 \cdot 5}{1+1,5}=2,6$$,
$$y=\frac{4-1,5 \cdot 2}{1+1,5}=0,4$$.
Введите ответ в поле
Если векторы $$\bar{a}(3; -2)$$ и $$\bar{b}(-1; 1)$$ образуют базис, то произведение коэффициентов разложения вектора $$\bar{c}(2;1)$$ по этому базису равно:
- Векторы $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$ образуют базис, так как
$$\Delta=\begin{vmatrix}3 & -1 \\-2& 1\end{vmatrix}=3-2=1\neq0$$. - Решим систему уравнений:
$$\begin{equation}\begin{cases}3\alpha_1-\alpha_2=2,\\-2\alpha_1+\alpha_2=1,\end{cases}\end{equation}$$
откуда $$\alpha_1=3$$, $$\alpha_2=7$$.
Введите ответ в поле
Площадь грани $$ABCD$$ параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ с вершинами в точках $$A_1(0;1;-1)$$, $$A(1;3;-2)$$, $$B(3;1;0)$$, $$D(2;-3;1)$$ равна:
- Найдем координаты векторов, на которых построен параллелограмм $$ABCD$$:
$$\overline{AD}=\bar{a}(1;-6;3)$$; $$\overline{AB}=\bar{b}(2;-2;2)$$. - Найдем векторное произведение векторов $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$:
$$\bar{d}=\bar{a}\times \bar{b}=\begin{vmatrix}\bar{i} & \bar{j}&\bar{k} \\ 1 & -6& 3\\ 2 & -2& 2\end{vmatrix}$$, $$\bar{d}=6\bar{i}+4\bar{j}+10\bar{k}$$. - Найдем модуль вектора $$\bar{d}$$ (площадь параллелограмма $$ABCD$$):
$$|\bar{d}|=\sqrt{36+16+100}=2\sqrt{38}$$.
Выберите один из вариантов
Даны векторы $$\bar{a}=4\bar{i}-2\bar{j}$$ и $$\bar{b}=2\bar{i}+\bar{j}$$. Сумма модулей векторов $$3\bar{a}+\bar{b}$$ и $$\bar{b}-\bar{a}$$ равна:
- Запишем координаты векторов $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$:
$$\bar{a}(4;-2)$$, $$\bar{b}(2;1)$$. - Найдем координаты векторов $$3\bar{a}+\bar{b}$$ и $$\bar{b}-\bar{a}$$:
$$3\bar{a}+\bar{b}=\bar{c}(14;-5)$$, $$\bar{b}-\bar{a}=\bar{d}(-2;3)$$. - Найдем длины векторов $$\bar{c}$$ и $$\bar{d}$$:
$$|\bar{c}|=\sqrt{196+25}=\sqrt{221}$$, $$|\bar{d}|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$. - Найдем сумму модулей векторов $$\bar{c}$$ и $$\bar{d}$$:
$$|\bar{c}| +|\bar{d}|=\sqrt{221}+\sqrt{13}$$.
Выберите один из вариантов
Высота $$A_1H$$ параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ с вершинами в точках $$A_1(0;1;-1)$$, $$A(1;3;-2)$$, $$B(3;1;0)$$, $$D(2;-3;1)$$ равна:
- Найдем объем параллелепипеда.
Координаты векторов, на которых построен параллелепипед:
$$\overline{AD}=\bar{a}(1;-6;3)$$; $$\overline{AB}=\bar{b}(2;-2;2)$$; $$\overline{AA_1}=\bar{c}(-1;-2;1)$$.
Смешанное произведение векторов $$\bar{a}$$, $$\bar{b}$$ и $$\bar{c}$$:
$$\bar{c}\cdot (\bar{a}\times \bar{b})=\begin{vmatrix}-1 & -2 & 1\\ 1 & -6& 3\\ 2 & -2 & 2\end{vmatrix}=8$$.
Объем параллелепипеда: $$V=|8|=8$$. - Найдем площадь грани $$ABCD$$.
Координаты векторов, на которых построен параллелограмм $$ABCD$$:
$$\overline{AD}=\bar{a}(1;-6;3)$$; $$\overline{AB}=\bar{b}(2;-2;2)$$.
