Несобственные интегралы ИТ
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{e}^{+\infty }\frac{\textrm{ln} x^2}{x}dx$$ или установите его расходимость:
- Интеграл с бесконечным верхним пределом:
$$\int_{a}^{+\infty }f(x)dx=\lim_{b\rightarrow +\infty }\int_{a}^{b}f(x)dx$$. - Табличный интеграл:
$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$.
- Изменим дифференциал:
$$I=\int_{e}^{+\infty }\frac{2\textrm{ln}x}{x}dx$$,
$$I=\int_{e}^{+\infty }\frac{2\textrm{ln} xd(\textrm{ln}x)}{x(\textrm{ln}x)'}$$,
$$I=\int_{e}^{+\infty }2\textrm{ln} xd(\textrm{ln}x)$$. - Перейдем к пределу:
$$I=\lim_{b\rightarrow +\infty }\textrm{ln}^2x\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{e}^{b}$$,
$$I=\lim_{b\rightarrow +\infty }\textrm{ln}^2b-1=\infty$$.
Свойства пределов:
- $$\lim_{n\rightarrow \infty }\textrm{ln} n=\infty $$;
- $$\lim_{n\rightarrow 0 }\textrm{ln} n=-\infty $$.
Выберите несколько вариантов ответов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{1}^{2}\frac{dx}{x-1}$$ или установите его расходимость:
- Если функция $$y=f(x)$$ не ограничена в окрестности точки $$a$$, то:
$$I= \int_{a }^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{a+\varepsilon }^{b} f(x)dx$$. - Табличный интеграл:
$$\int \frac{dx}{x}=\ln \left |x \right |+C$$.
- Изменим дифференциал:
$$I=\int_{1}^{2}\frac{d(x-1)}{(x-1)(x-1)'}$$, $$I=\int_{1}^{2}\frac{d(x-1)}{x-1}$$. - Поскольку подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки $$x=1$$, то:
$$I=\ln \left |x-1 \right |_{1+\varepsilon }^{2}$$,
$$I=\ln 1-\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \ln \left |1+\varepsilon -1 \right |$$,
$$I=0-\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \ln \left |\varepsilon \right |=\infty $$.
- $$\lim_{x\rightarrow \infty }\textrm{ln} x=\infty$$.
- $$\lim_{x\rightarrow 0 }\ln x=- \infty$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{-\infty }^{0}0,3^{2x-1}dx$$ или установите его расходимость:
- Несобственным интегралом называют:
1) определенный интеграл, у которого хотя бы один из его пределов бесконечен;
2) определенный интеграл от неограниченной функции. - Несобственный интеграл сходится, если существует конечный предел соответствующего ему собственного интеграла.
- Несобственный интеграл расходится, если предел соответствующего ему собственного интеграла не существует или равен бесконечности.
- Интеграл с бесконечным нижним пределом можем найти по формуле:
$$\int_{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim_{a\rightarrow -\infty }\int_{a }^{b} f(x)dx$$. - Табличный интеграл:
$$\int a^xdx=\frac{a^x}{\textrm{ln} a}+C$$.
- Преобразуем подынтегральную функцию:
$$0,3 ^{2x-1}=\frac{0,3^{2x}}{0,3}=\frac{10}{3}\cdot 0,09^x$$. - Найдем интеграл:
$$I=\frac{10}{3}\int_{-\infty }^{0} 0,09^xdx$$,
$$I=\frac{10\cdot 0,09^x}{3\textrm{ln}0,09}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-\infty}^{0}$$,
$$I=\frac{10\cdot 0,09^0}{3\textrm{ln}0,09}-\frac{10}{3\textrm{ln}0,09}\lim_{x\rightarrow -\infty } 0,09^x$$,
$$I=\frac{10}{3\textrm{ln}0,09}-\infty =-\infty$$.
- $$\lim_{n\rightarrow \infty }a^n=\infty$$, $$\lim_{n\rightarrow -\infty }a^n=0$$, если $$a>1$$.
- $$\lim_{n\rightarrow \infty }a^n=0$$, $$\lim_{n\rightarrow -\infty }a^n=\infty$$, если $$0\lt a\lt 1$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{1}^{2}\frac{dx}{(x-2)^2}$$ или установите его расходимость:
Если функция $$y=f(x)$$ не ограничена в окрестности точки $$b$$, то:
- $$I= \int_{a }^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{a }^{b-\varepsilon} f(x)dx$$.
