1. Имеем функцию:
   $$f(x)=\textrm{arcsin} x$$. 
2. Найдем ее производную:
   $$f{}'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$. 
3. Запишем:
   $$f(0+0,01)\approx f(0)+f{}'(0)\cdot 0,01$$. 
4. Получим:
   $$\textrm{arcsin} 0,01\approx \textrm{arcsin} 0+\frac{0,01}{\sqrt{1-0}}$$,
   $$\textrm{arcsin} 0,01\approx 0+0,01=0,01$$.

$$\textrm{arcsin}0,49=\textrm{arcsin} (0,5-0,01)$$,
$$\textrm{arcsin}0,49 \approx \textrm{arcsin} 0,5+\frac{-0,01}{\sqrt{1-0,25}}$$,
$$\textrm{arcsin}0,49 \approx \frac{\pi }{6}-\frac{1}{50\sqrt{3}}$$.

Уравнение касательной, проведенной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке $$(x_{0};f(x_{0}))$$, находят по формуле: 

$$y=f(x_0)+{f}'(x_0)(x-x_0)$$.

1. Найдем значение функции в точке $$x_{0}=-1$$:
   $$f(-1)=\frac{2}{-2}=-1$$. 
2. Найдем производную функции:
   $$y{}'=\frac{(2x^2){}'(x-1)-2x^2(x-1){}'}{(x-1)^2}$$,
   $$y{}'=\frac{4x(x-1)-2x^2\cdot 1}{(x-1)^2}$$,
   $$y{}'=\frac{2x^2-4x}{(x-1)^2}$$. 
3. Найдем значение производной в точке $$x_0=-1$$:
   $$f{}'(-1)=\frac{2+4}{(-2)^2}=1,5$$. 
4. Запишем искомое уравнение касательной:
   $$y=-1+1,5(x+1)$$, $$y=1,5x+0,5$$.

1. Имеем функцию:
   $$f(x)=\sqrt{x}$$. 
2. Найдем её производную:
   $$f^{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$. 
3. Так как $$x_{0}=4$$, а $$\Delta x=-0,1$$, то:
   $$\sqrt{4-0,1} \approx f(4)-f^{'}(4) \cdot 0,1$$;
   $$\sqrt{3,9} \approx \sqrt{4}- \frac{0,1}{2\sqrt{4}}$$;
   $$\sqrt{3,9} \approx 1,975$$.

$$\sqrt{4,1} \approx f(4) + f^{'}(4) \cdot 0,1$$; 
$$\sqrt{4,1} \approx \sqrt{4} + \frac{0,1}{2\sqrt{4}}$$; 
$$\sqrt{4,1} \approx 2,025$$.

1. Найдем значение функции в точке $$x_{0}=2$$:
   $$f(2)=e^4$$. 
2. Найдем производную функции:
   $$y{}'=e^{2x}(2x){}'=2e^{2x}$$. 
3. Найдем значение производной функции в точке $$x_{0}=2$$:
   $$f{}'(2)=2e^4$$. 
4. Запишем уравнение нормали:
   $$y=e^{4}-\frac{1}{2e^{4}}(x-2)$$,
   $$y=-0,5e^{-4}x+e^{4}+e^{-4}$$.

1. Преобразование показательно-степенной функции:
   $$(f(x))^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}$$. 
2. Преобразование предела:
   $$\lim_{x \to a}e^{f(x)}=e^{\lim_{x \to a}f(x)}$$.

1. Поскольку имеем неопределенность вида $$\infty^{0}$$, то преобразуем функцию:
   $$y=(2x^{-1})^{2x}$$, $$y=e^{2x\ln 2x^{-1}}$$, $$y=e^{2x(\ln 2-\ln x)}$$. 
2. Преобразуем произведение в частное:
   $$2x(\ln 2-\ln x)=\frac{\ln 2-\ln x}{\frac{1}{2x}}$$. 
3. Так как при $$ x \to 0$$ имеем неопределенность $$\frac{\infty}{\infty}$$, то применим правило Лопиталя:
   $$L=\lim_{x \to 0}\frac{\ln 2-\ln x}{\frac{1}{2x}}$$,
   $$L=\lim_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{x}}{-\frac{1}{2x^{2}}}$$,
   $$L=\lim_{x \to 0}2x=0$$. 
4. Учитывая, что $$\lim_{x \to a}e^{f(x)}=e^{\lim_{x \to a}f(x)}$$, получим:
   $$\lim_{x \to 0}(2x^{-1})^{2x}=e^{0}=1$$.

$$\textrm{log}_{a}x^{n}=n\cdot\textrm{log}_{a}x$$;
$$\textrm{log}_{a}\frac{x}{y}=\textrm{log}_{a}x-\textrm{log}_{a}y$$.

