Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Студент
Способы интегрирования ИТ
45.000

Способы интегрирования ИТ

Найдите интеграл $$\int\sqrt{2+2x-x^{2}}dx$$:
  1. Формула изменения формы дифференциала:
    $$\int f(x)dx=\int\frac{f(x)dg(x)}{{g}'(x)}$$. 
  2. Табличный интеграл:
    $$\int\sqrt{a^{2}-u^{2}}du=\frac{u}{2}\sqrt{a^{2}-u^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\textrm{arcsin}\frac{u}{a}+C$$.
  1. Преобразуем квадратный трехчлен:
    $$f(x)=-(x^{2}-2x-2)$$, $$f(x)=-(x^{2}-2x+1-3)$$, $$f(x)=3-(x-1)^{2}$$. 
  2. Найдем интеграл:
    $$I=\int\sqrt{3-(x-1)^{2}}d(x-1)$$.
    Учитывая, что $$u=x-1$$, $$a=\sqrt{3}$$ , получим:
    $$I=\frac{x-1}{2}\sqrt{3-(x-1)^{2}}+\frac{3}{2}\textrm{arcsin}\frac{x-1}{\sqrt{3}}+C$$.
$$u=x-1$$; $$a=\sqrt{3}$$; $${(x-1)}'=1$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int\frac{5x^{2}-2}{x(x^{2}+2)}dx$$:
  1. Формула изменения формы дифференциала:
    $$\int f(x)dx=\int\frac{f(x)dg(x)}{{g}'(x)}$$.
  2. Табличный интеграл:
    $$\int\frac{dx}{x}=\textrm{ln}|x|+C$$.

  1. Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей: 
    $$\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+2}=\frac{Ax^{2}+2A+Bx^{2}+Cx}{x(x^{2}+2)}$$, 
    откуда $$(A+B)x^{2}+Cx+2A=5x^{2}-2$$. 
  2. Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменных, получим: 
    $$\left\{\begin{array}{lr} A+B=5, \\ C=0, \\ 2A=-2 ;\end{array}\right. $$  $$\left\{\begin{array}{lr} A=-1, \\ B=6, \\ C=0. \end{array}\right. $$ 
  3. Найдем сумму интегралов: 
    $$I=-\int\frac{dx}{x}+\int\frac{6xdx}{x^{2}+2}$$,
    $$I=-\textrm{ln}x+\int\frac{6dx(x^{2}+2)}{(x^{2}+2)2x}$$,
    $$I=-\textrm{ln}|x|+3\ln(x^{2}+2)+C$$.
    При разложении рациональных дробей на сумму простейших дробей необходимо помнить, что степень многочлена-числителя на 1 меньше степени многочлена-знаменателя. 
    Например:
      $$\frac{P_{0}(x)}{P_{1}(x)}=\frac{A}{ax+b}$$,
      $$\frac{P_{1}(x)}{P_{2}(x)}=\frac{Ax+B}{ax^{2}+bx +c}$$,
    где числа $$A$$, $$B$$, $$C$$ – неопределенные коэффициенты.
    Выберите один из вариантов
    Найдите интеграл $$\int\frac{5x-2}{x(x-2)}dx$$:
    1. Формула изменения формы дифференциала:
      $$\int f(x)dx=\int\frac{f(x)dg(x)}{{g}'(x)}$$. 
    2. Табличный интеграл:
      $$\int\frac{dx}{x}=\textrm{ln}|x|+C$$.
    1. Представим интегральную функцию в виде суммы простейших дробей:
      $$\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}=\frac{Ax-2A+Bx}{x(x-2)}$$, откуда $$(A+B)x-2A=5x-2$$. 
    2. Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменных, получим:
      $$\left\{\begin{array}{lr} A+B=5, \\ -2A=-2; \end{array}\right. $$  $$\left\{\begin{array}{lr} B=4, \\ A=1. \end{array}\right. $$ 
    3. Найдем сумму интегралов:
      $$I=\int\frac{dx}{x}+\int\frac{4d(x-2)}{x-2}$$,
      $$I=\textrm{ln}|x|+4\textrm{ln}|x-2|+C$$.
    1. Свойства логарифмов:
      $$n\textrm{log}_{a}b=\textrm{log}_{a}b^{n}$$;
      $$\textrm{log}_{a}b+\textrm{log}_{a}c=\textrm{log}_{a}bc$$.
