Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Студент
Неопределенный интеграл КТ 2
45.000

Неопределенный интеграл КТ 2

Найдите интеграл $$\int \frac{dx}{x^2-6x+34}$$ :
  1. Преобразуем квадратный трехчлен:
    $$(x^2-6x+9)+25=(x-3)^2+5^2$$. 
  2. По формуле $$\int \frac{du}{u^2+a^2}=\frac{1}{a}\textrm{arctg}\frac{u}{a}+C$$ получим:
    $$\int \frac{d(x-3)}{(x-3)^2+5^2}=\frac{1}{5}\textrm{arctg}\frac{x-3}{5}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \textrm{sin} 1,5x \cdot \textrm{sin} 4,5x\cdot dx$$:
  1. Преобразуем подынтегральную функцию:
    $$f(x)=0,5(\textrm{cos}(1,5x-4,5x) - \textrm{cos}(1,5x+4,5x))$$,
    $$f(x)=0,5(\textrm{cos}3x-\textrm{cos} 6x)$$. 
  2. Найдем сумму интегралов:
    $$I=\frac{1}{2}\int \frac{\textrm{cos}3xd(3x)}{3}-\frac{1}{2}\int \frac{\textrm{cos}6xd (6x)}{6}$$,
    $$I=\frac{\textrm{sin}3x}{6}-\frac{\textrm{sin}6x}{12}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int (14-4x)\sqrt[5]{7-2x}dx$$:
  1. Преобразуем подынтегральную функцию:
    $$2(7-2x)\sqrt[5]{7-2x}=2(7-2x)^\frac{6}{5}$$. 
  2. Найдем интеграл:
    $$I=2\int \frac{(7-2x)^\frac{6}{5}d(7-2x)}{-2}$$,
    $$I=-\frac{5(7-2x)^\frac{11}{5}}{11}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{dx}{1+2\textrm{cos}^{2}0,5x}$$ :
  1. Положим: $$\textrm{tg}0,5x=t$$.
    Тогда $$(\textrm{tg}0,5x)'dx=t'dt$$, $$\frac{dx}{2\textrm{cos}^{2}0,5x}=dt$$, $$dx=(1+\textrm{cos}x)dt$$. 
  2. Так как $$\textrm{cos}x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$, то:
    $$dx=\left(1+\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)dt$$, $$dx=\frac{2dt}{1+t^2}$$; $$1+2\textrm{cos}^{2}0,5x=2+\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{3+t^2}{1+t^2}$$. 
  3. Найдем интеграл:
    $$I=\int \frac{dx}{1+2\textrm{cos}^{2}0,5x}$$,
    $$I=\int \frac{2dt\cdot (1+t^2)}{(1+t^2)(3+t^2)}$$,
    $$I=2\int \frac{dt}{3+t^2}$$,
    $$I=\frac{2}{\sqrt{3}}\textrm{arctg}\frac{t}{\sqrt{3}}+C$$,
    $$I=\frac{2}{\sqrt{3}}\textrm{arctg}\frac{\textrm{tg}0,5x}{\sqrt{3}}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{6-2x}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}dx$$:

