Векторы КТ 2
Площадь параллелограмма $$ABCD$$ с вершинами в точках $$A(2; -5; 4)$$, $$B(1; -3; 1)$$ и $$C(-3; 4; -6)$$ равна:
- Запишем координаты векторов $$\overline{BA}$$ и $$\overline{BC}$$:
$$\overline{BA}(1; -2; 3)$$; $$\overline{BC}(-4; 7; -7)$$. - Найдем векторное произведение векторов $$\overline{BA}$$ и $$\overline{BC}$$:
$$\bar{d}=\begin{vmatrix}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ 1& -2 & 3 \\ -4& 7 & -7\end{vmatrix}=-7\bar{i}-5\bar{j}-\bar{k}$$. - Найдем площадь параллелограмма:
$$S=\left | \bar{d}\right |=\sqrt{49+25+1}=5\sqrt{3}$$.
Выберите один из вариантов
Объем пирамиды с вершинами в точках $$A(4; 0; -1)$$, $$B(1; -1; 2)$$, $$C(3; 1; 0)$$, $$D(2; -3; 1)$$ равен:
- Найдем координаты векторов, на которых построена пирамида:
$$\overline{AD}=\bar{a}(-2; -3; 2)$$;
$$\overline{AB}=\bar{b}(-3; -1; 3)$$;
$$\overline{AC}=\bar{c}(-1; 1; 1)$$. - Найдем смешанное произведение векторов $$\bar{a}$$, $$\bar{b}$$ и $$\bar{c}$$:
$$\bar{c}\cdot(\bar{a}\times\bar{b})=\begin{vmatrix}-1 & 1 &1 \\ -2& -3& 2\\-3 & -1 & 3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & -1 &1 \\ 2& 3& 2\\3 & 1 & 3\end{vmatrix}=0$$. - Векторы $$\bar{a}$$, $$\bar{b}$$ и $$\bar{c}$$ компланарные.
Выберите один из вариантов
Точка пересечения медиан треугольника с вершинами $$A(0; 1; -5)$$, $$B(-5; 1; -4)$$ и $$C(5; 1; 2)$$ имеет координаты:
- Найдем координаты середины стороны $$BC$$: $$M(0; 1; -1)$$.
- Так как точка пересечения медиан треугольника делит сторону $$AM$$ в соотношении $$2:1$$, считая от вершины, то
$$l=2$$, $$x_{1}=0$$, $$x_{2}=0$$, $$y_{1}=1$$, $$y_{2}=1$$, $$z_{1}=-5$$, $$z_{2}=-1$$. - Получим:
$$x=\frac{0+2\cdot 0}{1+2}=0$$,
$$y=\frac{1+2\cdot 1}{1+2}=1$$,
$$z=\frac{-5-2\cdot 1}{1+2}=-\frac{7}{3}$$.
Выберите один из вариантов
Даны векторы $$\bar{a}(-2; -3; 4)$$, $$\bar{b}(\alpha ; 8; \beta )$$ и $$\bar{c}(2; 1; -3)$$. Если вектор $$\bar{b}$$ коллинеарен вектору $$\bar{d}=\bar{a}-\bar{c}$$, то произведение значений $$\alpha $$ и $$\beta $$ равно:
- Найдем вектор $$\bar{d}$$: $$\bar{d}(-4; -4; 7)$$.
- Векторы $$\bar{b}$$ и $$\bar{d}$$ коллинеарны, если
$$\frac{\alpha }{-4}=\frac{8}{-4}=\frac{\beta}{7}$$, откуда:
1) $$\frac{\alpha }{-4}=-2$$, тогда $$\alpha=8$$;
2) $$\frac{\beta}{7}=-2$$, тогда $$\beta=-14$$.
Введите ответ в поле
Площадь треугольника $$ABC$$ с вершинами в точках $$A(3; -3)$$, $$B(6; 1)$$ и $$C(6; -3)$$ равна:
- Найдем длины сторон треугольника:
$$AB=\sqrt{(6-3)^2 +(1+3)^2}=5$$;
$$AC=\sqrt{(6-3)^2 +(-3+3)^2}=3$$;
$$BC=\sqrt{(6-6)^2 +(1+3)^2}=4$$. - Найдем полупериметр треугольника:
$$p=(5+3+4):2=6$$. - По формуле Герона получим:
$$S=\sqrt{6\cdot(6-5)\cdot(6-3)\cdot(6-4)}=6$$.
