Нахождение пределов ИТ
Результат вычисления предела $$\lim_{x \rightarrow \infty} \left (\frac{x-5}{x+4} \right )^{x}$$ равен:
- Свойство пределов:
$$\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x))^{g(x)}= \left (\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) \right )^{\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)}$$. - Второй замечательный предел:
$$\lim_{x \rightarrow \infty} \left (1+\frac{1}{x} \right )^{x}=e$$.
Имеем неопределенность вида $$\left(\frac{\infty}{\infty}\right)^{\infty}$$.
- Преобразуем дробь $$\frac{x-5}{x+4}$$:
$$\frac{x-5+4-4}{x+4}=\frac{(x+4)-9}{x+4}=1+\frac{-9}{x+4}$$. - Получим неопределенность $$1^{\infty}$$:
$$L=\lim_{x \rightarrow \infty} \left (1+\frac{-9}{x+4} \right )^{x}$$. - Умножим показатель степени на $$\frac{-9}{x+4}$$ и на $$\frac{x+4}{-9}$$:
$$L=\lim_{x \rightarrow \infty} \left (1+\frac{-9}{x+4} \right )^{x \cdot \frac{-9}{x+4} \cdot \frac{x+4}{-9}}$$,
$$L= \lim_{ x\rightarrow \infty} \left ( \left (1+\frac{-9}{x+4} \right )^{\frac{x+4}{-9}} \right )^{\frac{-9x}{x+4}}$$. - Применим второй замечательный предел:
$$L=e^{\lim_{ x\rightarrow \infty} \frac{-9x}{x+4}}=e^{-9}$$.
Вычислим предел:
$$\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{-9x}{x+4}= \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{-9}{1+\frac{4}{x}}=\frac{-9}{1+0}=-9$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\textrm{sin}^{2}{4x}}{x^{2}}$$ равно:
- Свойства пределов:
$$\lim_{x \rightarrow x_{0}}kf(x)= k \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)$$;
$$\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x))^{n}=(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x))^{n}$$. - Первый замечательный предел:
$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin kx}{kx}=1$$.
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
- Выполним преобразования:
$$L=\lim_{x \rightarrow 0}\left (\frac{\textrm{sin}{4x}}{x} \right )^{2}$$,
$$L=\left (4 \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\textrm{sin}{4x}}{4x}\right )^{2}$$. - Применим первый замечательный предел:
$$L=(4 \cdot 1)^{2}=16$$.
Значение предела можно найти иначе:
- $$L=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\textrm{sin}{4x}}{x} \cdot \frac{\textrm{sin}{4x}}{x}\right)$$,
$$L=4 \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\textrm{sin}{4x}}{4x} \cdot 4\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\textrm{sin}{4x}}{4x}$$,
$$L=4\cdot 1\cdot 4\cdot 1=16$$.
Введите ответ в поле
Значение предела $$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\textrm{ln} {(1+5x)}}{\sin{x}}$$ равно:
- Первый замечательный предел:
$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac {\sin x}{x}=1$$. - Второй замечательный предел:
$$\lim_{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$$. - Свойства логарифмов:
$$n\cdot \ln x=\ln x^n$$; $$\ln e=\textrm{log}_e e=1$$.
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
- Выполним преобразования:
$$L=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\ln{(1+5x)}}{\sin{x}}$$,
$$L=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x \cdot {\ln{(1+5x)}}}{x \cdot {\sin{x}}}$$,
$$L=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x}\ln {(1+5x)}\cdot \lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{-1}$$,
$$L=\lim_{x \rightarrow 0}\ln(1+5x)^{\frac{1}{x}} \cdot \left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\right)^{-1}$$. - Применим первый замечательный предел:
$$L=\lim_{x \rightarrow 0}\ln(1+5x)^{\frac{1}{x}} \cdot 1$$. - Применим второй замечательный предел:
$$L=\ln \left (\lim_{x \rightarrow 0}(1+5x)^{\frac{1}{5x}} \right )^{5}= \ln{e^{5}}=5$$.
- Две бесконечно малые $$\alpha (x)$$ и $$\beta (x)$$ называют эквивалентными при $$x \rightarrow x_{0}$$, если
$$\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{\alpha (x)}{ \beta(x)}= \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{\beta(x)}{\alpha (x)}=1$$.
Записывают: $$\alpha (x) \sim \beta (x)$$ при $$x \rightarrow x_{0}$$. - Так как $$\ln (1+5x) \sim 5x$$ при $$x \rightarrow 0$$, то
$$L=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\ln(1+5x)}{\sin x}= \lim_{x \rightarrow 0}\frac{5x}{\sin x}$$,
$$L=5 \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{\sin x}=5$$.