- Изменим дифференциал:
$$I=\int_{1}^{2}\frac{d(x-2)}{(x-2)^2(x-2)'}$$, $$I=\int_{1}^{2}\frac{d(x-2)}{(x-2)^2}$$. - Поскольку подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки $$x=2$$, то:
$$I=-\frac{1}{(x-2)}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{2-\varepsilon }$$,
$$I=-\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{1}{2-\varepsilon -2}-1$$,
$$I=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\varepsilon }-1=\infty$$.
Табличный интеграл:
- $$\int \frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}+C$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{-\infty }^{1}\frac{3dx}{x^2}$$ или установите его расходимость:
- Интеграл с бесконечным нижним пределом:
$$\int_{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim_{a\rightarrow -\infty }\int_{a}^{b} f(x)dx$$. - Табличный интеграл:
$$\int \frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}+C$$.
- Перейдем к пределу:
$$I=\int_{-\infty }^{1}\frac{3dx}{x^2}=-\lim_{a\rightarrow -\infty}\frac{3}{x}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{1}$$. - Вычислим интеграл:
$$I=-3+\lim_{a\rightarrow -\infty }\frac{3}{x}$$, $$I=-3-0=-3$$.
Свойства пределов:
- $$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x}=0$$;
- $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}=\infty$$;
- $$\lim_{x\rightarrow \infty }x=\infty $$.
Выберите несколько вариантов ответов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{2}^{+\infty }\frac{dx}{5x+3}$$ или установите его расходимость:
- Интеграл с бесконечным нижним пределом:
$$\int_{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim_{a\rightarrow -\infty }\int_{a}^{b}f(x)dx$$. - Табличный интеграл:
$$\int \frac{dx}{x}=\textrm{ln}|x|+C$$.
- Изменим дифференциал:
$$I=\int_{2}^{+\infty}\frac{dx}{(5x+3)(5x+3)'}$$,
$$I=\frac{1}{5}\int_{2}^{+\infty}\frac{dx}{5x+3}$$. - Перейдем к пределу:
$$I=\lim_{b\rightarrow +\infty}\frac{1}{5}\int_{2}^{b}\frac{d(5x+3)}{5x+3}$$. - Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$$I=\frac{1}{5}\lim_{b\rightarrow +\infty}\textrm{ln}|5x+3|\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{2}^{b}$$,
$$I=\frac{1}{5}\lim_{b\rightarrow +\infty }\textrm{ln}|5b+3|-\frac{1}{5}\textrm{ln}13$$,
$$I=\infty -\frac{1}{5}\textrm{ln}13=\infty $$.
Свойства пределов:
- $$\lim_{x\rightarrow \infty }\textrm{ln} x =\infty$$;
- $$\lim_{x\rightarrow 0}\textrm{ln} x=-\infty$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{-\infty }^{0}x^2\cdot 3^{1+x^3}dx$$ или установите его расходимость:
- Интеграл с бесконечным нижним пределом:
$$\int_{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim_{a\rightarrow -\infty }\int_{a}^{b}f(x)dx$$. - Табличный интеграл:
$$\int a^xdx=\frac{a^x}{\textrm{ln} a}+C$$.
- Преобразуем подинтегральную функцию:
$$\int_{-\infty }^{0}x^2\cdot 3\cdot 3^{x^3}dx$$. - Изменим дифференциал:
$$I=\int_{-\infty }^{0} \frac{3x^2\cdot 3^{x^{3}}d(x^3)}{(x^3)'}$$,
$$I=\int_{-\infty }^{0}\frac{3x^2\cdot 3^{x^{3}}d(x^3)}{3x^2}$$,
$$I=\int_{-\infty }^{0} 3^{x^{3}}d(x^3)$$. - Перейдем к пределу:
$$I=\lim_{a\rightarrow -\infty }\frac{3^{x^{3}}}{\textrm{ln}3}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{0}$$,
$$I=\frac{1}{\textrm{ln}3}-\frac{1}{\textrm{ln}3}\lim_{a\rightarrow -\infty }3^{a^{3}}$$,
$$I=\frac{1}{\textrm{ln}3}-0=\frac{1}{\textrm{ln}3}$$.
- Несобственный интеграл от неотрицательной функции $$y=f(x)$$ выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции.
- Если интеграл сходится, то площадь трапеции конечна, а если расходится, то площадь трапеции бесконечна.
