Аналитическая геометрия КТ 3
Если прямая $$\frac{-x+2}{5}=\frac{y+5}{2}=\frac{z-1}{k}$$ перпендикулярна плоскости $$x-py-z=15$$, то произведение чисел $$k$$ и $$p$$ равно:
Запишем направляющий вектор прямой:
$$\bar{l}(-5; 2; k)$$.
Запишем нормальный вектор плоскости:
$$\bar{n}(1; -p; 1)$$.
Так как прямая перпендикулярна плоскости, то $$\bar{l}\parallel \bar{n}$$.
Следовательно, $$\frac{-5}{1}=\frac{2}{-p}=\frac{k}{-1}$$, откуда $$p=0,4$$, а $$k=5$$.
Введите ответ в поле
Каноническое уравнение линии $$x^2-4x+y+6=0$$ имеет вид:
Выполним преобразования:
$$x^2-4x+4=-y-6+4$$ ,
$$(x-2)^2=-(y+2)$$ .
Выберите несколько вариантов ответов
Угол между прямыми $$\frac{x}{2}=\frac{y-5}{6}=\frac{3-z}{3}$$ и $$x=y=z$$ равен:
Запишем направляющие векторы данных прямых:
$$\bar{l_{1}}(2; 6; -3)$$, $$\bar{l_{2}}(1; 1; 1)$$.
Найдем угол между этим векторами:
$$\cos \alpha =\frac{2 \cdot 1 +6\cdot 1-3\cdot 1}{\sqrt{4+36+9}\cdot \sqrt{1+1+1}}=\frac{5}{7\sqrt{5}}$$,
откуда $$\alpha =arccos\frac{5}{7\sqrt{3}}$$.
Выберите один из вариантов
Эксцентриситет гиперболы $$5x^{2}-6y^{2}=30$$ равен:
Запишем уравнение гиперболы в каноническом виде:
$$\frac{5x^{2}}{30}-\frac{6y^{2}}{30}=\frac{30}{30}$$, $$\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{5}=1$$.
$$a=\sqrt{6}$$, а $$b=\sqrt{5}$$, то $$c=\sqrt{6+5}=\sqrt{11}$$.
Найдем эксцентриситет гиперболы:
$$\varepsilon =\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$$.
Выберите один из вариантов
Если прямая $$\frac{x-2}{5}=\frac{y+5}{2}=-\frac{z}{p}$$ параллельна плоскости $$2x+py+z+3=0$$, то значение $$p$$ равно:
Запишем направляющий вектор прямой:
$$\bar{l}(5; 2; -p)$$.
Запишем нормальный вектор плоскости:
$$\bar{n}(2; p; 1)$$.
Так как прямая параллельна плоскости, то $$\bar{l}\cdot\bar{n}=0$$.
Следовательно, $$5\cdot 2+2p-p=0$$ , откуда $$p=-10$$.
Введите ответ в поле
Произведение длин отрезков, которые отсекают плоскость $$10x-5y+z-20=0$$ на осях координат, равно:
Разделим обе части данного равенства на число $$20$$:
$$\frac{10x}{20}-\frac{5y}{20}+\frac{z}{20}=\frac{20}{20}$$ ,
$$\frac{x}{2}+\frac{y}{-4}+\frac{z}{20}=1$$ .
Найдем произведение длин отрезков, которые отсекают плоскость на осях координат:
$$\left |a \right |\cdot\left | b \right |\cdot \left | c \right |=2\cdot 4 \cdot 20=160$$ .
Введите ответ в поле
Если большая полуось эллипса равна $$10$$, малая ось равна $$8$$, а его центр находится в точке $$O(0; 0)$$, то сумма модулей координат фокусов эллипса равна:
Так как $$a=10$$, а $$b=4$$, то $$c=\sqrt{100-16}=2\sqrt{21}$$.
Фокусы эллипса:
$$F_{1}\left ( -2\sqrt{21}; 0 \right )$$, $$F_{2}\left ( 2\sqrt{21}; 0 \right )$$.
Выберите один из вариантов
Квадрат расстояния между центрами окружностей $$x^2+(y+3)^2=5$$ и $$x^2+y^2-x+12y=0$$ равен:
1. Приведем уравнение $$x^2+y^2+x-12y=0$$ к каноническому виду:
$$\left ( x^2-x+0,25 \right )+\left ( y^2+12y+36 \right )=36,25$$ ,
$$(x-0,5)^{2}+(y+6)^{2}=36,25$$ .
2. Найдем квадрат расстояния между точками $$A(0; -3)$$ и $$B(0,5; -6)$$:
$$AB^2=(0-0,5)^{2}+(-3+6)^{2}=9,25$$ .
Введите ответ в поле
Двугранный угол $$DABC$$ пирамиды с вершинами в точках $$A(1; 3; 1)$$, $$B(1; 2; -1)$$, $$C(-1; 2; 0)$$ и $$D(0; 2; 1)$$ равен:
1. Найдем уравнение грани $$ADC$$:
$$\begin{vmatrix}x-1 & y-3 & z-1\\0-1 & 2-3 & 1-1\\-1-1 & 2-3 & 0-1\end{vmatrix}=0$$,
откуда $$x-y-z+3=0$$,
Тогда, $$\bar{n}(1; -1; -1)$$.
2. Найдем уравнение грани $$ABC$$:
$$\begin{vmatrix}x-1 & y-3 & z-1\\1-1 & 2-3 & -1-1\\-1-1 & 2-3 & 0-1\end{vmatrix}=0$$,
откуда $$x-4y+2z+9=0$$.
Тогда, $$\bar{n}(1; -4; 2)$$.
3. Найдем угол между плоскостями $$ADC$$ и $$ABC$$:
3. Найдем угол между плоскостями $$ADC$$ и $$ABC$$:
$$\cos \alpha \frac{1\cdot 1+1\cdot 4-1\cdot 2}{\sqrt{1+1+1}\cdot \sqrt{1+16+4}}=\frac{1}{\sqrt{7}}$$.
Выберите один из вариантов
Угловой коэффициент уравнение медианы $$BM$$ треугольника с вершинами в точках $$A(-2; -2)$$, $$B(3; 2)$$, $$C(4; 0)$$ равен:
1. Найдем координаты середины стороны $$AC$$:
$$M\left ( \frac{-2+4}{2}; \frac{-2+0}{0} \right )$$, $$M(1; -1)$$ .
2. Найдем уравнение медианы $$BM$$:
$$\frac{x-3}{1-3}=\frac{y-2}{-1-2}$$, откуда $$y=1,5x-2,5$$ .
Следовательно, $$k=1,5$$ .
Введите ответ в поле