Дифференциальные уравнения КТ 1
Решение уравнения $$y'\textrm{ctg}x=1$$ при условии, что $$x_0=y_0=\pi $$, имеет вид:
- Запишем уравнение в виде:
$$\frac{dy}{dx} \textrm{ctg} x=1$$, $$dy=\textrm{tg} xdx$$. - Проинтегрируем обе части полученного равенства:
$$\int dy=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx$$,
$$y=-\int \frac{\sin xd(\cos x)}{\cos x\sin x}$$,
$$y=-\int\frac{d(\cos x)}{\cos x} $$, $$y=-\ln|\cos x|+C$$. - Найдем произвольную постоянную:
$$\pi =-\ln 1+C$$, $$C=\pi $$. - Запишем частное решение:
$$y=-\ln|\cos x|+\pi $$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''-6y'+25y=0$$, удовлетворяющее начальным условиям $$y(0)=1$$ и $$y'(0)=-1$$, имеет вид:
Имеем однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
- Составим и решим характеристическое уравнение:
$$k^2-6k+25=0$$, откуда $$k_{1,2}=3\pm4i$$, $$a=3$$, $$b=4$$.
Запишем общее решение уравнения:
$$y=e^{ax}(C_1\sin bx+C_2\cos bx)$$, $$y=e^{3x}(C_1\sin 4x+C_2\cos 4x)$$. - Найдем частное решение данного уравнения.
Подставляя значения $$x=0$$ и $$y=1$$ в общее решение уравнения, получим:
$$1=e^0(0+C_2)$$, $$C_2=1$$.
Найдем производную функции, которая является общим решением уравнения:
$$y'=3e^{3x}(C_1\sin 4x+C_2\cos 4x)+4e^{3x}(C_1\cos 4x-C_2\sin 4x)$$.
Подставляя значения $$x=0$$, $$y'=-1$$ и $$C_2=1$$ в это равенство, получим:
$$-1=3(0+1)+(C_1-0)$$, $$C_1=-1$$. - Запишем частное решение уравнения:
$$y=e^{3x}(\cos 4x-\sin 4x)$$.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$ydx=e^x\ln ydy$$ имеет вид:
- Разделим переменные:
$$\frac{ydx}{ye^x}=\frac{e^x\ln y dy}{ye^x}$$,
$$e^{-x}dx=\frac{\ln y dy}{y}$$. - Проинтегрируем обе части полученного равенства:
$$\int e^{-x}dx=\int\frac{\ln y dy}{y}$$,
$$-\int e^{-x}d(-x)=\int \ln y d(\ln y)$$,
$$-e^{-x}+C=0,5\ln^2y$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$\sqrt{3-2x}y''=5$$ имеет вид:
- Так как $$y''=\frac{dy'}{dx}$$, то уравнение примет вид:
$$dy'=\frac{5dx}{\sqrt{3-2x}}$$. - Проинтегрируем это равенство:
$$\int dy'=\int \frac{5dx}{\sqrt{3-2x}}$$,
$$y'=-\frac{5}{2}\int \frac{d(3-2x)}{\sqrt{3-2x}}$$,
$$y'=-5\sqrt{3-2x}+C_1$$. - Так как $$y'=\frac{dy'}{dx}$$, то
$$dy=(-5\sqrt{3-2x}+C_1)dx$$,
$$y=\frac{5}{2}\int(\sqrt{3-2x}d(3-2x)+C_1x$$,
$$y=\frac{5(3-2x)^{1,5}}{3}+C_1x+C_2$$.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$ydx=(x-2y)dy$$ имеет вид:
- Полагая $$y=u$$, $$dy=udx+xdu$$, получим:
$$uxdx=(x-2ux)dy$$,
$$udx=(1+2u)(udx+xdu)$$,
$$udx=udx+xdu-2u^2dx-2uxdu$$,
$$2u^2dx=x(1-2u)du$$. - Разделим переменные:
$$\frac{dx}{x}=\frac{(1-2u)du}{2u^2}$$. - Проинтегрируем полученное равенство:
$$\int \frac{dx}{x}=\int \left(\frac{1}{2u^2}-\frac{1}{u}\right)du$$,
$$\ln x+\ln C =-\frac{1}{2u}-\ln u$$, $$\ln Cxu=-\frac{1}{2u}$$. - Учитывая, что $$u=\frac{y}{x}$$, получим:
$$\ln Cy=-\frac{x}{2y}$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''+4y'=8x+2$$ имеет вид:
- Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y''+4y'=0$$.