    2. Преобразование ответа:
      $$\textrm{ln}|x|+\textrm{ln}|x-2|^{4}+C=\textrm{ln}|x(x-2)^{4}|+C$$.
    Выберите один из вариантов
    Найдите интеграл $$ \int\frac{dx}{5x^{2}-2x+1}$$:
    1. Формула изменения формы дифференциала:
      $$\int f(x)dx=\int\frac{f(x)dg(x)}{{g}'(x)}$$.
    2. Табличный интеграл:
      $$\int\frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\textrm{arctg}\frac{u}{a}+C$$.
    1. Преобразуем квадратный трехчлен:
      $$f(x)=5\left (x^{2}-2 \cdot \frac{1}{5}x+\frac{1}{5}+\frac{1}{25}-\frac{1}{25}\right )$$,
      $$f(x)=5 \left (\left(x-\frac{1}{5}\right )^{2}+\frac{4}{25}\right)$$.
    2. Найдем интеграл:
      $$I=\frac{1}{5}\int\frac{d(x-0,2)}{(x-0,2)^{2}+0,4^{2}}$$.
      Учитывая, что $$u=x-0,2$$, $$a=0,4$$, получим:
      $$I=\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{0,4}\textrm{arctg}\frac{x-0,2}{0,4}+C$$.
    $$u=x-0,2$$; $$a=0,4$$; $${(x-0,2)}'=1$$.
    Выберите один из вариантов
    Найдите интеграл $$\int\frac{2x^{3}+3x^{2}-4}{x^{2}-4}dx$$:
    Табличные интегралы:
    1. $$\int dx=x+C$$; 
    2. $$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$; 
    3. $$\int\frac{dx}{x}=\textrm{ln}|x|+C$$.
    1. Так как подынтегральная функция предоставлена неправильной рациональной дробью, то выполним деление многочленов:
      Запишем результат деления:
      $$\frac{2x^{3}+3x^{2}-4}{x^{2}-4}=2x+3+\frac{8x+8}{x^{2}-9}$$.
    2. Представим полученную дробь в виде суммы простейших дробей:
      $$\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x+2)}=\frac{Ax+2A+Bx-2B}{(x-2)(x+2)}$$, откуда $$8x+8=(A+B)x+(2A-2B)$$. 
    3. Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменных, получим:
      $$\left\{\begin{array}{lr} A+B=8, \\ A-B=4; \end{array}\right. $$ $$\left\{\begin{array}{lr} A=6, \\ B=2. \end{array}\right. $$ 
    4. Найдем сумму интегралов:
      $$I=2\int xdx+3\int dx+6\int\frac{d(x-2)}{x-2}+2\int\frac{d(x+2)}{x+2}$$,
      $$I=x^{2}+3x+6\textrm{ln}|x-2|+2\textrm{ln}|x+2|+C$$.
    Дробной рациональной функцией называют функцию вида:
    $$f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$$,
    где $$P_{n}(x)$$ и $$Q_{m}(x)$$ – многочлены степеней $$n$$ и $$m$$ соответственно.
    Выберите один из вариантов
    Найдите интеграл $$\int 24\sin^{3}x \cdot \cos^{2}xdx$$:
    Формулы тригонометрии:
    1. $$\sin\alpha x \cos\alpha x= \frac{1}{2} \sin 2\alpha x$$; 
    2. $$\sin^{2}x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)$$; 
    3. $$\sin\alpha x\cos\beta x=\frac{1}{2}(\sin(\alpha x -\beta x)+\sin(\alpha x+\beta x))$$.
    1. Преобразуем подынтегральную функцию: 
      $$f(x)=6\sin{x} \cdot 4\cos^{2}x \cdot \sin^{2}x$$, $$f(x)=6\sin{x} \cdot \sin^{2}2x$$, 
      $$f(x)=3\sin{x}(1-\cos 4x)$$, $$f(x)=3\sin{x}-3\sin{x}\cos 4x$$, 
      $$f(x)=3\sin{x}+1,5\sin 3x-1,5\sin 5x$$. 
    2. Найдем сумму интегралов:
      $$I=3\int \sin{x}dx+\frac{1,5}{3}\int \sin 3xd(3x)-\frac{1,5}{5}\int \sin 5xd(5x)$$,
      $$I=-3\cos{x}-0,5\cos 3x+0,3\cos 5x+C$$.