Введите ответ в поле
Внешний угол $$B$$ треугольника $$ABC$$ с вершинами в точках $$A(3; -3)$$, $$B(6; 1)$$ и $$C(6; -3)$$ равен:
- Найдем координаты векторов $$\overline{BA}$$ и $$\overline{BC}$$:
$$\overline{BA}(-3; -4)$$; $$\overline{BC}(0; -4)$$. - Найдем скалярное произведение векторов $$\overline{BA}$$ и $$\overline{BC}$$:
$$\overline{BA}\cdot \overline{BC}=-3\cdot 0+(-4)\cdot(-4)=16$$. - Найдем длины векторов $$\overline{BA}$$ и $$\overline{BC}$$:
$$\left | \overline{BA} \right |=\sqrt{9+16}=5$$; $$\left | \overline{BC} \right |=\sqrt{0+16}=4$$. - Найдем внутренний угол $$B$$ треугольника $$ABC$$:
$$\cos \angle B=\frac{16}{5 \cdot 4}=0,8$$, откуда $$\angle B=\arccos 0,8$$. - Найдем внешний угол $$B$$ треугольника $$ABC$$: $$\beta =\pi -\arccos 0,8$$.
Выберите один из вариантов
Длина диагонали $$AC$$ параллелограмма $$ABCD$$ с вершинами в точках $$A(2; -5; 4)$$, $$B(1; -3; 1)$$ и $$C(-3; 4; -6)$$ равна:
- Запишем координаты векторов $$\overline{AB}$$ и $$\overline{BC}$$:
$$\overline{AB}(-1; 2; -3)$$; $$\overline{BC}(-4; 7; -7)$$. - Найдем координаты вектора $$\overline{AC}$$:
$$\overline{AC}=\overline{AB}+\overline{BC}$$; $$\overline{AC}(-5; 9; -10)$$. - Найдем длину вектора $$\overline{AC}$$:
$$\left | \overline{AC}\right |=\sqrt{25+81+100}=\sqrt{206}$$.
Выберите один из вариантов
Модуль векторного произведения векторов $$\bar{a}=\bar{i}-2\bar{j}+5\bar{k}$$ и $$\bar{b}=2\bar{i}-\bar{j}$$ равен:
- Запишем координаты данных векторов:
$$\bar{a}(1; -2; 5)$$, $$\bar{b}(2; -1; 0)$$. - Найдем векторное произведение:
$$\bar{a}\times\bar{b}=\begin{vmatrix}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ 1& -2 & 5 \\ 2& -1 & 0\end{vmatrix}=5\bar{i}+10\bar{j}+3\bar{k}$$. - Найдем модуль векторного произведения:
$$\left | \bar{a}\times \bar{b}\right |=\sqrt{25+100+9}=\sqrt{134}$$.
Выберите один из вариантов
В цилиндрической системе координат точка $$C(-\sqrt{2};\sqrt{2};-4)$$ будет иметь координаты:
Так как $$x=-\sqrt{2}$$, $$y=\sqrt{2}$$, $$z=-4$$, то:
- $$z_{0}=-4$$;
$$\rho =\sqrt{2+2}=2$$;
$$\textrm{tg}\varphi =\frac{\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}=-1$$, откуда $$\varphi =\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$$.
Выберите один из вариантов
Периметр параллелограмма $$ABCD$$ с вершинами в точках $$A(2; -5; 4)$$, $$B(1; -3; 1)$$ и $$C(-3; 4; -6)$$ равен:
- Найдем длины смежных сторон параллелограмма:
$$BA=\sqrt{(2-1)^2 +(-5+3)^2 +(4-1)^2}=\sqrt{14}$$;
$$BC=\sqrt{(1+3)^2 +(-3-4)^2 +(1+6)^2}=\sqrt{114}$$. - Найдем периметр параллелограмма:
$$P=2\sqrt{14}+2\sqrt{114}$$.
Выберите один из вариантов