Ряды КТ 2
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n}}{\textrm{ctg}^{n}(4n)^{-1}}$$ сходится, то найдите его первый член, а если ряд расходится, то найдите второй:
Применим радикальный признак Коши.
- Найдем предел:
$$\lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}n\textrm{tg}\frac{1}{4n}$$,
$$\lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\frac{1}{4}\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\textrm{tg} \frac{1}{4n}}{\frac{1}{4n}}$$. - Полагая $$\frac{1}{4n}=\alpha$$, получим:
$$\frac{1}{4}\lim_{\alpha \rightarrow 0}\frac{\textrm{tg}\alpha}{\alpha}=\frac{1}{4}<1$$. - Так как ряд сходится, то найдем его первый член: $$a_{1}=\textrm{tg} 0,25$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Если ряд $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{2n-1}$$ расходится, то найдите сумму трех его первых членов:
- Так как $$a_{n}=\frac{n+1}{2n-1}$$, а $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{2n-1}=\frac{1}{2} \neq 0$$, то по следствию из необходимого признака сходимости ряд расходится.
- Тогда, $$S_{3}=2+1+0,8=3,8$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Если ряд $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1+5n)^{2}}$$ сходится, то найдите $$a_{2}^{-1}$$, а если расходится, то найдите $$a_{3}^{-1}$$:
- Так как члены ряда положительные и не возрастают, то установим сходимость несобственного интеграла:
$$I=\int_{1}^{\infty} \frac{dn}{(1+5n)^{2}}$$,
$$I=\int_{1}^{\infty} \frac{d(1+5n)}{5(1+5n)^{2}}$$,
$$I=-\frac{1}{5(1+5n)}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{\infty}$$,
$$I= \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{5(1+5n)}+\frac{1}{30}$$,
$$I=0+\frac{1}{30}=\frac{1}{30}$$. - Так как несобственный интеграл сходится, то и ряд сходится.
- Тогда, $$a_{2}^{-1}=(1+10)^{2}=121$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Сумма натуральных чисел, принадлежащих промежутку сходимости ряда $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}$$ и не превосходящих число $$5$$, равна:
- Так как $$c_{n}=\frac{1}{(2n-1)!}$$, а $$c_{n+1}=\frac{1}{(2n+1)!}$$, то
$$R=\lim_{n \to \infty} \left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |$$,
$$R=\lim_{n \to \infty} \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}$$,
$$R=\lim_{n \to \infty}2n(2n+1)=\infty$$. - Следовательно, ряд сходится на промежутке $$(-\infty; +\infty)$$.
Тогда, $$1+2+3+4+5=15$$.
Введите ответ в поле
Если ряд $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt[3]{n^{2}}}$$ сходится абсолютно, то найдите $$a_{1}^{3}$$, а если сходится условно, то найдите $$a_{2}^{3}$$:
- Запишем ряд, составленный из модулей членов данного ряда:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}$$. Получили ряд Дирихле, который расходится. - Исследуем на сходимость знакопеременной ряд $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt[3]{n^{2}}}$$.
Запишем: $$a_{n}=\frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}$$, а $$a_{n+1}=\frac{1}{\sqrt[3]{(n+1)^{2}}}$$.
Так как $$a_{n}>a_{n+1}$$ и $$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}=0$$, то по признаку Лейбница данный ряд сходится. - Так как знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из модулей членов данного ряда, расходится, то данный ряд сходится условно.
- Тогда, $$a_{2}^{3}=\left ( \frac{-1}{\sqrt[3]{4}} \right )^{3}=-\frac{1}{4}$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Середина интервала сходимости ряда $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+1)^{n}}{2^{n}}$$ равна:
- Найдем радиус сходимости ряда.
Так как $$ c_{n}=\frac{1}{2^{n}}$$, то
$$R=(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{c_{n}})^{-1}$$,
$$R=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{2^{n}}=2$$. - Учитывая, что $$a=-1$$, найдем интервал сходимости ряда:
$$(a-R; a+R)$$; $$(-1 -2; -1 +2)$$; $$(-3; 1)$$. - Найдем середину интервала сходимости:
$$(-3+1):2=-1$$.
Введите ответ в поле
Радиус сходимости ряда $$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n+5}$$ равен:
Так как $$c_{n}=\frac{1}{n+5}$$, а $$c_{n+1}=\frac{1}{n+6}$$, то
- $$R=\lim_{n \to \infty} \left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |$$,
$$ R=\lim_{n \to \infty} \frac{n+6}{n+5}=1$$.
Введите ответ в поле
Если ряд $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n}{3n^{2}+5}$$ сходится, то найдите $$S_{2}$$, а если расходится, то найдите $$a_{2}$$:
- Сравним данный ряд с гармоническим рядом $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$, который расходится.
- Так как $$a_n=\frac{3n}{3n^{2}+5}$$, $$b_n=\frac{1}{n}$$, а $$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3n^{2}}{3n^{2}+5}=1 \neq 0$$, то данный ряд расходится.
- Тогда, $$a_{2}=\frac{6}{17}$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Если ряд $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n}}{2n!}$$ сходится, то найдите его второй член:
- Запишем:
$$a_{n}=\frac{n^{n}}{2n!}$$, $$a_{n+1}=\frac{(n+1)^{n+1}}{2(n+1)!}$$. - Тогда:
$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)^{n+1}2n!}{2(n+1)!n^{n}}$$,
$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)^{n}(n+1)n!}{n!(n+1)n^{n}}$$,
$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)^{n}}{n^{n}}$$. - Так как $$\lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \frac{n+1}{n} \right )^{n}=e>1$$, то по признаку Даламбера ряд расходится.
Выберите несколько вариантов ответов
Количество целых чисел, принадлежащих области сходимости ряда $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}$$, равно:
- Найдем радиус сходимости ряда.
Так как $$c_{n}=\frac{1}{n}$$, a $$c_{n+1}=\frac{1}{n+1}$$, то
$$R=\lim_{n \to \infty} \left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |$$,
$$R=\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n}=1$$. - Интервал сходимости ряда: $$(-1;1)$$.
- При $$x=-1$$ получим ряд $$-1 \cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$,
который расходится, так как гармонический ряд $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$ расходится. - При $$x=1$$ получим знакочередующийся ряд $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$$.
Ряд сходится по признаку Лейбница, так как
$$\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}$$ и $$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0$$. - Область сходимости ряда: $$(-1;1]$$.
Введите ответ в поле