Неопределенный интеграл КТ 1
Найдите интеграл $$\int sin^{5}x\cdot cos^2xdx$$:
Изменим форму дифференциала:
$$I=\int \frac{sin^{5}x\cdot cos^2xd(cosx)}{(cosx)'}$$,
$$I=-\int sin^{4}\cdot cos^{2}xd(cosx)$$.
Преобразуем подынтегральную функцию:
$$f(x)=\left ( sin^{2}x \right )^{2}\cdot cos^2 x$$, $$f(x)=\left ( 1-cos^{2}x \right )^{2}$$, $$f(x)=cos^{2}x-2cos^{4}x+cos^{6}x$$.
Найдем сумму интегралов:
$$I_{1}=-\int cos^{2}xd(cosx)$$,
$$I_{2}=2\int cos^4 xd(cosx)$$,
$$I_{3}=-\int cos^6xd(cosx)$$.
Следовательно:
$$I=-\frac{cos^{3}x}{3}+\frac{2cos^{5}x}{5}-\frac{cos^7 x}{7}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int x\sqrt{1+5x}dx$$:
Положим $$\sqrt{1+5x}=t$$, откуда $$x=0,2(x^2-1)$$.
Продифференцируем это равенство:
$$x'dt=0,2(t^2-1)'dt$$, откуда $$dx=0,4tdt$$.
Перейдем к новой переменной:
$$I=\int 0,2(t^2-1)\cdot t\cdot 0,04tdt$$,
$$I=0,08\int (t^4-t^2)dt$$,
$$I=0,08\left ( \frac{t^5}{5}-\frac{t^3}{3}+C \right )$$.
Учитывая, что $$t=\sqrt{1+5x}$$, получим:
$$I= \frac{0,08\sqrt{(1+5x)^5}}{5}-\frac{0,08\sqrt{(1+5x)^3}}{3}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int arcsin2xdx$$:
Полагая $$arcsin2x= u$$, a $$dx=dv$$ , получим:
$$\frac{2dx}{\sqrt{1-4x^{2}}}=du$$, а $$x=v$$.
Применим формулу интегрирования по частям:
$$I=x\cdot arcsin2x-\int \frac{2xdx}{\sqrt{1-4x^{2}}}$$,
$$I=x\cdot arcsin2x+\frac{1}{4}\int \frac{d(1-4x^{2})}{\sqrt{1-4x^{2}}}$$,
$$I=x\cdot arcsin2x+\frac{1}{2}\sqrt{1-4x^{2}}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{(x-4)dx}{x^{3}+4x^{2}}$$:
Преобразуем подынтегральную функцию:
$$f(x)=\frac{x-4}{x^{2}(x+4)}$$, $$f(x)=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+4}$$, $$f(x)=\frac{A(x^{2}+4x)+B(x+4)+Cx^{2}}{x^{2}(x+4)}$$,
$$f(x)=\frac{(A+C)x^{2}-(4A+B)x+4B}{x^{2}(x+4)}$$.
Решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lr} A+C=0, \\ 4A+B=1, \\ 4B=-4; \end{array}\right. $$ $$\left\{\begin{array}{lr} C=-0,5, \\ A=0,5, \\ B=-1. \end{array}\right. $$
Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:
$$\frac{x-4}{x^{3}+4x^{2}}=\frac{0,5}{x}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{0,5}{x+4}$$.
Найдем сумму интегралов:
$$I=\int \frac{0,5dx}{x}-\int \frac{dx}{x^{2}}-\int \frac{0,5d(x+4)}{x+4}$$,
$$I=\frac{1}{2}ln\left | x \right |+\frac{1}{x}-\frac{1}{2}ln\left | x+4 \right |+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{(3x^{3}+\sqrt[3]{x^{2}})dx}{\sqrt{x^{3}}}$$:
Преобразуем подынтегральную функцию:
$$\frac{3x^{3}+x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{3}{2}}}=\frac{3x^{3}}{x^{\frac{3}{2}}}+\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{3}{2}}}=3x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{5}{6}}$$.
Найдем сумму интегралов:
$$I=\int 3x^{\frac{3}{2}}dx+\int x^{-\frac{5}{6}}dx$$,
$$I=\frac{6}{5}x^{\frac{5}{2}}+6x^{\frac{1}{6}}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{5^{2+5x}dx}{2^{5x}}$$:
Преобразуем подынтегральную функцию:
$$\frac{5^2\cdot5^{5x}}{2^{5x}}=5^2\cdot 2,5^{5x}$$.
Найдем интеграл:
$$5^2\int \frac{2,5^{5x}d5x}{{(5x)}'}=\frac{5\cdot2,5^{5x}}{ln2,5}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите и интеграл $$\int \frac{\sqrt[4]{\sqrt{x}-15}}{4\sqrt{x}}$$:
Положим $$\sqrt{x}=t$$, откуда $$x=t^2$$.
Продифференцируем это равенство:
$${x}'dx=(t^2)'dt$$, откуда $$dx=2tdt$$.
Перейдем к новой переменной:
$$I=\int \frac{\sqrt[4]{t-15}\cdot 2tdt}{4t}$$,
$$I=\frac{1}{2}\int \frac{(t-15)^{\frac{1}{4}}d(t-15)}{(t-15)'}$$,
$$I=\frac{2}{5}(t-15)^{\frac{5}{4}}+C$$.
Учитывая, что $$t=\sqrt{x}$$, получим:
$$I= 0,4\left ( \sqrt{x}-15 \right )^{1,25}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{e^{tgx}dx}{cos^{2}x}$$:
Изменим форму дифференциала:
$$\int \frac{e^{tgx}d(tgx)}{cos^{2}x\cdot(tgx)'}=\int e^{tgx}d(tgx)=e^{tgx}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{dx}{\sqrt{2+2x-x^{2}}}$$:
Преобразуем квадратный трехчлен:
$$-(x^{2}-2x-2)=3-(x-1)^2$$.
По формуле $$\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}=arcsin\frac{u}{a}+C$$ получим:
$$\int \frac{d(x-1)}{\sqrt{3-(x-1)^{2}}}=arcsin\frac{x-1}{\sqrt{3}}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{dx}{16+6x-x^{2}}$$:
преобразуем квадратные трехчлен:
$$(x^{2}-6x+9)-25=(x-3)^2 -5^2$$.
По формуле $$\int \frac{du}{u^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}ln\left | \frac{u-a}{u+a} \right |+C$$ получим:
$$I=-\int \frac{d(x-3)}{(x-3)^{2}-25}$$,
$$I=-\frac{1}{2\cdot 5}ln\left | \frac{(x-3-5)}{(x-3+5)} \right |+C$$,
$$I=-\frac{1}{10}ln\left | \frac{x-8}{x+2} \right |+C$$.
Выберите один из вариантов