Векторное произведение векторов $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$:
$$\bar{d}=\bar{a}\times \bar{b}=\begin{vmatrix}\bar{i} & \bar{j}&\bar{k} \\ 1 & -6& 3\\ 2 & -2& 2\end{vmatrix}$$, $$\bar{d}=6\bar{i}+4\bar{j}+10\bar{k}$$.
Модуль вектора $$\bar{d}$$ (площадь параллелограмма $$ABCD$$):
$$|\bar{d}|=\sqrt{36+16+100}=2\sqrt{38}$$. - Найдем высоту параллелепипеда.
Объем параллелепипеда можно найти по формуле: $$V=S_{ABCD}\cdot A_1H$$.
Так как $$V=8$$, а $$S_{ABCD}=2\sqrt{38}$$, то $$A_1H=\frac{8}{2\sqrt{38}}=\frac{2\sqrt{38}}{19}$$.
Выберите один из вариантов
В полярной системе координат точка $$C(-2; -2)$$ будет иметь координаты:
- Так как $$x = -2$$ и $$y = -2$$, то точка расположена в третьей четверти координатной плоскости.
- Найдем полярные координаты:
$$\rho=\sqrt{4 +4}=2\sqrt{2}$$;
$$\textrm{tg}\varphi=\frac{-2}{-2} = 1$$, $$\varphi = \pi + \textrm{arctg} 1 = \frac{5\pi}{4}$$.
Выберите один из вариантов
Длина биссектрисы $$BK$$ треугольника $$ABC$$ с вершинами в точках $$A(2;1;3)$$,$$B(-1;5;3)$$, $$C(5;5;-5)$$ равна:
- Найдем длины сторон $$BA$$ и $$BC$$ треугольника:
$$BA=\sqrt{(2+1)^2+(1-5)^2+(3-3)^2}=5$$;
$$BC=\sqrt{(5+1)^2+(5-5)^2+(-5-3)^2}=10$$. - По свойству биссектрисы треугольника:
$$\frac{BA}{BC}=\frac{KA}{CK}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$. - Найдем координаты точки $$K$$.
Так как $$l=0,5$$, $$x_1=2$$, $$x_2=5$$, $$y_1=1$$, $$y_2=5$$, $$z_1=3$$, $$z_2=-5$$, то
$$x=\frac{2+0,5\cdot5}{1+0,5}=3$$,
$$y=\frac{1+0,5\cdot5}{1+0,5}=\frac{7}{3}$$,
$$z=\frac{3-0,5\cdot5}{1+0,5}=\frac{1}{3}$$. - Найдем длину медианы $$BK$$:
$$BK=\sqrt{(3+1)^2+\left(\frac{7}{3}-5\right)^2+\left(\frac{1}{3}-3\right)^2}$$, $$BK=\frac{4\sqrt{17}}{3}$$.
Выберите один из вариантов
Объем параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ с вершинами в точках $$A_1(0;1;-1)$$, $$A(1;3;-2)$$, $$B(3;1;0)$$, $$D(2;-3;1)$$ равен:
- Найдем координаты векторов, на которых построен параллелепипед:
$$\overline{AD}=\bar{a}(1;-6;3)$$; $$\overline{AB}=\bar{b}(2;-2;2)$$; $$\overline{AA_1}=\bar{c}(-1;-2;1)$$. - Найдем смешанное произведение векторов $$\bar{a}$$, $$\bar{b}$$ и $$\bar{c}$$:
$$\bar{c}\cdot (\bar{a}\times \bar{b})=\begin{vmatrix}-1 & -2 & 1\\ 1 & -6& 3\\ 2 & -2 & 2\end{vmatrix}=8$$. - Найдем объем параллелепипеда: $$V=|8|=8$$.
Введите ответ в поле
Векторы $$\bar{a}(-2x; -3; 0)$$, $$\bar{b}(5x; 6; -8)$$ и $$\bar{c}(2; 1; -3)$$ компланарные, если значение $$x$$ равно:
Решим уравнение:
- $$\begin{vmatrix}-2x & -3 & 0 \\ 5x & 6 & -8\\ 2 & 1 & -3\end{vmatrix}=0$$,
$$36x + 48-45x-16x=0$$, откуда $$x=\frac{48}{25}$$.
Введите ответ в поле