Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Студент
Определенный интеграл КТ 1
45.000

Определенный интеграл КТ 1

Длина дуги кривой $$y=3x-5$$, ограниченной линиями $$x=-1$$ и $$x=2$$, равна:
  1. Составим подынтегральную функцию:
    $$f(x)=\sqrt{1+(y')^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$$. 
  2. Найдем длину дуги:
    $$\int_{-1}^{2}\sqrt{10}dx=\sqrt{10}x\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-1}^{2}=3\sqrt{10}$$.
Выберите один из вариантов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{0}^{0,5\pi} \frac{dx}{\cos^2x}$$  или установите его расходимость:
Поскольку подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки $$x=0,5\pi$$, то:
    $$I=\int_{0}^{0,5\pi}\frac{dx}{\cos^2x}=\textrm{tg} x\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{0,5\pi }$$,
    $$I=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\textrm{tg}x\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{0,5\pi -\varepsilon }$$,
    $$I=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\textrm{tg}(0,5\pi -\varepsilon )=\infty $$.
Выберите несколько вариантов ответов
Значение интеграла $$\int \int_{S}\frac{xdxdy}{y^2}$$, где область $$S$$ ограничена линиями $$y=1+x^2$$, $$y=x$$, $$x=0$$ и $$x=2$$, равно:
Составим повторный интеграл: $$\int_{0}^{2} xdx\int_{x}^{1+x^2}\frac{dy}{y^2}$$.
  1. Найдем «внутренний интеграл:
    $$I_1=\int_{x}^{1+x^2}\frac{dy}{y^2}=-\frac{1}{y}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{x}^{1+x^2}$$,
    $$I_1=-\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{x}$$. 
  2. Найдем «внешний интеграл:
    $$I_2=\int_{0}^{2}(1-\frac{x}{1+x^2})dx$$,
    $$I_2=x\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2}-\int_{0}^{2}\frac{xd(1+x^2)}{2x(1+x^2)}$$,
     $$I_2=2-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2}=2-\textrm{ln}\sqrt{5}$$.
Выберите один из вариантов
Площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=\textrm{tg} x$$, $$y=0$$, $$x=\pm \frac{\pi }{4}$$, равна:
Фигура схематически изображена на Рисунке 1.

