Функция многих переменных КТ 2
Модуль градиента функции $$z=x\textrm{ln}(y-2x)$$ в точке $$M(-2;-3)$$ равен:
- Найдем частные производные данной функции:
$$z'_x=\textrm{ln}(y-2x)-\frac{2x}{y-2x}$$;
$$z'_y=\frac{x}{y-2x}$$. - Найдем значения частных производных в точке $$M(-2;-3)$$:
$$z'_x|_M=\textrm{ln}1+\frac{4}{1}=4$$; $$z'_y|_M=\frac{-2}{1}=-2$$. - Найдем значение градиента в точке $$M(-2;-3)$$:
$$\textrm{grad} z|_M=4\bar{i}-2\bar{j}$$.
Тогда, $$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$$.
Выберите один из вариантов
Производная функции $$u=\frac{4x^2z}{y}$$ в точке $$M(1;-1;2)$$ по направлению вектора $$\bar{l}(2;1;-1)$$ равна:
- Найдем частные производные данной функции:
$$u'_x=\frac{8xz}{y}$$; $$u'_y=-\frac{4x^2z}{y^2}$$; $$u'_z=\frac{4x^2}{y}$$. - Найдем значения частных производных в точке $$M(1;-1;2)$$:
$$u'_x|_M=-16$$; $$u'_y|_M=-8$$; $$u'_z|_M=-4$$. - Так как $$\Delta x=2$$, $$\Delta y=1$$, $$\Delta z=-1$$, $$\Delta l=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$$, то
$$\cos\alpha =\frac{2}{\sqrt{6}}$$, $$\cos\beta =\frac{1}{\sqrt{6}}$$, $$\cos\gamma =-\frac{1}{\sqrt{6}}$$. - Найдем значение производной по направлению в точке $$M(1;-1;2)$$:
$$u'_l|_M=-\frac{32}{\sqrt{6}}-\frac{8}{\sqrt{6}}+\frac{4}{\sqrt{6}}$$,
$$u'_l|_M=-\frac{36}{\sqrt{6}}$$.
Выберите один из вариантов
Если функция задана формулой $$\textrm{ctg}2yz=4x^2$$, то частная производная $$z'_y$$ в точке $$N\left(\frac{\pi }{8};\frac{\pi }{6};-\frac{\pi }{3}\right)$$ равна:
- Имеем неявную функцию $$F=\textrm{ctg}2yz-4x^2$$.
- Найдем ее частные производные:
$$F'_y=-\frac{2z}{\textrm{sin}^22yz}$$;
$$F'_z=-\frac{2y}{\textrm{sin}^22yz}$$. - Тогда: $$z'_y=-\frac{F'_y}{F'_z}$$, $$z'_y=-\frac{z}{y}$$, $$z'_y|_N=2$$.
Введите ответ в поле
Наибольшее значение функции $$z=x^2-y^2-x$$ в круге $$x^2+y^2\leq6$$ равно:
- Исследуем функцию во внутренних точках заданной области.
Найдем частные производные функции $$z=x^2-y^2-x$$:
$$z'_x=2x-1$$; $$z'_y=-2y$$.
Найдем критические точки функции, решая систему уравнений:
$$2x-1=0$$ и $$-2y=0$$.
Получим точку $$M(0,5;0)$$, которая принадлежит заданной области.
Тогда, $$z|_{M_{0}}=-0,25$$. - Найдем наибольшее и наименьшее значения данной функции на границе круга $$x^2+y^2=6$$.
Подставляя значение $$y^2=6-x^2$$ в уравнение $$z=x^2-y^2-x$$, получим функцию одной переменной:
$$f(x)=2x^2-x-6$$, где $$x\in [-\sqrt{6};\sqrt{6}]$$.
Найдем ее производную: $$f'(x)=4x-1$$.
Найдем ее критическую точку: $$x=0,25$$.
Найдем значения функции в этой точке и на концах отрезка $$[-\sqrt{6};\sqrt{6}]$$:
$$f(0,25)=-6,125$$; $$f(-\sqrt{6})=6+\sqrt{6}$$; $$f(\sqrt{6})=6-\sqrt{6}$$. - Сравнивая полученные значения и значение $$z|M_0=-0,25$$, найдем наибольшее значение функции в заданной области:
$$f(\sqrt{-6})=6+\sqrt{6}$$.
Выберите один из вариантов
Если $$u=5xyz-2x+3y+5z$$, то значение полного дифференциала в точке $$P(-4;0;7)$$ равно:
- Найдем частные производные:
$$u'_x=5yz-2$$; $$u'_y=5xz+3$$; $$u'_z=5xy+5$$. - Найдем значения частных производных в точке $$P(-4;0;7)$$:
$$u'_x|_P=-2$$; $$u'_y|_P=-137$$; $$u'_z|_P=5$$. - Запишем полный дифференциал:
$$du=-2dx-137dy+5dz$$.