    1. Если интеграл имеет вид $$\int \sin^{n}x\cos^{m}xdx$$ и числа $$n$$ и $$m$$ четные, то подынтегральную функцию необходимо преобразовать с помощью формул понижения степени:
      $$\cos^{2}x=0,5(1+\cos2x)$$; $$\sin^{2}x=0,5(1-\cos2x)$$. 
    2. Если хотя бы одно из чисел  $$n$$ и $$m$$ нечетное, то необходимо отделить от нечетной степени один множитель.
    Выберите один из вариантов
    Найдите интеграл $$\int\frac{5x-2}{x(x-2)^{2}}dx$$:
    1. Изменение формы дифференциала:
      $$\int f(x)dx=\int\frac{f(x)dg(x)}{{g}'(x)}$$. 
    2. Табличные интегралы:
      $$\int\frac{dx}{x}=\textrm{ln}|x|+C$$;
      $$\int\frac{dx}{x^{2}}=-\frac{1}{x}+C$$.
    1. Представим подынтегральную функцию в виду суммы простейших дробей:
      $$\frac{5x-2}{x(x-2)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^{2}}$$,
      $$\frac{5x-2}{x(x-2)^{2}}=\frac{A(x-2)^{2}+B(x^{2}-2x)+Cx}{x(x-2)^{2}}$$,
      откуда $$(A+B)x^{2}+(C-4A-2B)x+4A=5x-2$$.
    2. Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменных, получим:
      $$\left\{\begin{array}{lr} A+B=0, \\ C-4A-2B=5, \\ 4A=-2; \end{array}\right. $$ $$\left\{\begin{array}{lr} A=-0,5, \\ B=0,5, \\ C=4. \end{array}\right. $$ 
    3. Найдем сумму интегралов:
      $$I=-\int\frac{dx}{2x}+\int\frac{d(x-2)}{2(x-2)}+\int\frac{4d(x-2)}{(x-2)^{2}}$$,
      $$I=-\frac{1}{2}\textrm{ln}|x|+\frac{1}{2}\textrm{ln}|x-2|-\frac{4}{x-2}+C$$.
    1. Свойства логарифмов:
      $$n\textrm{log}_{a}b=\textrm{log}_{a}b^{n}$$;
      $$\textrm{log}_{a}b-\textrm{log}_{a}c=\textrm{log}_{a}\frac{b}{c}$$. 
    2. Преобразование ответа:
      $$I=-\textrm{ln}\sqrt{x}+\textrm{ln}\sqrt{x-2}-\frac{4}{x-2}+C$$,
      $$I=\textrm{ln}\sqrt{\frac{x-2}{x}}+\frac{4}{2-x}+C$$.
    Выберите один из вариантов
    Найдите интеграл $$\int\frac{dx}{\sqrt{x-10x^{2}}}$$:
    1. Формула изменения формы дифференциала:
      $$\int f(x)dx=\int\frac{f(x)dg(x)}{{g}'(x)}$$. 
    2. Табличный интеграл:
      $$\int\frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}=\textrm{arcsin}\frac{u}{a}+C$$.
    1. Преобразуем квадратный трехчлен:
      $$f(x)=-10\left(x^{2}-\frac{1}{10}x\right)$$,
      $$f(x)=-10\left(x^{2}-2\cdot \frac{1}{20}x+\frac{1}{20^{2}}-\frac{1}{20^{2}}\right)$$,
      $$f(x)=10\left(\frac{1}{20^{2}}-\left(x-\frac{1}{20}^{2}\right) \right)$$. 
    2. Найдем интеграл:
      $$I=\frac{1}{\sqrt{10}}\int\frac{d(x-0,05)}{\sqrt{0,05^{2}-(x-0,05)^{2}}}$$.
      Учитывая, что $$u=x-0,05$$, $$a=0,05$$, получим:
      $$I=\frac{1}{\sqrt{10}}\textrm{arcsin}\frac{x-0,05}{0,05}+C$$.
    $$u=x-0,05$$; $$a=0,05$$; $${(x-0,05)}'=1$$.
