1. В данном уравнении выделим квадраты двучленов:
   $$(x^2-x)+(y^2+14y)=-48$$,
   $$(x^2-2\cdot 0,5\cdot x +0,25)+(y^2+2\cdot 7\cdot y+49)=-48+0,25+49$$,
   $$(x-0,5)^2+(y+7)^2=1,25$$. 
2. Найдем радиус окружности.
   Так как $$R^2=1,25$$, то $$R=\sqrt{0,01\cdot 25 \cdot 5}=0,5\sqrt{5}$$.

1. Если $$R=0$$, то уравнению $$x^2+y^2=0$$ удовлетворяют координаты единственной точки:
   $$x=0$$, $$y=0$$. 
2. Если $$R^2\lt 0$$, то уравнению $$x^2+y^2=-R^2$$ не удовлетворяют координаты ни одной точки.

1. Так как центр окружности находится в точке $$M(-4;5)$$, то $$x_0 = -4$$, $$y_0 = 5$$. 
2. Получим уравнение окружности:
   $$(x+4)^{2}+(y-5)^{2}=R^2$$. 
3. Подставляя в это уравнение координаты точки $$A(-2;3)$$, получим:
   $$(-2+4)^{2}+(3-5)^{2}=R^2$$, откуда $$R^2 = 8$$, $$R = 2\sqrt{2}$$.

1. Если центром эллипса является точка $$О'(x_0; y_0)$$, то его каноническое уравнение имеет вид:
   $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$,
   где $$a$$ и $$b$$ - полуоси эллипса. 
2. Если в уравнении эллипса $$a\lt b$$, то
   $$c^2= b^2-a^2$$, $$\varepsilon = \frac{c}{b}$$.

1. Так как $$\varepsilon=0,8$$, то $$0,8=\frac{с}{b}$$, откуда $$c = 0,8b$$. 
2. Так как фокусы находятся на оси $$Oy$$, то $$c^2= b^2-a^2$$. 
3. Тогда $$0,64c^2= b^2-a^2$$, откуда $$a = 0,6b$$. 
4. Так как $$a+b = 16$$, то $$0,6b+b = 16$$.
   Получим полуоси эллипса: $$b = 10$$, $$a = 6$$. 
5. Учитывая, что центром эллипса является точка $$A(0;4)$$, составим его каноническое уравнение:
   $$\frac{(x-0)^2}{36}+\frac{(y-4)^2}{100}=1$$.

1. Каноническое уравнение эллипса:
   $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$,
   где $$a$$ и $$b$$ – полуоси эллипса. 
2. Эксцентриситет эллипса:
   если $$a\lt b$$, то $$\varepsilon = \frac{c}{b}<1$$, где $$c=\sqrt{b^2-a^2}$$.
                                                                               

1. Подставляя значения $$a=\sqrt{6}$$, $$x=\sqrt{5}$$, $$y=-\sqrt{2}$$ в каноническое уравнение эллипса, получим:
   $$\frac{5}{6}+\frac{2}{b^2}=1$$; $$\frac{2}{b^2}=\frac{1}{6}$$; $$b^2=12$$. 
2. Так как $$b\gt a$$, то $$c=\sqrt{12-6}=\sqrt{6}$$. 
3. Найдем эксцентриситет эллипса:
   $$\varepsilon = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{12}}=0,2\sqrt{5}$$.

1. Если центром эллипса является точка $$О'(x_0; y_0)$$, а фокусы находятся на прямой, параллельной оси $$Ox$$, то:
   $$F_1 = (- c+x_0; y_0)$$, $$F_2 =(c+x_0;y_0)$$. 
2. Эксцентриситет эллипса:
   $$\varepsilon = \frac{c}{a}<1$$, где $$c=\sqrt{a^2-b^2}$$.

