Приложения производной КТ 3
Приближенное значение $$e^{-0,025}$$ равно:
- Согласно условию задачи имеем:
$$f(x)=e^x$$; $$x_0=0$$; $$\Delta x=-0,025$$.
Тогда: $$f(0)=1$$; $$f'(x)=e^x$$; $$f'(0)=1$$. - Найдем приближенное значение $$e^{-0,025}$$:
$$e^{-0,025}\approx f(0)-f'(0)\cdot 0,025$$;
$$e^{-0,025}\approx 1-1\cdot 0,025$$;
$$e^{-0,025}\approx 0,975$$.
Введите ответ в поле
Наименьшее значение функции $$y=\frac{3x+1}{1-2x}$$ на отрезке $$[-2;0]$$ равно:
- Найдем производную данной функции:
$$y'=\frac{3(1-2x)+2(3x+1)}{(1-2x)^2}$$,
$$y'=\frac{5}{(1-2x)^2}$$. - Найдем критические точки функции:
$$\frac{5}{(1-2x)^2}=0$$, откуда $$x\neq 0,5$$. - Найдем значения функции на концах отрезка $$[-2;0]$$:
$$f(-2)=-1$$; $$f(0)=1$$. - Наименьшее значение функции равно $$–1$$.
Введите ответ в поле
Угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=\sqrt{x^2+3}$$ в точке $$x_0=-1$$ равен:
- Найдем производную функции:
$$f'(x)=\frac{(x^2+3)'}{2\sqrt{x^2+3}}$$,
$$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$$. - Найдем угловой коэффициент касательной в точке $$x_0=-1$$:
$$f'(-1)=-\frac{1}{\sqrt{1+3}}=-0,5$$.
Введите ответ в поле
Функция $$y=\frac{\sqrt{x+2}}{2x}$$ не возрастает на промежутке:
- Запишем область определения данной функции:
$$x\in[-2;0)\cup(0;+\infty)$$. - Найдем производную функции:
$$y'=\frac{\frac{2x}{2\sqrt{x+2}}-2\sqrt{x+2}}{4x^2}$$,
$$y'=-\frac{x+4}{4x^2\sqrt{x+2}}$$. - Найдем критические точки функции:
$$y'=-\frac{x+4}{4x^2\sqrt{x+2}}=0$$, откуда $$x=-4$$, $$x\neq 0$$, $$x\neq -2$$. - Нанесем критические точки на область определения функции и установим знаки производной на полученных промежутках (рис. 1).
- Функция не возрастает на промежутках:
$$(-2;0)$$ и $$(0;+\infty)$$.
Рис. 1
Выберите один из вариантов
Уравнение нормали к графику функции $$f(x)=\frac{2+5x}{3-x}$$ в точке $$x_0=2$$ имеет вид:
- Найдем значение функции в точке $$x_0=2$$:
$$f(x)=\frac{2+10}{3-2}=12$$. - Найдем производную функции:
$$f'(x)=\frac{(2+5x)'(3-x)-(2+5x)(3-x)'}{(3-x)^2}$$,
$$f'(x)=\frac{5(3-x)+(2+5x)}{(3-x)^2}$$,
$$f'(x)=\frac{17}{(3-x)^2}$$. - Найдем значение производной в точке $$x_0=2$$:
$$f'(2)=\frac{17}{(3-2)^2}=17$$. - Найдем уравнение нормали:
$$y=12-\frac{1}{17}(x-2)$$,
$$y=-\frac{1}{17}x+12\frac{2}{17}$$.
Выберите один из вариантов
Значение $$\lim_{x\rightarrow 1}(1-x)\textrm{ctg}\pi x$$ равно:
- Так как имеем неопределенность вида $$0\cdot \infty $$, то преобразуем произведение в частное:
$$(1-x)\textrm{ctg}\pi x=-\frac{\textrm{ctg}\pi x}{\frac{1}{x-1}}$$. - Трижды применим правило Лопиталя:
- $$L=-\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-\frac{\pi }{\sin^2\pi x}}{-\frac{1}{(x-1)^2}}$$, $$L=-\pi \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)^2}{\sin^2\pi x}$$;
$$L=-\pi \lim_{x\rightarrow 1}\frac{((x-1)^2)'}{(\sin^2\pi x)'}$$, $$L=-\pi \lim_{x\rightarrow 1}\frac{2(x-1)}{2\pi \sin\pi x\cos x}$$;- $$L=-2\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)'}{(\sin 2\pi x)'}$$, $$L=-2\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{2\pi \cos 2\pi x}$$, $$L=-\frac{1}{\pi \cos 2\pi }=-\frac{1}{\pi }$$.
Выберите один из вариантов
Функция $$y=x^5-5x^4+7x-7$$ вогнута на промежутке:
- Найдем первую производную функции:
$y'=5x^4-20x^3+7$$. - Найдем вторую производную функции:
$$y''=20x^3-60x^2$$. - Найдем критические точки второго рода:
$$20x^3-60x^2=0$$, $$x^2(x-3)=0$$, откуда $$x_{1,2}=0$$, $$x_{3}=3$$. - Нанесем критические точки на область определения функции и установим знаки второй производной на полученных промежутках (рис. 2).
- Функция вогнута на промежутке:
$$(3;+\infty)$$.
Рис. 2
Выберите один из вариантов
Если закон движения тела задан формулой $$y=(x^2+4x+1)^2$$, то ускорение тела в момент времени $$x=1$$ равно:
- Найдем скорость движения тела:
$$f'(x)=2(x^2+4x+1)(2x+4)$$,
$$f'(x)=(x^2+4x+1)(4x+8)$$. - Найдем ускорение тела:
$$f''(x)=(2x+4)(4x+8)+4(x^2+4x+1)$$. - Найдем ускорение тела в момент времени $$x=1$$:
$$f''(1)=6\cdot{12}+4\cdot{6}=96$$.
Введите ответ в поле
Значение $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln 8x}{\textrm{ctg} 2x}$$ равно:
- Применим правило Лопиталя:
$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\ln 8x)'}{(\textrm{ctg} 2x)'}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{2}{\sin^22x}}$$,
$$L=-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^22x}{2x}$$. - Применим первый замечательный предел:
$$L=-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{2x}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\sin 2x$$,
$$L=-1\cdot 0=0$$.
Выберите один из вариантов
Среднее арифметическое целых неположительных чисел, принадлежащих промежутку возрастания функции $$y=2x^2+10x+1$$, равно:
- Найдем производную функции:
$$y'=4x+10$$. - Найдем промежуток возрастания функции:
$$4x+10>0$$, откуда $$x>-2,5$$. - Найдем среднее арифметическое неположительных целых чисел, принадлежащих промежутку возрастания функции:
$$(-2-1+0):3=-1$$.
Введите ответ в поле