Ряды КТ 1
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\left(\frac{2n-3}{5n-4}\right)^{2n}$$ расходится, то найдите $$a_1$$, а если сходится, то найдите $$a_2$$:
Применим радикальный признак Коши.
- Так как
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{2n-3}{5n-4}\right)^2$$,
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_n}=\left(\frac{2}{5}\right)^2<1$$, то ряд сходится. - Тогда, $$a_2=\left(\frac{4-3}{10-4}\right)^4=\frac{1}{1296}$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Количество целых чисел, принадлежащих области сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^{n-1}}{n^2}$$, равно:
- Применим признак Даламбера.
Так как $$u_n=\frac{(x-2)^{n-1}}{n^2}$$, $$u_{n+1}=\frac{(x-2)^n}{(n+1)^2}$$, то
$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(x-2)n^2}{(n+1)^2}$$.
Тогда: $$\lim_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=|x-2|\lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{n}{n+1})^2$$,
$$\lim_{n\rightarrow \infty}|\frac{u_{n+1}}{u_n}|=|x-2|$$. - Учитывая, что $$|x-2|<1$$, найдем интервал сходимости ряда:
$$\left\{\begin{matrix}x-2<1,\\ x-2>-1;\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x<3,\\ x>1;\end{matrix}\right.$$ $$x\in(1;3)$$.
Рассмотрим концы интервала $$(1;3) $$. - При $$x=1$$ получим знакочередующийся ряд
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$$.
Применим признак Лейбница:
1) $$a_n=\frac{1}{n^2}$$, $$a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^2}$$ и $$a_n>a_{n+1}$$ ;
2) $$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2}=0$$.
Следовательно, в точке $$x=1$$ ряд сходится. - При $$x=3$$ получим ряд Дирихле $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$, который сходится.
- Область сходимости ряда: $$[1;3]$$.
Введите ответ в поле
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{1+5n}$$ сходится, то найдите $$a_1^{-1}$$, а если расходится, то найдите $$a_2^{-1}$$:
- Так как члены ряда положительные и не возрастают, то установим сходимость несобственного интеграла:
$$I=\int_{1}^{\infty}\frac{dn}{1+5n}$$,
$$I=\int_{1}^{\infty}\frac{d(1+5n)}{5(1+5n)}$$,
$$I=\frac{1}{5}\ln (1+5n)|_{1}^{\infty}$$,
$$I=\frac{1}{5}\lim_{n\rightarrow\infty}\ln (1+5n)-\frac{1}{5}\ln 6$$,
$$I=\infty-\frac{1}{5}\ln 6=\infty$$. - Так как несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.
Тогда, $$a_2^{-1}=1+10=11$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\textrm{arcctg}\frac{5}{4+n}$$ сходится, то найдите его первый член:
- Запишем $$n$$-ый член ряда: $$a_n=\textrm{arcctg}\frac{5}{4+n}$$.
- Найдем $$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\textrm{arcctg} 0=\frac{\pi}{2}$$.
- Так как $$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n\ne 0$$, то по следствию из необходимого признака сходимости ряд расходится.
Выберите несколько вариантов ответов
Радиус сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}4^{n}}{\sqrt{2n-1}}$$ равен:
- Так как $$c_n=\frac{4^n}{\sqrt{2n-1}}$$, $$c_{n+1}=\frac{4^{n+1}}{\sqrt{2n+1}}$$, то
$$\frac{c_n}{c_{n+1}}=\frac{4^n\sqrt{2n+1}}{4^{n+1}\sqrt{2n-1}}$$,
$$\frac{c_n}{c_{n+1}}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{2n+1}{2n-1}}$$. - Найдем радиус сходимости ряда:
$$R=\lim_{n\rightarrow \infty }\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$$,
$$R=\frac{1}{4}\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{\frac{2n+1}{2n-1}}=\frac{1}{4}$$.
Введите ответ в поле
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{6n}{\sqrt{0,3^{n}}}$$ расходится, то найдите квадрат его первого члена:
- Так как $$a_n=\frac{6n}{\sqrt{0,3^n}}$$, $$a_{n+1}=\frac{6(n+1)}{\sqrt{0,3^{n+1}}}$$, то
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{6(n+1)\sqrt{0,3^n}}{6n\sqrt{0,3^{n+1}}}$$,
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)\sqrt{0,3^n}}{n\sqrt{0,3}\sqrt{0,3^{n}}}$$,
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)}{n\sqrt{0,3}}$$. - Так как $$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{\sqrt{0,3}}\lim_{n\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{n})$$,
$$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{\sqrt{0,3}}>1$$,
то по признаку Даламбера ряд расходится. - Тогда, $$a_1^2=\frac{36}{0,3}=120$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Количество целых чисел, принадлежащих интервалу сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^{n-1}}{\sqrt{n}}$$, равно:
- Найдем радиус сходимости ряда.
Так как $$c_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$$, а $$c_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$, то
$$\frac{c_n}{c_{n+1}}=\sqrt{\frac{n+1}{n}}$$,
$$R=\lim_{n\rightarrow \infty }\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=1$$. - Учитывая, что $$a=3$$, найдем интервал сходимости ряда:
$$(a-R;a+R)$$; $$(3-1; 3+1)$$; $$(2;4)$$.
Введите ответ в поле
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{\sqrt{n}+2}$$ сходится, то найдите $$a_1^{2}$$, а если расходится, то найдите $$a_4^{2}$$ :
Сравним данный ряд с рядом Дирихле $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$$.
- Так как $$\frac{n}{\sqrt{n}+2}>\frac{1}{\sqrt{n}}$$, а ряд Дирихле расходится, то и данный ряд расходится.
Тогда, $$a_4^2=\frac{16}{16}=1$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}+3}$$ сходится абсолютно, то найдите $$a_2$$, а если сходится условно, то найдите $$a_3$$:
- Запишем ряд, составленный из модулей членов данного ряда:
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n+3}$$. - Сравним данный ряд с геометрическим рядом $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}$$.
Так как $$\frac{1}{2^n+3}<\frac{1}{2^n}$$, а геометрический ряд сходится, то и данный ряд сходится. - Так как ряд, составленный из модулей членов данного ряда, сходится, то данный ряд сходится абсолютно.
- Тогда, $$a_2=\frac{-1}{4+3}=-\frac{1}{7}$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Длина интервала сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+1)^n4^n}{\sqrt{2n-1}}$$ равна:
Применим признак Даламбера.
- Так как $$u_n=\frac{(x+1)^n4^n}{\sqrt{2n-1}}$$, $$u_{n+1}=\frac{(x+1)^{n+1}4^{n+1}}{\sqrt{2n+1}}$$, то
$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{4(x+1)\sqrt{2n-1}}{\sqrt{2n+1}}$$,
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=4|x+1|\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{\frac{2n-1}{2n+1}}$$,
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=4|x+1|$$. - Ряд сходится, если $$4|x+1|<1$$, откуда $$|x+1|<0,25$$, что равносильно:
$$\left\{\begin{matrix}x+1<0,25,\\ x+1>-0,25;\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x<0,75,\\ x>-1,25;\end{matrix}\right.$$ $$x\in(-1,25;-0,75)$$. - Найдем длину интервала сходимости ряда: $$-0,75+1,25=0,5$$.
Введите ответ в поле