Выберите один из вариантов
Значение функции $$z=5y^2-4xy+x^2+3x$$ в точке минимума равно:
- Найдем частные производные первого порядка:
$$z'_x=-4y+2x+3$$; $$z'_y=10y-4x$$. - Найдем критические точки функции, решая систему уравнений:
$$\left\{\begin{matrix}-4y+2x=-3,\\5y-2x=0;\end{matrix}\right.$$ $$\begin{cases}y=-3,\\x=-7,5.\end{cases}$$
Критическая точка: $$M_0(-7,5;-3)$$. - Найдем частные производные второго порядка:
$$z''_{x}=2$$; $$z''_{xy}=-4$$; $$z''_{yy}=10$$. - Рассмотрим точку $$M_0(-7,5;-3)$$:
$$z''_{xx}|_{M_{0}}=2=A$$, $$z''_{xy}|_{M_{0}}=-4=B$$, $$z''_{yy}|_{M_{0}}=10=C$$;
$$\Delta =\begin{vmatrix}2 & -4\\ -4 & 10\end{vmatrix}=4$$.
Так как $$\Delta >0$$ и $$A>0$$, то точка $$M_0(-7,5;-3)$$ является точкой минимума. - Найдем значение функции в точке $$M_0(-7,5;-3)$$:
$$z=45-90+56,25-22,5=-11,25$$.
Выберите один из вариантов
Произведение координат точки условного максимума функции $$z=4x-2y$$ при $$x^2+y^2=1$$ равно:
- Запишем уравнение связи в виде:
$$\varphi =x^2+y^2-1$$.
Составим функцию Лагранжа:
$$F=4x-2y+\lambda (x^2+y^2-1)$$. - Найдем частные производные функции Лагранжа:
$$F'_x=4+2\lambda x$$; $$F'_y=-2+2\lambda y$$; $$F'_\lambda =x^2+y^2-1$$. - Решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{matrix}2+\lambda x=0,\\ -1+\lambda y=0,\\ x^2+y^2=1.\end{matrix}\right.$$
Выразим из первых двух уравнений системы переменные $$x$$ и $$y$$:
$$x=-\frac{2}{\lambda }$$; $$y=\frac{1}{\lambda }$$.
Подставим эти значения в третье уравнение системы:
$$\frac{4}{\lambda ^2}+\frac{1}{\lambda ^2}=1$$, откуда $$\lambda =\pm \sqrt{5}$$.
Тогда:
1) если $$\lambda_1 = \sqrt{5}$$, то $$x_1=-\frac{2}{\sqrt{5}}$$, $$y_1=\frac{1}{\sqrt{5}}$$;
2) если $$\lambda_2 =-\sqrt{5}$$, то $$x_2=\frac{2}{\sqrt{5}}$$, $$y_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}$$.
Критические точки: $$M_1(-0,4\sqrt{5};0,2\sqrt{5})$$ и $$M_2(0,4\sqrt{5};-0,2\sqrt{5})$$. - Найдем частные производные второго порядка функции Лагранжа:
$$F''_{xx}=2\lambda $$; $$F''_{xy}=0$$; $$F''_{yy}=2\lambda $$. - Запишем дифференциал второго порядка функции Лагранжа:
$$d^2F=2\lambda dx^2+2\lambda dy^2$$, $$d^2F=2\lambda (dx^2+dy^2)$$. - Так как при $$\lambda _1=\sqrt{5}$$ дифференциал $$d^2F>0$$, то в точке $$M_1(-0,4\sqrt{5};0,2\sqrt{5})$$ функция имеет условный минимум.
- Так как при $$\lambda _2=-\sqrt{5}$$ дифференциал $$d^2F<0$$, то в точке $$M_2(0,4\sqrt{5};-0,2\sqrt{5})$$ функция имеет условный максимум.
- Найдем произведение координат точки условного максимума:
$$0,4\sqrt{5}\cdot (-0,2\sqrt{5})=-0,4$$.
Введите ответ в поле
Произведение координат критических точек функции $$z=x^2-y^2+5x+5y$$ равно:
- Найдем частные производные данной функции:
$$z'_x=2x+5$$; $$z'_y=-2y+5$$. - Решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{matrix}2x+5=0,\\-2y+5=0;\end{matrix}\right.$$ $$\begin{cases}x=-2,5,\\y=2,5.\end{cases}$$
Запишем критическую точку: $$M(-2,5;2,5)$$. - Найдем произведение координат критической точки:
$$-2,5\cdot 2,5=-6,25$$.
Введите ответ в поле
Уравнение касательной плоскости к поверхности $$z=x^2+y^2-xy$$ в точке $$M(-4;2;28)$$ имеет вид:
- Найдем частные производные функции:
$$z'_x=2x-y$$; $$z'_y=2y-x$$. - Найдем значения частных производных в точке $$M(-4;2;28)$$:
$$z'_x|_M=-10$$; $$z'_y|_M=8$$. - Запишем уравнение касательной плоскости:
$$z=28-10(x+4)+8(y-2)$$, $$z=-10x+8y-28$$.
Выберите один из вариантов
Уравнение нормали к поверхности $$z=\sqrt{xy-4}$$ в точке $$M(1;5;2)$$ имеет вид:
- Запишем поверхность в виде:
$$\sqrt{xy-4}-z=0$$. - Найдем частные производные функции $$F=\sqrt{xy-4}-z$$:
$$F'_x=\frac{y}{2\sqrt{xy-4}}$$; $$F'_y=\frac{x}{2\sqrt{xy-4}}$$; $$F'_z=-1$$. - Найдем значения частных производных в точке $$M(1;5;2)$$:
$$F'_x|_{M}=2,5$$; $$F'_y|_{M}=0,5$$; $$F'_z|_{M}=-1$$. - Запишем уравнение нормали:
$$\frac{x-1}{2,5}=\frac{y-5}{0,5}=\frac{z-2}{-1}$$.
Выберите один из вариантов