    Выберите один из вариантов
    Найдите интеграл $$\int \frac{dx}{\sin{x}}$$:
    Формулы тригонометрии:
    1.  $$\cos^{2}x=0,5(1+\cos{2x})$$; 
    2. $$\sin{x}=\frac{2\textrm{tg}0,5x}{1+\textrm{tg}^{2}0,5x}$$; 
    3. $$\cos{x}=\frac{1-\textrm{tg}^{2}0,5x}{1+\textrm{tg}^{2}0,5x}$$.
    1. Положим $$\textrm{tg}\frac{x}{2}=t$$, $$\sin{x}=\frac{2t}{1+t^{2}}$$, $$\cos{x}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$$. 
    2. Дифференцируя равенство $$\textrm{tg}\frac{x}{2}=t$$, получим: 
      $$\frac{dx}{2\cos^{2}0,5x}=dt$$, $$dx=(1+\cos{x})dt$$, 
      $$dx=(1+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}})dt$$, $$dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$$. 
    3. Найдем интеграл:
      $$I=\int \frac{2dt(1+t^{2})}{(1+t^{2})2t}$$, $$I=\int \frac{dt}{t}=\textrm{ln}|t|+C$$,
      $$I=\textrm{ln}|\textrm{tg}0,5x|+C$$.
    Если интеграл имеет вид 
    $$\int R(\sin{x}; \cos{x})dx$$, 
    где $$R$$ – рациональная функция $$\sin{x}$$ и $$\cos{x}$$,
    то необходимо применить подстановку: 
    $$\textrm{tg}\frac{x}{2}=t$$, $$\sin{x}=\frac{2t}{1+t^{2}}$$, $$\cos{x}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$$.
    Выберите один из вариантов
    Найдите интеграл $$\int \frac{dx}{1+\textrm{tg}0,5x}$$:
    Формулы тригонометрии:
    1.  $$\cos^{2}x=0,5(1+\cos{2x})$$; 
    2. $$\sin{x}=\frac{2\textrm{tg}0,5x}{1+\textrm{tg}^{2}0,5x}$$; 
    3. $$\cos{x}=\frac{1-\textrm{tg}^{2}0,5x}{1+\textrm{tg}^{2}0,5x}$$.
    1. Положим: $$\textrm{tg}\frac{x}{2}=t$$, $$\cos{x}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$$. 
      Тогда: $$\frac{dx}{2\cos^{2}0,5x}=dt$$, $$dx=\left(1+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)dt$$, $$dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$$. 
      Получим интеграл: $$\int \frac{dx}{1+\textrm{tg}0,5x}=\int \frac{2dt}{(1+t^{2})(1+t)}$$. 
    2. Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей: 
      $$f(x)=\frac{2}{(t+1)(t^{2}+1)}$$, $$f(x)=\frac{A}{t+1}+\frac{Bt+C}{t^{2}+1}$$, 
      $$f(x)=\frac{(A+B)t^{2}+(C+B)t+(A+C)}{(t+1)(t^{2}+1)}$$, откуда 
      $$\left\{\begin{array}{lr} A+B=0, \\ C+B=0 \\ A+C=2; \end{array}\right. $$   $$\left\{\begin{array}{lr} B=-1, \\ C=1 \\ A=1. \end{array}\right. $$ 
    3. Найдем сумму интегралов: 
      $$I=\int \frac{dt}{t+1}+\int \frac{(-t+1)dt}{t^{2}+1}$$,
      $$I=\int \frac{dt}{t+1}-\int \frac{tdt}{t^{2}+1}+\int \frac{dt}{t^{2}+1}$$,
      $$I=\int \frac{d(t+1)}{t+1}-\int \frac{td(t^{2}+1)}{(t^{2}+1)2t}+\int \frac{dt}{t^{2}+1}$$, 
      $$I=\textrm{ln}|t+1|-0,5\textrm{ln}|t^{2}+1|+\textrm{arctg}t+C$$, 
      $$I=\textrm{ln}|\textrm{tg}0,5x+1|-\textrm{ln}\sqrt{\textrm{tg}^{2}0,5x+1}+0,5x+C$$, 
      $$I=\textrm{ln}|\textrm{tg}0,5x+1|+\textrm{ln}|\cos0,5x|+0,5x+C$$,
      $$I=\textrm{ln}|\sin0,5x+\cos0,5x|+0,5x+C$$.
    $$\textrm{arctg}(\textrm{tg}0,5x)=0,5x$$.
    Выберите один из вариантов
    © Сиротина И.К., 2013—2026