Выберите несколько вариантов ответов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{1+4x^2}$$ или установите его расходимость:
- Интеграл с бесконечными пределами:
$$\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\lim_{a\rightarrow -\infty }\int_{a}^{c}f(x)dx+\lim_{b\rightarrow +\infty }\int_{c}^{b}f(x)dx$$. - Табличный интеграл:$$\int \frac{dx}{1+x^2}=\textrm{arctg}x+C$$.
- Представим интеграл в виде:
$$I=\int_{-\infty }^{0}\frac{dx}{1+(2x)^2}+\int_{0}^{+\infty }\frac{dx}{1+(2x)^2}$$. - Найдем интегралы:
1) $$I_1=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{0}\frac{d(2x)}{1+(2x)^2}$$, $$I_1=\frac{1}{2}\lim_{a\rightarrow -\infty}\textrm{arctg}2x\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{0}$$, $$I_1=0-\frac{1}{2}\lim_{a\rightarrow -\infty}\textrm{arctg}2a=\frac{\pi }{4}$$;2) $$I_2=\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty }\frac{d(2x)}{1+(2x)^2}$$, $$I_2=\frac{1}{2}\lim_{b\rightarrow +\infty }\textrm{arctg}2x\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{b}$$, $$I_2=\frac{1}{2}\lim_{b\rightarrow +\infty }\textrm{arctg}2b-0=\frac{\pi }{4}$$. - Тогда, $$I=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$$.
Свойства пределов:
- $$\lim_{n\rightarrow \infty } \textrm{arctg} n=0,5\pi$$;
- $$\lim_{n\rightarrow -\infty } \textrm{arctg} n=-0,5\pi $$;
- $$\lim_{n\rightarrow \infty }\textrm{arcctg} n=\pi $$;
- $$\lim_{n\rightarrow -\infty } \textrm{arcctg} n=0 $$.
Выберите несколько вариантов ответов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{0}^{+\infty}\sin 2xdx$$ или установите его расходимость:
- Интеграл с бесконечным верхним пределом:
$$\int_{a}^{+\infty }f(x)dx=\lim_{b\rightarrow +\infty }\int_{a}^{b}f(x)dx$$. - Табличный интеграл:
$$\int \sin{x}dx=-\cos{x} +C$$.
- Изменим дифференциал:
$$I=\int_{0}^{+\infty } \frac{\sin 2xd(2x)}{(2x)'}$$,
$$I=\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty } \sin 2xd(2x)$$. - Перейдем к пределу:
$$I=\frac{1}{2}\lim_{b\rightarrow +\infty }\int_{0}^{b} \sin 2x d (2x)$$,
$$I=-\frac{1}{2}\lim_{b\rightarrow +\infty}\cos 2x\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{b}$$,
$$I=-\frac{1}{2}\lim_{b\rightarrow +\infty }\cos 2b+\frac{1}{2}$$.
Так как $$\lim_{b\rightarrow +\infty }\cos 2b$$ не существует, то интеграл расходится.
- Несобственный интеграл сходится, если существует конечный предел соответствующего ему собственного интеграла.
- Несобственный интеграл расходится, если предел соответствующего ему собственного интеграла не существует или равен бесконечности.
Выберите несколько вариантов ответов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{3}^{4}\frac{dx}{\sqrt[3]{x-3}}$$ или установите его расходимость:
Если функция $$y=f(x)$$ не ограничена в окрестности точки $$a$$, то:
- $$I=\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{a+\varepsilon }^{b}f(x)dx$$.
- Преобразуем подинтегральную функцию:
$$I=\int_{3}^{4}(x-3)^{-\frac{1}{3}}dx$$. - Изменим дифференциал:
$$I=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{3+\varepsilon }^{4}\frac{(x-3)^{-\frac{1}{3}}d(x-3)}{(x-3)'}$$,
$$I=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{3+\varepsilon }^{4}(x-3)^{-\frac{1}{3}}d(x-3)$$. - Поскольку подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки $$x=3$$, то:
$$I=\frac{3}{2}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}(x-3)^{\frac{2}{3}}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{3+\varepsilon }^{4}$$,
$$I=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}(3+\varepsilon -3)^{\frac{2}{3}}$$,
$$I=\frac{3}{2}-0=\frac{3}{2}$$.
Табличный интеграл:
- $$\int x^{n} dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$.
Выберите несколько вариантов ответов