если функции $$f(x)$$ и $$g(x)$$ определены, дифференцируемы и являются бесконечно малыми в некоторой окрестности точки $$x_{0}$$, то справедливо равенство:
$$\lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_{0}} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$.

$$L=\lim_{x \to 0}\frac{(1-e^{x}\cos x)'}{(5x-4x^{2})'}$$,
$$L=\lim_{x \to 0}\frac{-(e^{x})'\cos x-e^{x}(\cos x)'}{5-8x}$$,
$$L=\lim_{x \to 0}\frac{-e^{x}\cos x+e^{x}\sin x}{5-8x}$$,
$$L=\frac{-1\cdot 1+1\cdot 0}{5}=-0,2$$.

1. Прямые $$y=k_{1}x+b_{1}$$ и $$y=k_{2}x+b_{2}$$ перпендикулярны, если:
   $$k_{1}\cdot k_{2}=-1$$. 
2. Если $$\alpha$$ — угол между касательной и положительным направлением оси $$Ox$$, то угловой коэффициент касательной находят по формуле:
   $$k=\textrm{tg}\alpha$$.

1. Запишем прямую $$5x-2y+3=0$$ в виде:
   $$y=\frac{5}{2}x + \frac{3}{2}$$. 
2. Найдем угловой коэффициент касательной:
   $$k=-1 : \frac{5}{2}=-\frac{2}{5}$$. 
3. Так как $$k=\textrm{tg}\alpha$$, то $$\textrm{tg}\alpha=-\frac{2}{5}$$, откуда $$\alpha=-\textrm{arctg}\frac{2}{5}$$.

если функции $$f(x)$$ и $$g(x)$$ определены, дифференцируемы и являются бесконечно малыми в некоторой окрестности точки $$x_{0}$$, то справедливо равенство:
$$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}$$.

$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\ln (1-x)){}'}{(2x){}'}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-1}{2(1-x)}=-0,5$$.

1. Область определения функции $$y=\textrm{tg} x$$:
   $$x \in \textrm{R} / x \neq \frac{\pi}{2} +\pi n$$, где $$n \in \textrm{Z}$$. 
2. Формула двойного аргумента:
   $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$. 
3. Производные функций:
   $$(\textrm{tg} kx)'=\frac{k}{\cos^{2}kx}$$;
   $$(\cos kx)'=-k\sin kx$$;
   $$(\sin kx)'=k\cos kx$$.

1. Так как число $$\frac{\pi}{2}$$ не входит в область определения функции $$y=\textrm{tg}x$$, то применим правило Лопиталя:
   $$L=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{(\textrm{tg} x)'}{(\textrm{tg} 3x)'}$$;
   $$L=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\frac{1}{\cos^{2}x}}{\frac{3}{\cos^{2}3x}}$$;
   $$L=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos^{2}3x}{3\cos^{2}x}$$. 
2. Получили неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
   Применим правило Лопиталя:
   $$L=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{(\cos^{2}3x)'}{3(\cos^{2}x)'}$$;
   $$L=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{2\cdot 3\cos 3x\sin 3x}{2\cdot 3\cos x\sin x}$$;
   $$L=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\sin 6x}{\sin 2x}$$. 
3. Получили неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
   Применим правило Лопиталя:
   $$L=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{(\sin 6x)'}{(\sin 2x)'}$$;
   $$L=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{6 cos 6x}{2 \cos 2x}$$;
   $$L=\frac{3\cos 3\pi}{\cos \pi}=\frac{-3}{-1}=3$$.

1. Прямые $$y=k_{1}x+b_{1}$$ и $$y=k_{2}x+b_{2}$$ параллельны, если:
   $$k_{1}=k_{2}$$ и $$b_{1} \neq b_{2}$$. 
2. Угловой коэффициент нормали $$y=kx+b$$ к графику функции $$y=f(x)$$ в точке $$x_{0}$$ находят по формуле:
   $$k=-\frac{1}{f^{'}(x_{0})}$$.

1. Найдем производную функции $$f(x)=x^{2}+0,25x-3$$:
   $$f^{'}(x)=2x+0,25$$. 
2. Так как нормаль параллельна прямой $$y=4x+5$$, то запишем угловой коэффициент нормали:
   $$k=4$$.
3. Найдем абсциссу точки пересечения нормали и кривой:
   $$k=-\frac{1}{f^{'}(x_{0})}$$,
   $$4=-\frac{1}{2x_{0}+0,25}$$, откуда $$x_{0}=-\frac{1}{4}$$. 
4. Найдем ординату точки пересечения нормали и кривой:
   $$f(-\frac{1}{4})=\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-3=-3$$. 
5. Найдем сумму координат точки пересечения нормали и кривой:
   $$-\frac{1}{4}-3=-3\frac{1}{4}$$.

1. Найдем угловой коэффициент касательной, учитывая, что она перпендикулярна прямой $$y=4x+5$$:
   $$k=-1 : 4=-\frac{1}{4}$$. 
2. Найдем абсциссу точки касания:
   $$k=f^{'}(x_{0})$$, $$-\frac{1}{4}=2x_{0}+0,25$$, откуда $$x_{0}=-\frac{1}{4}$$.