Введите ответ в поле
Значение предела $$\lim_{x \rightarrow 0} \left (\frac{5+3x}{5} \right )^{\frac{1}{x}}$$ равно:
- Второй замечательный предел:
$$\lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e$$. - Свойство пределов:
$$\lim_{x \rightarrow a}f^n(x)=\left(\lim_{x \rightarrow 0}f(x)\right)^n$$.
Имеем неопределенность вида $$1^{\infty}$$.
- Запишем предел в виде:
$$L=\lim_{x \rightarrow 0} \left(1+\frac{3x}{5} \right )^{\frac{1}{x}}$$. - Умножим показатель степени на $$\frac{5}{3}$$ и на $$\frac{3}{5}$$:
$$L=\lim_{x \rightarrow 0} \left(1+\frac{3x}{5} \right )^{\frac{1}{x} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}}$$,
$$L=\left (\lim_{x \rightarrow 0} \left(1+\frac{3x}{5} \right )^{\frac{5}{3x}} \right )^{0,6}=e^{0,6}$$.
Второй замечательный предел:
- $$\lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e$$ или $$\lim_{x \rightarrow \infty} \left (1+\frac{1}{x} \right )^{x}=e$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x \rightarrow -3}\frac{\textrm{tg}{(x+3)}}{x^{2}+x-6}$$ равно:
- Свойства пределов:
$$\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left(f(x) \cdot g(x)\right)= \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) \cdot \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)$$;
$$\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left(f(x)\right)^n=\left(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)\right)^n$$. - Первый замечательный предел:
$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\textrm{sin}{x}}{x}=1$$. - Разложение квадратного трехчлена на множители:
$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$,
где $$x_1$$ и $$x_2$$ - корни квадратного трехчлена.
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
- Разложим квадратный трехчлен на множители:
$$x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$$. - Запишем предел в виде:
$$L=\lim_{x \rightarrow -3}\frac{\textrm{tg}(x+3)}{(x+3)} \cdot \lim_{x \rightarrow -3}\frac{1}{x-2}$$,
$$L=-\frac{1}{5} \lim_{x \rightarrow -3}\frac{\textrm{tg}{(x+3)}}{(x+3)}$$. - Полагая $$x+3=y$$, где $$y \rightarrow 0$$, получим:
$$L=-\frac{1}{5} \lim_{y \rightarrow 0}\frac{\textrm{tg}{y}}{y}$$,
$$L=-\frac{1}{5} \lim_{y \rightarrow 0}\frac{\sin y}{y\cdot \cos y}$$,
$$L=-\frac{1}{5} \lim_{y \rightarrow 0}\frac{\sin y}{y}\cdot \lim_{y \rightarrow 0}\frac{1}{\cos y}$$,
$$L=-\frac{1}{5} \cdot 1\cdot 1= -\frac{1}{5}$$.
Тригонометрическое тождество:
- $$\textrm{tg} x=\frac {\sin x}{\cos x}$$.
Введите ответ в поле
Значение выражения $$A=5\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin5x}{2x}+\cos7x\right)^{-1}$$ равно:
- Свойства пределов:
$$\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x) \pm g(x))= \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) \pm \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)$$;
$$\lim_{x \rightarrow x_{0}}kf(x)= k \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)$$;
$$\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x))^{n}=(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x))^{n}$$. - Первый замечательный предел:
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin{x}}{x}=1$$ или $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin{kx}}{kx}=1$$.
- Запишем данное выражение в виде:
$$A=5\left(\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin5x}{2x}+\cos7x\right)\right)^{-1}$$. - Найдем предел $$L_1$$:
$$L_1=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin5x}{2x}$$, $$L_1=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{5}{2}\cdot\frac{\sin5x}{5x}\right)$$, $$L_1=\frac{5}{2}\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin5x}{5x}=\frac{5}{2}\cdot 1=\frac{5}{2}$$. - Найдем предел $$L_2$$:
$$L_2=\lim_{x \rightarrow 0}\cos7x=\cos 0=1$$. - Найдем значение выражения $$A$$:
$$A= 5\left(\frac{5}{2}+1\right)^{-1}=\frac{5 \cdot 2}{7}=\frac{10}{7}$$.
$$\cos0=1$$, $$\sin 0=0$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{x^{2}}$$ равно:
- Свойства пределов:
$$\lim_{x \rightarrow x_{0}}kf(x)=k \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)$$;
$$\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x))^{n}=\left(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)\right)^{n}$$. - Первый замечательный предел:
$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{kx}}{kx}=1$$. - Формула понижения степени:
$${\textrm{sin}}^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos{x}}{2}$$.
