Приложения производной КТ 1
Функция $$y=3x^4-8x^3+6x^2-10$$ не убывает на промежутке:
- Запишем область определения данной функции:
$$x\in \textrm{R}$$. - Найдем производную функции:
$$y'=12x^3-24x^2+12x$$. - Найдем критические точки функции:
$$12x^3-24x^2+12x=0$$,
$$x(x^2-2x+1)=0$$,
$$x(x-1)^2=0$$, откуда $$x_1=0$$, $$x_{2,3}=1$$. - Нанесем критические точки на область определения функции и установим знаки производной на полученных промежутках (рис. 1).
- Функция не убывает на промежутке: $$[0;+\infty)$$.
Рис. 1
Выберите один из вариантов
Сумма наибольшего и наименьшего значений функции $$y=2x^{3}+3x^{2}-36x+1$$ на отрезке $$[-4;3]$$ равна:
- Найдем производную данной функции:
$$y'=6x^2+6x-36$$. - Найдем критические точки функции:
$$x^2+x-6=0$$, откуда $$x_1=-3$$, $$x_2=2$$. - Найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках:
$$f(-4)=-128+48+144=64$$;
$$f(-3)=-54+27+108=82$$;
$$f(2)=16+12-72=-43$$;
$$f(3)=54+27-108=-27$$. - Наибольшее значение равно $$82$$, наименьшее значение равно $$-43$$, а их сумма равна $$39$$.
Введите ответ в поле
Функция $$y=\frac{-5x}{x+4}$$ выпукла на промежутке:
- Запишем область определения данной функции:
$$x\in \textrm{R}/x\neq-4$$. - Найдем первую производную функции:
$$y'=\frac{-5(x+4)+5x}{(x+4)^2}$$,
$$y'=\frac{-20}{(x+4)^2}$$. - Найдем вторую производную функции:
$$y''=-\frac{-20\cdot 2(x+4)}{(x+4)^4}$$,
$$y''=\frac{40}{(x+4)^3}$$. - Найдем критические точки второго рода:
$$\frac{40}{(x+4)^3}=0$$, откуда $$x\neq -4$$. - Установим знаки второй производной на области определения функции (рис. 2).
- Функция выпукла на промежутке: $$(-\infty;-4)$$.
Рис. 2
Выберите один из вариантов
Значение $$\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\right)$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\infty -\infty $$.
- Выполним преобразования:
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}=\frac{\sin x-x}{x\sin x}$$. - Дважды применим правило Лопиталя:
1) $$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\sin x-x)'}{(x\sin x)'}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{\sin x+x\cos x}$$;
2) $$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\cos x-1)'}{(\sin x+x\cos x)'}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\sin x}{2\cos x-x\sin x}$$,
$$L=\frac{0}{2-0}=0$$.
Введите ответ в поле
Приближенное значение $$\textrm{arctg}(-0,03)$$ равно:
- Согласно условию задачи имеем:
$$f(x)=\textrm{arctg} x$$; $$x_0=0$$; $$\Delta x=-0,03$$.
Тогда: $$f(0)=\textrm{arctg} 0=0$$; $$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$$; $$f'(0)=\frac{1}{1+0}=-1$$. - Найдем приближенное значение $$\textrm{arctg}(-0,03)$$:
$$f(0-0,03)\approx f(0)-f'(0)\cdot 0,03$$;
$$f(0-0,03)\approx 0-1\cdot 0,03$$;
$$\textrm{arctg}(-0,03)\approx -0,03$$.
Введите ответ в поле
Свободный член уравнения нормали к графику функции $$y=\frac{1-5x}{1+5x}$$ в точке $$x_0=0$$ равен:
- Найдем значение функции в точке $$x_0=0$$:
$$f(0)=\frac{1-0}{1+0}$$. - Найдем производную функции:
$$y'=\frac{-5(1+5x)-5(1-5x)}{(1+5x)^2}$$;
$$y'=-\frac{10}{(1+5x)^2}$$. - Найдем значение производной в точке $$x_0=0$$:
$$f'(0)=-\frac{10}{1}=-10$$. - Найдем уравнение нормали в точке $$x_0=0$$:
$$y=f(x_0)-\frac{1}{f'(x_0)}\cdot (x-x_0)$$;
$$y=1+0,1(x-0)$$;
$$y=0,1x+1$$.
Введите ответ в поле
Значение $$\lim_{x\rightarrow \infty }(\sqrt{x^{-1}}\ln 5x)$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$0\cdot \infty $$.
- Преобразуем произведение $$\sqrt{x^{-1}}\cdot \ln 5x^2$$ в частное:
$$\sqrt{x^{-1}}\cdot \ln 5x^2=\frac{\ln 5x^2}{\sqrt{x}}$$. - Применим правило Лопиталя:
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{(\ln 5x^2)'}{(\sqrt{x})'}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{10x}{5x^2}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{4}{\sqrt{x}}=0$$.
Введите ответ в поле
Если закон движения тела задан функцией $$f(t)=(2+t^2)^3$$, то скорость тела в момент времени $$t=2$$ равна:
- Найдем производную функции:
$$f'(t)=3(2+t^2)^2(2+t^2)'$$;
$$f'(t)=6t(2+t^2)^2$$. - Найдем значение производной в точке $$t=2$$:
$$f'(2)=12\cdot{(2+4)^2}=432$$.
Введите ответ в поле
Если касательная к графику функции $$f(x)=4\cos 0,5x$$ наклонена к положительному направлению оси абсцисс под углом $$120^{\circ}$$, то ордината точки касания равна:
- Найдем производную функции:
$$f'(x)=-2\sin 0,5x$$. - Найдем абсциссу точки касания:
$$f'(x_0)=\textrm{tg} 120^{\circ}$$;
$$-2\sin0,5x_0=-\sqrt{3}$$;
$$\sin 0,5x_0=\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
$$0,5x_0=\frac{\pi }{3}$$;
$$x_0=\frac{2\pi }{3}$$. - Найдем ординату точки касания:
$$f(\frac{2\pi }{3})=4\cos\frac{\pi }{3}=2$$.
Выберите один из вариантов
Предел функции $$y=\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}$$ в точке $$x=0$$ равен:
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
Применим дважды правило Лопиталя-Бернулли:
- $$L=\lim_{x\to 0}\frac {(\sin 2x)'}{(1-\cos 2x)'}$$,
$$L=\lim_{x\to 0}\frac {2\cos 2x}{2 \sin 2x}$$; - $$L=\lim_{x\to 0}\frac {(\cos 2x)'}{(\sin 2x)'}$$,
$$L=\lim_{x\to 0}\frac {-2\sin 2x}{2\cos 2x}=\frac{0}{1}=0$$.
Введите ответ в поле