1. Так как $$a = 8$$, а $$\varepsilon=0,25$$, то $$0,25=\frac{с}{8}$$, откуда $$c = 2$$. 
2. Так как фокусы находятся на прямой, параллельной оси $$Ox$$, то:
   $$c^2= a^2-b^2$$, откуда $$b^2=64-4=60$$. 
3. Учитывая, что $$x_{0}=-5$$, $$y_{0}=1$$, найдем координаты фокусов:
   $$F_1 (- 2-5; 0+1)$$, $$F_2 (2-5;0+1)$$, откуда $$F_1 (-7; 1)$$, $$F_2 (-3; 1)$$. 
4. Найдем произведение координат фокусов:
   $$-7\cdot 1\cdot (-3)\cdot 1=21$$.

1. В данном уравнении выделим квадраты двучленов:
   $$5(x^2+2x)+3(y^2+6y)=28$$,
   $$5(x^{2}+2x+1 )+3( y^2+6y+9)=28+5\cdot 1+3\cdot 9$$,
   $$5(x+1)^2+3(y+3)^2=60$$. 
2. Приведем уравнение к каноническому виду:
   $$\frac{5(x+1)^2}{60}+\frac{3(y+3)^2}{60}=\frac{60}{60}$$,
   $$\frac{(x+1)^2}{12}+\frac{(y+3)^2}{20}=1$$.

1. Если центром эллипса является точка $$О'(x_0; y_0)$$, то его каноническое уравнение имеет вид:
   $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$,
   где $$a$$ и $$b$$ - полуоси эллипса. 
2. Если центром эллипса является точка $$О'(x_0; y_0)$$, а фокусы находятся на прямой, параллельной оси $$Oy$$, то:
   $$F_1 = (x_0; -c+y_0)$$, $$F_2 =(x_0;c+y_0)$$.

1. Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:
   $$\frac{7(x-3)^2}{70}+\frac{2(y+2)^2}{70}=\frac{70}{70}$$,
   $$\frac{(x-3)^2}{10}+\frac{(y+2)^2}{35}=1$$. 
2. Так как $$a^2=10$$, $$b^2=35$$, то $$c^2= 35-10$$, откуда $$c=5$$. 
3. Учитывая, что $$x_{0}=3$$, $$y_{0}=-2$$, найдем координаты фокусов:
   $$F_1 (3; -5-2)$$, $$F_2 (3;5-2)$$, откуда $$F_1 (3; -7)$$, $$F_2 (3; 3)$$. 
4. Сумма координат фокусов:
   $$3-7+3+3=2$$.

Если центр окружности находится в точке $${O}' \left (a;b \right )$$, а ее радиус равен $$R$$, то уравнение окружности имеет вид:

$$\left (x-a \right )^{2}+\left (y-b \right )^{2}=R^{2}$$.

1. Каноническое уравнение эллипса:
   $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$, где $$a$$ - большая полуось, $$b$$ - меньшая полуось. 
2. Эксцентриситет эллипса:
   $$\varepsilon = \frac{c}{a}<1$$, где $$c=\sqrt{a^2-b^2}$$.

1. Подставляя значения $$b=\sqrt{6}$$, $$x=-\sqrt{2}$$, $$y=\sqrt{3}$$ в каноническое уравнение эллипса, получим:
   $$\frac{5}{a^2}+\frac{2}{6}=1$$; $$\frac{5}{a^2}=\frac{2}{3}$$; $$a^2=7,5$$.
   Тогда, $$c=\sqrt{7,5-6}=\sqrt{1,5}$$. 
2. Найдем эксцентриситет эллипса:
   $$\varepsilon = \frac{\sqrt{1,5}}{\sqrt{7,5}}=0,2\sqrt{5}$$.

1. Каноническое уравнение эллипса:
   $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$,
   где $$a$$ $$-$$ большая полуось, $$b$$ $$-$$ меньшая полуось. 
2.  Фокусы эллипса:
   $$F_{1} \left (-c;0 \right )$$ и $$F_{2} \left (c;0 \right )$$,
   где $$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$$.
   

1. Большая полуось равна $$2$$, а малая полуось равна $$1$$.
   Тогда, $$c=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$$. 
2. Фокусы: $$F_{1} \left (-\sqrt{3};0 \right )$$, $$F_{2} \left (\sqrt{3};0 \right )$$.