Несобственные интегралы ИТ
Если функция $$y=f(x)$$ не ограничена в окрестности точки $$b,$$ то:
$$I= \int_{a }^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{a }^{b-\varepsilon} f(x)dx.$$
Поскольку подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки $$x=2,$$ то:
$$I=\int_{1}^{2}\frac{d(x-2)}{(x-2)^2}$$,
$$I=-\frac{1}{(x-2)}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{2-\varepsilon }$$,
$$I=-\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{1}{2-\varepsilon -2}-1$$, $$I=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\varepsilon }-1=\infty.$$
Табличный интеграл:
$$\int \frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}+C.$$
Если функция $$y=f(x)$$ не ограничена в окрестности точки $$a,$$ то:
$$I= \int_{a }^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{a+\varepsilon }^{b} f(x)dx.$$
Табличный интеграл:
$$\int \frac{dx}{x}=ln \left |x \right |+C.$$
Поскольку подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки $$x=1,$$ то:
$$I=\int_{1}^{2}\frac{d(x-1)}{x-1}$$,
$$I=ln \left |x-1 \right |_{1+\varepsilon }^{2}$$,
$$I=ln1-\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} ln \left |1+\varepsilon -1 \right |$$,
$$I=0-\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} ln \left |\varepsilon \right |=\infty .$$
$$\lim_{x\rightarrow \infty }ln x=\infty ,$$
$$\lim_{x\rightarrow 0 }ln x=- \infty.$$
Несобственным интегралом называют:
1) определенный интеграл, у которого хотя бы один из его пределов бесконечен;
2) определенный интеграл от неограниченной функции.
Несобственный интеграл сходится, если существует конечный предел соответствующего ему собственного интеграла.Несобственный интеграл расходится, если предел соответствующего ему собственного интеграла не существует или равен бесконечности.
Интеграл с бесконечным нижним пределом можем найти по формуле: $$\int_{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim_{a\rightarrow -\infty }\int_{a }^{b} f(x)dx.$$
Табличный интеграл:
$$\int a^xdx=\frac{a^x}{ln a}+C.$$
Преобразуем подынтегральную функцию:
$$0,3 ^{2x-1}=\frac{0,3^{2x}}{0,3}=\frac{10}{3}\cdot 0,09^x.$$
Найдем интеграл:
$$I=\frac{10}{3}\int_{-\infty }^{0} 0,09^xdx$$, $$I=\frac{10\cdot 0,09^x}{3ln0,09}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-\infty}^{0}$$, $$I=\frac{10\cdot 0,09^0}{3ln0,09}-\frac{10}{3ln0,09}$$$$\lim_{x\rightarrow -\infty } 0,09^x$$, $$I=\frac{10}{3ln0,09}-\infty =-\infty .$$