Векторы КТ 3
Даны векторы $$\bar{a}(-1; -3; 4)$$, $$\bar{b}(\alpha; 8; \beta)$$, $$\bar{c}(2; 1; -3)$$. Если вектор $$\bar{b}$$ перпендикулярен вектору $$\bar{d}=\bar{a}+\bar{c}$$, то удвоенная сумма значений $$\alpha$$ и $$\beta$$ равна:
- Найдем вектор $$\bar{d}$$: $$\bar{d}(1; -2; 1)$$.
- Векторы $$\bar{b}$$ и $$\bar{d}$$ перпендикулярны, если:
$$\bar{b} \cdot \bar{d}=0$$. - Тогда $$\alpha-8+\beta=0$$, откуда $$2(\alpha+\beta)=16$$.
Введите ответ в поле
В сферической системе координат точка $$A(\sqrt{2}; -\sqrt{2}; 2)$$ будет иметь координаты:
- Так как $$x=\sqrt{2}$$, $$y=-\sqrt{2}$$, $$z=2$$, то:
$$r=\sqrt{2+2+4}=2\sqrt{2}$$;
$$\textrm{tg}\varphi =\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-1$$, откуда $$\varphi =\frac{3\pi}{4}$$;
$$\cos\theta=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$, откуда $$\theta=\frac{\pi}{4}$$. - Сферические координаты точки $$A$$:
$$A\left (2\sqrt{2}; \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right )$$.
Выберите один из вариантов
Угол между ребрами $$CA$$ и $$CB$$ пирамиды с вершинами в точках $$A(1;3;-2)$$, $$B(3;1;0)$$, $$C(3;1;-1)$$, $$D(2;-3;1)$$ равен:
- Найдем координаты векторов $$\overline{CA}$$ и $$\overline{CB}$$ (Рис. 1):
$$\overline{CA}(-2;2;-1)$$; $$\overline{CB}(0;0;1)$$. - Найдем длины векторов $$\overline{CA}$$ и $$\overline{CB}$$:
$$|\overline{CA}|=\sqrt{4+4+1}=3$$; $$|\overline{CB}|=\sqrt{0+0+1}=1$$. - Найдем скалярное произведение векторов $$\overline{CA}$$ и $$\overline{CB}$$:
$$\overline{CA} \cdot \overline{CB}=0+0-1=1$$. - Найдем угол между векторами $$\overline{CA}$$ и $$\overline{CB}$$:
$$\cos \angle C=\frac{-1}{3 \cdot 1}=-\frac{1}{3}$$, откуда $$\angle C=\pi-\arccos\frac{1}{3}$$.
Рис. 1
Выберите один из вариантов
Модуль смешанного произведения векторов $$\bar{a}=\bar{i}-2\bar{j}$$, $$\bar{b}=2\bar{i}-\bar{j}-3\bar{k}$$ и $$\bar{c}=\bar{i}-\bar{k}-6\bar{j}$$ равен:
- Запишем координаты данных векторов:
$$\bar{a}(1;-2;0)$$, $$\bar{b}(2;-1;-3)$$, $$\bar{c}(1;-6;-1)$$. - Найдем смешанное произведение:
$$\bar{c} \cdot (\bar{a} \times \bar{b})=\begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & -3 \\ 1 & -6 & -1 \end{vmatrix}=-15$$. - Найдем модуль смешанного произведения:
$$\left|\bar{c} \cdot (\bar{a} \times \bar{b})\right|=|-15|=15$$.
Введите ответ в поле
Сумма проекций ребра $$AD$$ на ребра $$BD$$ и $$CD$$ пирамиды с вершинами в точках $$A(1;3;-2)$$, $$B(3;1;0)$$, $$C(3;1;-1)$$, $$D(2;-3;1)$$ равна:
- Найдем координаты векторов $$\overline{DA}$$, $$\overline{DB}$$ и $$\overline{DC}$$ (Рис. 2):
$$\overline{DA}(-1;6;-3)$$; $$\overline{DB}(1;4;-1)$$; $$\overline{DC}(1;4;-2)$$. - Найдем длины векторов $$\overline{DB}$$ и $$\overline{DC}$$:
$$|\overline{DB}|=\sqrt{1+16+1}=3\sqrt{2}$$; $$|\overline{DC}|=\sqrt{1+16+4}=\sqrt{21}$$. - Найдем скалярное произведение векторов:
$$\overline{DA} \cdot \overline{DB}=-1+24+3=26$$; $$\overline{DA} \cdot \overline{DC}=-1+24+6=29$$. - Найдем проекцию вектора $$\overline{DA}$$ на вектор $$\overline{DB}$$:
$$пр_{\overline{DB}}\overline{DA}=\frac{26}{3\sqrt{2}}=\frac{13\sqrt{2}}{3}$$. - Найдем проекцию вектора $$\overline{DA}$$ на вектор $$\overline{DC}$$:
$$пр_{\overline{DC}}\overline{DA}=\frac{29}{\sqrt{21}}=\frac{29\sqrt{21}}{21}$$. - Найдем сумму проекций:
$$\frac{13\sqrt{2}}{3}+\frac{29\sqrt{21}}{21}=\frac{273\sqrt{2}+87\sqrt{21}}{63}$$.
Рис. 2
Выберите один из вариантов
Если отрезок $$AB$$, где $$A(2; -1)$$, $$B(5; 8)$$, разделить точками $$C$$ и $$D$$ на три равные части, то произведение координат точек $$C$$ и $$D$$ будет равно:
- Найдем координаты точки $$C$$.
