Пределы КТ 1
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x^2-5x}{\sqrt{1-\textrm{cos}2x}}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
- Выполним преобразования:
$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x^2-5x}{\sqrt{1-\cos^2x+\sin^2x}}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(2x-5)}{\sqrt{2}\sin x}$$. - Применим первый замечательный предел:
$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sin x}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x-5}{\sqrt{2}}$$,
$$L=\left(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\right)^{-1}\cdot \frac{0-5}{\sqrt{2}}$$,
$$L=1^{-1}\cdot \left(-\frac{5}{\sqrt{2}}\right)=-\frac{5}{\sqrt{2}}$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{4-\sqrt{x+16}}}{{x^2+4x}}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
- Умножим числитель и знаменатель дроби на $$4+\sqrt{x+16}$$:
$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{16-(x+16)}{(x^2+4x)(4+\sqrt{x+16})}$$. - Применим формулу разности квадратов:
$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-x}{x(x+4)(4+\sqrt{x+16})}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-1}{(x+4)(4+\sqrt{x+16})}=-\frac{1}{32}$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow \infty }\left(\frac{x}{x-3}+\frac{2x}{x+3}\right)$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\infty +\infty$$.
- Выполним преобразования:
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^2+3x+2x^2-6x}{(x-3)(x+3)}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{3x^2-3x}{x^2-9}$$. - Получили неопределенность $$\frac{\infty }{\infty }$$.
Разделим числитель и знаменатель дроби на $$x^2$$:
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{3-\frac{3}{x}}{1-\frac{9}{x}}=\frac{3-0}{1-0}=3$$.
Введите ответ в поле
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow \infty }\left(\frac{x+8}{9x-4}\right)^{-5x}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\left(\frac{\infty}{\infty}\right)^{\infty}$$.
- Найдем предел:
$$L_1=\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{x+8}{9x-4}$$, $$L_1=\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{\frac{x}{x}+\frac{8}{x}}{\frac{9x}{x}-\frac{4}{x}}$$,
$$L_1=\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{1+\frac{8}{x}}{9-\frac{4}{x}}$$, $$L_1=\frac{1+0}{9-0}=\frac{1}{9}$$. - Найдем предел:
$$L_2=\left(\frac{1}{9}\right)^{-5\lim_{x\rightarrow\infty} x}$$, $$L_2=9^{5\lim_{x\rightarrow\infty} x}=\infty $$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{3}-2x^{2}+2x-1}{x^{3}-x^{2}}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
- Разложим квадратный трехчлен $$f(x)=x^{3}-2x^{2}+2x-1$$ на множители способом группировки:
$$f(x)=(x-1)(x^{2}+x+1)-2x(x-1)$$,
$$f(x)=(x-1)\left(x^{2}-x+1\right)$$. - Найдем предел:
$$L=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x^{2}-x+1)}{x^{2}(x-1)}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-x+1}{x^2}=1$$.
Введите ответ в поле
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\textrm{cos}3x}{4x\cdot \textrm{ctg} x}$$ равно:
- Выполним преобразования:
$$L=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\textrm{cos} 3x}{4x\cdot \textrm{ctg} x}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\textrm{cos} 3x\cdot \textrm{sin} x}{4x\cdot \textrm{cos} x}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\textrm{sin} x}{x}\cdot{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\textrm{cos}3x}{4\textrm{cos}x}}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\textrm{sin} x}{x}\cdot \frac{1}{4}$$. - Применим первый замечательный предел:
$$L=1\cdot{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}$$.
Введите ответ в поле
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\textrm{ln}(x+1)}{x(x+3)}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
- Выполним преобразования:
$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(x+1)}{x}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x+3}$$,
$$L=\frac{1}{3}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\ln(x+1)$$,
$$L=\frac{1}{3}\lim_{x\rightarrow 0}\ln(x+1)^{\frac{1}{x}}$$. - Применим второй замечательный предел:
$$L=\frac{1}{3}\ln \lim_{x\rightarrow 0}(x+1)^{\frac{1}{x}}$$,
$$L=\frac{1}{3}\ln e=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{3+x^2+7x}{\sqrt[3]{5x^3-2}}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\frac{\infty }{\infty }$$.
- Разделим числитель и знаменатель дроби на $$x$$:
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{3}{x}+\frac{x^2}{x}+\frac{7x}{x}}{\frac{\sqrt[3]{5x^3-2}}{x}}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{3}{x}+x+7}{\sqrt[3]{5-\frac{2}{x^3}}}$$. - Найдем предел:
$$L=\frac{0+\infty +7}{\sqrt[3]{5-0}}=\infty $$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{8-x^{3}}{5x^2-12x+4}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
- Разложим квадратный трехчлен $$f(x)=5x^2-12x+4$$ на множители:
$$D=144-80=64$$; $$x_1=\frac{12-8}{10}=0,4$$; $$x_2=\frac{12+8}{10}=2$$.
Следовательно, $$f(x)=5(x-0,4)(x-2)$$. - Найдем предел:
$$L=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(2-x)(4+2x+x^2)}{(5x-2)(x-2)}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{4+2x+x^2}{5x-2}=-\frac{3}{2}$$.
Введите ответ в поле
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow \infty }\left(\frac{x-5}{5+x}\right)^{2x}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$1^{\infty }$$.
- Выполним преобразования:
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\left(\frac{x+5-10}{x+5}\right)^{2x}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\left(1+\frac{-10}{x+5}\right)^{2x}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\left(1+\frac{-10}{x+5}\right)^{\frac{x+5}{-10}\cdot \frac{-20x}{x+5}}$$. - Применим второй замечательный предел:
$$L=e^{\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{-20x}{x+5}}=e^{-20}$$.
Выберите один из вариантов