  1. Преобразуем подынтегральную функцию:
    $$f(x)=\frac{-2(x-3)}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}$$,
    $$f(x)=\frac{-2(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3x})}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}$$,
    $$f(x)=-2(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3x})$$. 
  2. Найдем сумму интегралов:
    $$I=\int x^\frac{2}{3}dx +\sqrt[3]{9}\int dx + \sqrt[3]{3}\int x^\frac{1}{3}dx$$,
    $$I=\frac{3}{5}x^\frac{5}{3}+\sqrt[3]{9}x+\frac{3\sqrt[3]{3}}{4}x^\frac{4}{3}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int x^2\textrm{sin}xdx$$:
  1. Применим формулу интегрирования по частям.
    Полагая $$x^2 = u$$, а $$\textrm{sin}xdx = dv$$, получим:
    $$2xdx =du$$, а $$-\textrm{cos}x=v$$.
    Следовательно, $$I_{1}=-x^2\textrm{cos}x +2\int x\textrm{cos}xdx$$.
  2. Чтобы найти интеграл $$I_{2}=\int x\textrm{cos}xdx$$, применим еще раз формулу интегрирования по частям.
    Полагая $$x = u$$, а $$\textrm{cos}xdx =dv$$, получим:
    $$dx=du$$, а $$\textrm{sin}x=v$$.
    Следовательно, $$I_{2}= x\textrm{sin}x-\int \textrm{sin}xdx=x\textrm{sin}x+\textrm{cos}x$$. 
  3. Запишем ответ:
    $$I_{1}=-x^2\textrm{cos}x+2\textrm{sin}x+2\textrm{cos}x+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{5x^2+2}{x^2-2x}dx$$ :
    1. Так как подынтегральная функция представлена неправильной рациональной дробью, то выполним     деление многочленов:
    Запишем результат деления:
    $$\frac{5x^2+2}{x^2-2x}=5+\frac{10x+2}{x^2-2x}$$.
    2. Представим полученную дробь в виде суммы простейших дробей.
    $$\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}=\frac{(A+B)x-2A}{x(x-2)}$$.
    Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменных,  получим систему уравнений:
    $$\begin{cases}A+B=10,\\-2A=2;\end{cases}$$ $$\begin{cases}B=11,\\A=-1.\end{cases}$$
    3. Найдем сумму интегралов:
    $$I=\int 5dx -\int \frac{dx}{x}+\int \frac{11d(x-2)}{x-2}$$, 
    $$I=5x-\textrm{ln}|x|+11\textrm{ln}|x-2|+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{4x+3}{\sqrt{4x-3}}dx$$:

  1. Полагая $$\sqrt{4x-3}=t$$, получим:
    $$4x-3=t^2$$, $$4x+3=t^2+6$$, $$dx=\frac{t}{2}dt$$. 
  2. Переходя к новой переменной, получим интеграл:
    $$I=\int \frac{(t^2+6)tdt}{2\cdot t}$$, $$I=\frac{1}{2}\int (t^2+6)dt$$, $$I=\frac{t^3}{6}+3t+C$$. 
  3. Учитывая, что $$t=\sqrt{4x-3}$$, запишем:
    $$I=\frac{\sqrt{(4x-3)^3}}{6}+3\sqrt{4x-3}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{e^\sqrt{2x}dx}{\sqrt{5x}}$$:
Изменяя формулу дифференциала, получим:
    $$I=\int \frac{e^{\sqrt{2x}}dx}{\sqrt{5x}}$$,
    $$I=\int \frac{e^{\sqrt{2x}}d\sqrt{2x}}{\sqrt{5x}(\sqrt{2x})'}$$,
    $$I=\int \frac{e^{\sqrt{2x}}d\sqrt{2x}\cdot \sqrt{2}\sqrt{x}}{\sqrt{5}\sqrt{x}}$$,
    $$I=\sqrt{0,4}\int e^{\sqrt{2x}}d\sqrt{2x}$$, $$I=\sqrt{0,4}e^{\sqrt{2x}}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \textrm{ln}\sqrt[3]{x+3}dx$$:
  1. Преобразуем интеграл:
    $$\int \ln\sqrt[3]{x+3}dx=\frac{1}{3}\int \textrm{ln}(x+3)dx = I$$. 
  2. Полагая $$\textrm{ln}(x+3)=u$$, а $$dx=dv$$, получим:
    $$\frac{dx}{x+3}=du$$, а $$x=v$$. 
  3. Применим формулу интегрирования по частям:
    $$I=\frac{1}{3}(x\textrm{ln}(x+3)-\int \frac{xdx}{x+3})$$,
    $$I=\frac{x}{3}\textrm{ln}(x+3)-\frac{1}{3}\int \frac{(x+3)-3}{x+3}dx$$,
    $$I=\frac{x}{3}\textrm{ln}(x+3)-\frac{1}{3}\int dx+\int \frac{d(x+3)}{x+3}$$,
    $$I=\frac{x}{3}\textrm{ln}(x+3)-\frac{x}{3}+\textrm{ln}(x+3)+C$$.
Выберите один из вариантов
© Сиротина И.К., 2013—2026