Так как $$AC:CB=1:2$$, то $$l=0,5$$, $$x_{1}=2$$, $$x_{2}=5$$, $$y_{1}=-1$$, $$y_{2}=8$$.
Тогда: $$x_{c}=\frac{2+0,5\cdot5}{1+0,5}=3$$, $$y_{c}=\frac{-1+0,5 \cdot 8}{1+0,5}=2$$.
Следовательно, $$C(3; 2)$$. - Найдем координаты точки $$D$$.
Так как $$CD=BD$$, то $$x_{D}=\frac{3+5}{2}=4$$, $$y_{D}=\frac{2+8}{2}=5$$.
Следовательно, $$D(4; 5)$$. - Найдем произведение координат точек $$C$$ и $$D$$:
$$3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5=120$$.
Введите ответ в поле
Высота $$AH$$ пирамиды с вершинами в точках $$A(1;3;-2)$$, $$B(3;1;0)$$, $$C(3;1;-1)$$, $$D(2;-3;1)$$ равна:
- Найдем объем пирамиды (Рис. 4).
Координаты векторов, на которых построена пирамида:
$$\overline{BA}=\bar{a}(-2;2;-2)$$; $$\overline{BD}=\bar{b}(-1;-4;1)$$; $$\overline{BC}=\bar{c}(0;0;-1)$$.
Смешанное произведение векторов $$\bar{a}$$, $$\bar{b}$$ и $$\bar{c}$$:
$$\bar{c}\cdot(\bar{a}\times\bar{b})=\begin{vmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -2 & 2 & -2 \\ -1 & -4 & 1 \end{vmatrix}=-10$$.
Объем пирамиды: $$V=\frac{|-10|}{6}=\frac{5}{3}$$. - Найдем площадь грани $$BCD$$.
Координаты векторов, на которых построен треугольник $$BCD$$:
$$\overline{BD}=\bar{b}(-1;-4;1)$$; $$\overline{BC}=\bar{c}(0;0;-1)$$.
Векторное произведение векторов $$\bar{b}$$ и $$\bar{c}$$:
$$\bar{d}=\bar{b}\times\bar{c}=\begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ -1 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix}=4\bar{i}-\bar{j}$$.
Модуль вектора $$\bar{d}$$: $$| \bar{d} |=\sqrt{16+1+0}=\sqrt{17}$$.
Площадь треугольника $$BCD$$: $$S= \frac{\sqrt{17}}{2}$$. - Найдем высоту $$AH$$ пирамиды.
Объем пирамиды можно найти по формуле: $$V= \frac{1}{3}S_{BCD} \cdot AH$$.
Так как $$V=\frac{5}{3}$$, а $$S_{BCD}=\frac{\sqrt{17}}{2}$$, то $$AH=\frac{10}{\sqrt{17}}$$.
Рис. 4
Выберите один из вариантов
Площадь грани $$BCD$$ пирамиды с вершинами в точках $$A(1;3;-2)$$, $$B(3;1;0)$$, $$C(3;1;-1)$$, $$D(2;-3;1)$$ равна:
- Найдем координаты векторов, на которых построен треугольник $$BCD$$:
$$\overline{BD}=\bar{b}(-1;-4;1)$$; $$\overline{BC}=\bar{c}(0;0;-1)$$. - Найдем векторное произведение векторов $$\bar{b}$$ и $$\bar{c}$$:
$$\bar{d}=\bar{b}\times\bar{c}=\begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ -1 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix}=4\bar{i}-\bar{j}$$. - Найдем модуль вектора $$\bar{d}$$:
$$| \bar{d} |=\sqrt{16+1+0}=\sqrt{17}$$. - Найдем площадь треугольника $$BCD$$: $$S= \frac{\sqrt{17}}{2}$$.
Выберите один из вариантов
Даны векторы: $$\bar{a}(3;0;-4)$$, $$\bar{b}(2;2;-1)$$, $$\bar{c}(-4;0;3)$$, $$\bar{d}(6;6;-3)$$.
Образуют базис векторы:
Образуют базис векторы:
- 1) $$\bar{a}(3;0;-4)$$, $$\bar{b}(2;2;-1)$$ и $$\bar{c}(-4;0;3)$$, так как
$$\begin{vmatrix} 3 & 0 & -4 \\ 2 & 2 & -1 \\ -4 & 0 & 3 \end{vmatrix}=18-32=-14 \neq 0$$;
2) $$\bar{a}(3;0;-4)$$, $$\bar{d}(6;6;-3)$$ и $$\bar{c}(-4;0;3)$$, так как
$$\begin{vmatrix} 3 & 0 & -4 \\ 6 & 6 & -3 \\ -4 & 0 & 3 \end{vmatrix}=3 \cdot (-14)=-42 \neq 0$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Объем пирамиды с вершинами в точках $$A(1;3;-2)$$, $$B(3;1;0)$$, $$C(3;1;-1)$$,$$D(2;-3;1)$$ равен:
- Найдем координаты векторов, на которых построена пирамида (Рисунок 3):
$$\overline{BA}=\bar{a}(-2;2;-2)$$ $$\overline{BD}=\bar{b}(-1;-4;1)$$; $$\overline{BC}=\bar{c}(0;0;-1)$$. - Найдем смешанное произведение векторов $$\bar{a}$$,$$\bar{b}$$ и $$\bar{c}$$:
$$\bar{c}\cdot(\bar{a}\times\bar{b})=\begin{vmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -2 & 2 & -2 \\ -1 & -4 & 1 \end{vmatrix}=-10$$. - Найдем объем пирамиды:
$$V=\frac{|-10|}{6}=\frac{5}{3}$$.
Рис. 3
Выберите один из вариантов