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
- Учитывая, что $$1-\cos{x}=2\sin^{2}\frac{x}{2}$$, получим:
$$L=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{x^{2}}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^{2}0,5x}{x^{2}}$$. - Применим первый замечательный предел:
$$L=2\lim_{x \rightarrow 0}\frac{0,25\sin^{2}0,5x}{0,25x^{2}}$$,
$$L=0,5 \left (\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin0,5x}{0,5x} \right )^{2}=0,5 \cdot 1^2=0,5$$.
Эквивалентные функции:
- $$1-\cos{x} \sim \frac{x^{2}}{2}$$ при $$x \rightarrow 0$$.
Введите ответ в поле
Значение выражения $$A=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{5x}{\textrm{tg}5x} + \frac{3x^{2}+2x}{x^{2}+5x}\right)$$ равно:
- Свойство пределов:
$$\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x) \pm g(x))= \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) \pm \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)$$. - Первый замечательный предел:
$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\textrm{sin}{kx}}{kx}=1$$. - Тригонометрическое тождество:
$$\textrm{tg}kx=\frac{\sin kx}{\cos kx}$$.
- Найдем предел $$L_1=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{5x}{\textrm{tg}5x}$$.
Так как имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$, то применим первый замечательный предел:
$$L_1=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{5x\cdot \cos 5x}{\sin 5x}$$,
$$L_1=\lim_{x \rightarrow 0} \cos 5x\cdot \lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin 5x}{5x}\right)^{-1}$$,
$$L_1=\cos 0\cdot 1^{-1}=1\cdot 1=1$$. - Найдем предел $$L_2=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3x^2+2x}{x^2+5x}$$.
Так как имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$, то разложим многочлены на множители и сократим дробь на критический множитель $$x$$:
$$L_2=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x(3x+2)}{x(x+5)}$$,
$$L_2=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3x+2}{x+5}=\frac{2}{5}$$. - Найдем значение выражения: $$A= 1+\frac{2}{5}=\frac{7}{5}$$.
Свойство степеней:
- $$\frac{a}{b}=\left(\frac{b}{a}\right)^{-1}$$.
Введите ответ в поле
Значение предела $$ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\textrm{arcsin}4x}{2x}$$ равно:
- Первый замечательный предел:
$$ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1$$. - Свойство пределов:
$$\lim_{x \rightarrow a}\left(f(x)\right)^n= \left(\lim_{x \rightarrow a}f(x)\right)^n$$.
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
- Полагая $$\textrm{arcsin}{4x}=y$$, получим:
$$4x=\sin{y}$$, откуда $$x=0,25\sin{y}$$, где $$y \rightarrow 0$$. - Найдем предел:
$$L=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{y}{2\cdot 0,25\sin{y}}$$, $$L=2\lim_{y \rightarrow 0}\frac{y}{\sin{y}}$$,
$$L=2\left(\lim_{y \rightarrow 0}\frac{\sin y}{y}\right)^{-1}$$, $$L=2 \cdot 1^{-1}=2$$.
Свойство степеней:
- $$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\left(\frac{b}{a}\right)^{-n}$$.
Введите ответ в поле
Значение предела $$L=\lim_{x \rightarrow \infty} \left (\frac{3x-2}{2x+3} \right )^{2x}$$ равно:
- Если пределы $$\lim_{x \rightarrow a}f(x)$$ и $$\lim_{x \rightarrow a}g(x)$$ конечны, то:
$$\lim_{x \rightarrow a}(f(x))^{g(x)}= \left (\lim_{x \rightarrow a}f(x) \right )^{\lim_{x \rightarrow a}g(x)}$$. - $$\lim_{x \rightarrow +\infty}a^{x}=+\infty$$, при $$a>1$$.
Имеем неопределенность вида $$\left(\frac{\infty}{\infty}\right)^{\infty}$$.
- Найдем предел $$L_1$$:
$$L_1=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3x-2}{2x+3}$$, $$L_1=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3-\frac{2}{x}}{2+\frac{3}{x}}=\frac{3}{2}$$. - Найдем предел $$L_2$$:
$$L_2=\lim_{x \rightarrow \infty}2x=\infty$$. - Найдем предел $$L$$:
$$L=\lim_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3}{2}\right)^{2x}=\infty$$.
- $$\lim_{x \rightarrow + \infty} a^{x}=0$$ при $$0 < a < 1$$.
- $$\lim_{x \rightarrow - \infty} a^{x}=+ \infty$$ при $$0 < a < 1$$.
- $$\lim_{x \rightarrow - \infty} a^{x}=0$$ при $$a > 1$$.
Выберите один из вариантов