Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Студент
Пределы КТ 2
45.000

Пределы КТ 2

Значение предела $$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{x+3}{x-2} \right )^{x}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$1^{\infty }$$.
  1. Выполним преобразования:
    $$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{x-2+5}{x-2} \right )^{x}$$,
    $$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{5}{x-2} \right )^{x}$$,
    $$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{5}{x-2} \right )^{\frac{x-2}{5}\cdot \frac{5x}{x-2}}$$. 
  2. Применим второй замечательный предел:
    $$L=e^{\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{5x}{x-2}}=e^{5}$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{5x^{2}+2x-2}{x^{3}-2x^{2}-2}$$ равно:
Имеем неопределенность $$\frac{\infty }{\infty }$$.
  1. Разделим числитель и знаменатель дроби на $$x^3$$:
    $$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{5}{x}+\frac{2}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}}{1-\frac{2}{x}-\frac{2}{x^{2}}}$$. 
  2. Найдем значение предела:
    $$L=\frac{0+0-0}{1-0-0}=0$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow \infty }\left (\frac{2x}{1+4x}  \right )^{x}$$ равно:
  1. Запишем предел в виде:
    $$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{2x}{1+4x} \right )^{\lim_{x\rightarrow \infty }x}$$. 
  2. Так как $$\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{2x}{1+4x}=\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{2}{\frac{1}{x}+4}=\frac{1}{2}$$,
    то $$L=\left ( \frac{1}{2} \right )^{\lim_{x\rightarrow \infty }x }=0$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 0}(\textrm{cos}2x)^{\frac{1}{x^{2}}}$$ равно:

Имеем неопределенность вида $$1^{\infty }$$.
  1. Выполним преобразования:
    $$L=\lim_{x\rightarrow 0}(1-2\textrm{sin}^{2}x)^{\frac{1}{x^{2}}}$$,
    $$L=\lim_{x\rightarrow 0}(1-2\textrm{sin}^{2}x)^{\frac{1}{-2\textrm{sin}^{2}x}\cdot \frac{-2\textrm{sin}^{2}x}{x^{2}}}$$. 
  2. Применим второй замечательный предел:
    $$L=e^{-2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\textrm{sin}^{2}x}{x^{2}}}=e^{-2}$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow \infty }\left(\sqrt{x^{2}+3x}-x\right)$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\infty -\infty $$.
  1. Выполним преобразования:
    $$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\left ( \sqrt{x^{2}+3x}-x \right )\left ( \sqrt{x^{2}+3x}+x \right )}{\sqrt{x^{2}+3x}+x}$$,
    $$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{3x}{\sqrt{x^{2}+3x}+x}$$.
    Получили неопределенность $$\frac{\infty }{\infty }$$. 
  2. Разделим числитель и знаменатель дроби на $$x$$:
    $$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}+1}}=\frac{3}{2}$$.
Введите ответ в поле
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{x^{2}-3x}{\sqrt{9-x}-3}$$ равно:

Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
  1. Умножим числитель и знаменатель дроби на $$\sqrt{9-x}+3$$:
    $$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x^{2}-3x)(\sqrt{9-x}+3)}{(\sqrt{9-x}-3)(\sqrt{9-x}+3)}$$. 
  2. Применим формулу разности квадратов:
    $$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(x-3)(\sqrt{9-x}+3)}{-x}$$,
    $$L=-\lim_{x\rightarrow 0}(x-3)(\sqrt{9-x}+3)=3\cdot 6=18$$.
Введите ответ в поле
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\textrm{sin}x}{\textrm{ln}(1+2x)}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
  1. Так как $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+2x)}{2x}=\textrm{ln} \lim_{x\rightarrow 0}(1+2x)^{\frac{1}{2x}}=\textrm{ln} e=1$$, то
    $$\textrm{ln}(1+2x)\sim 2x$$ при $$x\rightarrow 0$$. 
  2. Тогда, $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\textrm{sin}x}{\textrm{ln}(1+2x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\textrm{sin}x}{2x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\textrm{sin}x}{x}=1$$.
Введите ответ в поле
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\textrm{cos}2x}{4x\cdot\textrm{tg}x}$$ равно:
  1. Выполним преобразования:
    $$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\textrm{cos}2x}{4x\cdot\textrm{tg}x}$$,
    $$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2-\textrm{sin}^2x\cdot\textrm{cos}x}{4x\cdot\textrm{sin}x}$$. 
  2. Применим первый замечательный предел:
    $$L=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\textrm{sin}x}{x}\cdot\lim_{x\rightarrow 0}\textrm{cos}x$$,
    $$L=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \cos 0=\frac{1}{2}$$.
Введите ответ в поле
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
  1. Разложим квадратный трехчлен $$f(x)=2x^{2}-3x-2$$ на множители:
    $$D=9+16=25$$; $$x_{1}=\frac{3-5}{4}=-0,5$$; $$x_{2}=\frac{3+5}{4}=2$$.
    Следовательно, $$2x^{2}-3x-2=2(x+0,5)(x-2)$$. 
  2. Найдем предел:
    $$L=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(2x+1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}$$,
    $$L=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x+1}{x+2}=\frac{5}{4}$$.
    Введите ответ в поле
    Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ^{5}x}{5x^{5}}$$ равно:
    Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
    1. Выполним преобразования:
      $$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ^{5}x}{5x^{5}}$$,
      $$L=\frac{1}{5}\left ( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\textrm{sin}x}{x} \right )^{5}$$. 
    2. Применим первый замечательный предел:
      $$L=\frac{1}{5}\cdot 1^{5}=\frac{1}{5}$$.
    Введите ответ в поле
    © Сиротина И.К., 2013—2026