Рис. 1

Найдем площадь фигуры:
    $$S=2\int_{0}^{0,25\pi}\textrm{tg} xdx$$, 
    $$S=2\int_{0}^{0,25\pi }\frac{\sin {x}dx}{\cos{x}}$$, 
    $$S=-2\int_{0}^{0,25\pi }\frac{\sin {x}d (\cos {x})}{\cos {x} \sin {x}}$$, 
    $$S=-2\textrm{ln}|\cos {x}|\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{0,25\pi }$$, 
    $$S=-2\textrm{ln}\frac{1}{\sqrt{2}}=\textrm{ln} 2$$.
Выберите один из вариантов
Значение интеграла $$\int_{-1}^{0}\frac{2dx}{5\sqrt[3]{x}-3x}$$  равно:
  1. Полагая $$\sqrt[3]{x}=t$$, получим: $$x=t^3$$, $$dx=3t^2dt$$.
    Так как $$x_1=-1$$, $$x_2=0$$, то $$t_1=\sqrt[3]{-1}=-1$$, $$t_2=\sqrt[3]{0}=0$$. 
  2. Вычислим интеграл:
    $$I=\int_{-1}^{0}\frac{6t^2dt}{5t-3t^3}$$, $$I=\int_{-1}^{0}\frac{6tdt}{5-3t^2}$$,
    $$I=\int_{-1}^{0}\frac{6td(5-3t^2)}{-6t(5-3t^2)}$$,
    $$I=-\textrm{ln}|5-3t^2|\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-1}^{0}$$,
    $$I=-\textrm{ln}5 + \textrm{ln}2=\textrm{ln} 0,4$$.
Выберите один из вариантов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{-\infty }^{0}\frac{dx}{0,5x^2+2}$$ или установите его расходимость:
  1. Преобразуем подинтегральную функцию:
    $$I=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{0}\frac{dx}{0,25x^2+1}$$. 
  2. Изменим дифференциал:
    $$I=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{0}\frac{d(0,5x)}{\left((0,5x)^2+1\right)(0,5x)'}$$,
    $$I=\int_{-\infty }^{0}\frac{d(0,5x)}{(0,5x)^2+1}$$. 
  3. Вычислим интеграл:
    $$I=\lim_{a\rightarrow -\infty}\textrm{arctg}0,5x\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{0}$$,
    $$I=0-\lim_{a\rightarrow -\infty}\textrm{arctg}0,5a=-\frac{\pi }{2}$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Значение интеграла $$\int_{0}^{0,5\pi }dx\int_{1}^{2}y \cos {xy}dy$$   равно:
Преобразуем интеграл: $$\int_{1}^{2}ydy\int_{0}^{0,5\pi}\cos{xy}dx$$.
  1. Найдем «внутренний» интеграл:
    $$I_1=\int_{0}^{0,5\pi }\frac{\cos{xy}d(xy)}{y}$$,
    $$I_1=\frac{\sin {xy}}{y}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{0,5\pi }$$,
    $$I_1=\frac{\sin 0,5\pi y}{y}$$. 
  2. Найдем «внешний» интеграл:
    $$I_2=\int_{1}^{2}\sin 0,5\pi y$$,
    $$I_2=\int_{1}^{2}\frac{\sin 0,5\pi yd(0,5\pi y)}{0,5\pi }$$,
    $$I_2=-\frac{2}{\pi}\cos 0,5\pi y\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{2}=\frac{2}{\pi }$$.
Выберите один из вариантов
 Площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=\textrm{ln} x$$, $$y=-\frac{x}{e}+2$$, $$y=0$$, равна:
  1. Представим функции $$y=\textrm{ln}x$$ и $$y=-\frac{x}{e}+2$$ в виде:
    $$x=e^y$$ и $$x=-ey+2e$$.
  2. Найдем площадь фигуры (Рис. 2): 
    $$S=\int_{0}^{1}(-ey+2e-e^y)dy$$, 
    $$S=-\frac{ey^2}{2}+2ey-e^y\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{1}$$, 
    $$S=0,5e+1$$.

Рис. 2



Выберите один из вариантов
Объем тела, полученного вращением вокруг оси $$Ox$$ криволинейной трапеции, ограниченной линиями $$y=\sin{x}$$, $$x=0$$ и $$x=\frac{\pi }{4}$$, равен:
  1. Составим интеграл:
    $$V=\pi \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\sin^2dx$$. 
  2. Преобразуем подинтегральную функцию:
    $$V=\frac{\pi }{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(1-\cos 2x)dx$$. 
  3. Найдем разность интегралов:
    $$V=\frac{\pi }{2}\left(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}dx-\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\cos 2xd(2x)\right)$$,
    $$V=\frac{\pi }{2}\left(x-\frac{\sin2x}{2}\right)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}$$,
    $$V=\frac{\pi }{2}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\right)$$.
Выберите один из вариантов
Если $$f(x;y)=e^x$$, $$3\leq y\leq 5$$, $$x_1=1$$, $$x_2=\textrm{ln}y$$, то значение повторного интеграла равно:
Составим повторный интеграл: $$\int_{3}^{5} dy\int_{1}^{\textrm{ln} y} e^xdx$$.
  1. Найдем «внутренний» интеграл:
    $$I_1=\int_{1}^{\textrm{ln} y}e^xdx=e^x\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{\textrm{ln} y}=y-e$$. 
  2. Найдем «внешний» интеграл:
    $$I_2=\int_{3}^{5}(y-e)dy$$,
    $$I_2=0,5y^2-ey\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{3}^{5}=8-2e$$.
Выберите один из вариантов
© Сиротина И.К., 2013—2026