Приложения производной КТ 2
Уравнение касательной к графику функции $$y=\textrm{arcsin} 2x$$ в точке $$x_0=0$$ имеет вид:
- Найдем значение функции в точке $$x_0=0$$:
$$f(0)=\textrm{arcsin} 0=0$$. - Найдем производную функции:
$$y'=\frac{(2x)'}{\sqrt {1-4x^2}}$$;
$$y'=\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$$. - Найдем значение производной в точке $$x_0=0$$:
$$f'(0)=\frac{2}{1}=2$$. - Найдем уравнение касательной в точке $$x_0=0$$:
$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$;
$$y=0+2(x-0)$$; $$y=2x$$.
Выберите один из вариантов
Значение (или сумма значений) функции $$y=2xe^{2x}$$ в критической точке (в критических точках) равно:
- Найдем производную функции:
$$y'=2e^{2x}+2xe^{2x}\cdot(2x)'$$,
$$y'=2e^{2x}+4xe^{2x}$$,
$$y'=(2+4x)e^{2x}$$. - Найдем критические точки функции:
$$(2+4x)e^{2x}=0$$, откуда $$x=-0,5$$. - Найдем значение функции в точке $$x=-0,5$$:
$$f(-0,5)=2\cdot(-0,5)\cdot e^{-1}=-e^{-1}$$.
Выберите один из вариантов
Сумма значений функции $$y=\frac{x^{5}}{5}-\frac{2x^{3}}{3}+x-2$$ в точках перегиба равна:
- Найдем первую производную функции:
$$y'=x^{4}-2x^{2}+1$$, $$y'=(x^{2}-1)^{2}$$. - Найдем вторую производную функции:
$$y''=2(x^{2}-1)(x^{2}-1)'$$, $$y''=4x(x^{2}-1)$$. - Найдем критические точки второго рода:
$$4x(x^{2}-1)=0$$, откуда $$x_{1}=0$$, $$x_{2}=1$$, $$x_{3}=-1$$. - Нанесем критические точки на область определения функции и установим знаки второй производной на полученных промежутках (рис. 2).
Запишем точки перегиба: $$-1$$; $$0$$; $$1$$. - Найдем значения функции в точках перегиба:
$$f(-1)=-\frac{1}{5}+\frac{2}{3}-1-2=-\frac{38}{15}$$;
$$f(1)=\frac{1}{5}-\frac{2}{3}+1-2=-\frac{22}{15}$$;
$$f(0)=-2$$. - Найдем сумму значений функции в точках перегиба:
$$-\frac{38}{15}-\frac{22}{15}-2=-6$$.
Рис. 2
Введите ответ в поле
Значение (или среднее арифметическое значений) функции $$f(x)=\frac{x^{2}}{8+4x}$$ в точке (в точках) максимума равно:
- Запишем область определения данной функции:
$$x\in \textrm{R} / x\neq -2 $$. - Найдем производную функции:
$$y'=\frac{2x(8+4x)-4x^{2}}{(8+4x)^{2}}$$,
$$y'=\frac{4x^{2}+16x}{(8+4x)^{2}}$$. - Найдем критические функции точки:
$$\frac{4x^{2}+16x}{(8+4x)^{2}}=0$$,
$$\frac{x(x+4)}{(8+4x)^{2}}=0$$, откуда $$x=0$$, $$x=-4$$, $$x\neq -2$$. - Нанесем критические точки на область определения функции и установим знаки производной на полученных промежутках (рис. 1).
- Точка максимума: $$x=-4$$. Тогда, $$f(-4)=\frac{16}{8-16}=-2$$.
Рис. 1
Введите ответ в поле
Значение $$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{7x^{2}+\ln x}{7x^{2}+x}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\frac{\infty }{\infty }$$.
Дважды применим правило Лопиталя:
Дважды применим правило Лопиталя:
- $$L=\lim_{x\rightarrow \infty }=\frac{(7x^{2}+\ln x)'}{(7x^{2}+x)'}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{14x+\frac{1}{x}}{14x+1}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{14x^{2}+1}{14x^{2}+x}$$; - $$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{(14x^{2}+1)'}{(14x^{2}+x)'}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{28x}{28x+1}=1$$.
Введите ответ в поле
Уравнение касательной к графику функции $$y=2x^{3}-x^{2}+4x+4$$ в точке $$x_{0}=-1$$ имеет вид:
- Найдем значение функции в точке $$x_{0}=-1$$:
$$f(-1)=-2-1-4+4=-3$$. - Найдем производную функции:
$$f'(x)=6x^{2}-2x+4$$. - Найдем значение производной в точке $$x_{0}=-1$$:
$$f'(-1)=6+2+4=12$$. - Найдем уравнение касательной:
$$y=-3+12(x+1)$$, $$y=12x+9$$.
Выберите один из вариантов
Функция $$y=\textrm{arctg} 5x$$ вогнута вверх на промежутке:
- Запишем область определения данной функции:
$$x\in \textrm{R}$$. - Найдем первую производную функции:
$$y'=\frac{5}{1+25x^{2}}$$. - Найдем вторую производную функции:
$$y''=-\frac{5(1+25x^{2})'}{(1+25x^{2})^{2}}$$,
$$y''=-\frac{250x}{(1+25x^{2})^{2}}$$. - Решим неравенство: $$-250x> 0$$, откуда $$x< 0$$.
Выберите один из вариантов
Среднее арифметическое значений $$x$$, в которых функция $$y=\sqrt{x^{2}-4x+6}$$ достигает своего наибольшего значения на отрезке $$[0; 4]$$, равно:
- Найдем производную данной функции:
$$y'=\frac{(x^{2}-4x+6)'}{2\sqrt{x^{2}-4x+6}}$$,
$$y'=\frac{x-2}{\sqrt{x^{2}-4x+6}}$$. - Найдем критические точки функции:
$$\frac{x-2}{\sqrt{x^{2}-4x+6}}=0$$, откуда $$x=2$$. - Найдем значения функции на концах отрезка $$[0; 4]$$ и в критической точке:
$$f(0)=\sqrt{0-0+6}=\sqrt{6}$$;
$$f(2)=\sqrt{4-8+6}=\sqrt{2}$$;
$$f(4)=\sqrt{16-16+6}=\sqrt{6}$$. - Наибольшее значение функция принимает в точках $$x=0$$ и $$x=4$$, а наименьшее значение принимает в точке $$x=2$$.
- Найдем среднее арифметическое чисел $$0$$, $$2$$ и $$4$$:
$$(0+2+4):3=2$$.
Введите ответ в поле
Приближенное значение $$4,001^{3}$$ равно:
- Согласно условию задачи имеем:
$$f(x)=x^{3}$$; $$x_{0}=4$$; $$\Delta x=0,001$$.
Тогда: $$f(4)=64$$; $$f'(x)=3x^{2}$$; $$f'(4)=48$$. - Найдем приближенное значение $$4,001^{3}$$:
$$4,001^{3}\approx f(4)+f'(4) \cdot 0,001$$;
$$4,001^{3}\approx 64+48 \cdot 0,001$$;
$$4,001^{3}\approx 64,048$$.
Введите ответ в поле
Значение $$\lim_{x\rightarrow 1}\left ( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{\ln x} \right )$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\infty -\infty $$.
- Выполним преобразования: $$ \frac{1}{x-1}-\frac{1}{\ln x}=\frac{\ln x-x+1}{(x-1)\ln x}$$.
- Дважды применим правило Лопиталя:
- 1) $$L=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(\ln x-x+1)'}{((x-1)\ln x)'}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac{1}{x}-1}{\ln x+\frac{x-1}{x}}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x}{x\ln x+ x-1}$$;- 2) $$L=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(1-x)'}{(x\ln x+ x-1)'}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-1}{\ln x+1+1}=-\frac{1}{2}$$.
Введите ответ в поле