Так как $$k^2+4k=0$$, то $$k_1=0$$, $$k_2=-4$$.
Тогда: $$y_0=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_1x}$$, $$y_0=C_1+C_2e^{-4x}$$. - Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
Так как $$f(x)=8x+2$$ и $$q=0$$, то:
$$\widetilde{y}=x(Ax+B)$$, $$\widetilde{y}=Ax^2+Bx$$, $$\widetilde{y'}=2Ax+B$$; $$\widetilde{y''}=2A$$.
Подставляя эти выражения в уравнение $$y''+4y'=8x+2$$, получим:
$$2A+8Ax+4B=8x+2$$.
Решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{matrix}8A=8,\\2A+4B=2;\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}A=1,\\B=0.\end{matrix}\right.$$
Запишем частное решение: $$\widetilde{y}=x^2$$. - Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
$$y=y_0=\widetilde{y}$$, $$y=C_1+C_2e^{-4x}+x^2$$.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$(2x-3)y''-4y'=0$$ имеет вид:
- Пусть $$y'=t$$, тогда $$y''=\frac{dt}{dx}$$.
Уравнение примет вид:
$$\frac{(2x-3)dt}{dx}=4t$$, $$\frac{dt}{t}=\frac{4dx}{2x-3}$$. - Проинтегрируем полученное равенство:
$$\ln t=\int \frac{2d(2x-3)}{2x-3}$$, $$\ln t=2\ln (2x-3)+\ln C_1$$, $$\ln t=\ln C_1(2x-3)^2$$, $$t=C_1(2x-3)^2$$. - Учитывая подстановку $$y'=t$$, получим:
$$dy=C_1(2x-3)^2dx$$,
$$y=\frac{C_1}{2}\int (2x-3)^2d(2x-3)$$,
$$y=\frac{C_1}{6}(2x-3)^3+C_2$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''-5y'=2\sin x-3\cos x$$ имеет вид:
- Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y''-5y'=0$$.
Так как $$k^2-5k=0$$, то $$k_1=0$$, $$k_2=5$$.
Тогда: $$y_0=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_2x}$$, $$y_0=C_1+C_2e^{5x}$$. - Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
Так как $$f(x)=2\sin x-3\cos x$$ и $$p\neq 0$$, то:
$$\widetilde{y}=A\sin x+B\cos x$$;
$$\widetilde{y'}=A\cos x-B\sin x$$; $$\widetilde{y'}=-A\sin x-B\cos x$$.
Подставляя эти выражения в уравнение $$y''-5y'-=2\sin x-3\cos x$$, получим:
$$\sin x(5B-A)-\cos x(B+5A)=2\sin x-3\cos x$$.
Решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{matrix}5B-A=2,\\ B+5A=3;\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}A=0,5,\\ B=0,5.\end{matrix}\right.$$
Запишем частное решение:
$$\widetilde{y}=0,5\sin x+0,5\cos x$$. - Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
$$y=y_0+\widetilde{y}$$,
$$y=C_1+C_2e^{5x}+0,5\sin x+0,5\cos x$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$xy'-y-5x^2=0$$ имеет вид:
- Полагая $$y=uv$$, $$y'=u'v+uv'$$, получим:
$$xu'v+xuv'-uv-5x^2=0$$. - Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель $$u$$, и вынесем его из скобок:
$$u(xv'-v)+xu'v-5x^2=0$$. - Если положим $$xv'-v=0$$, то получим $$u'v=5x^2$$.
Запишем систему уравнений:
$$\left\{\begin{matrix}xv'-v=0,\\xu'v=5x^2.\end{matrix}\right.$$ - Решим первое уравнение системы:
$$\frac{xdv}{dx}=v$$, $$\frac{dv}{v}=\frac{dx}{x}$$,
$$\int \frac{dv}{v}=\int \frac{dx}{x}$$, $$\ln v=\ln x$$, $$v=x$$. - Подставим полученное значение $$v=x$$ во второе уравнение системы и решим его:
$$u'x=5x$$, $$\frac{du}{dx}=5$$, $$du=5dx$$, $$\int du=5\int dx$$, $$u=5x+C$$. - Учитывая, что $$y=uv$$, получим:
$$y=5x^2+Cx$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''-3y'=6e^{3x}$$ имеет вид:
- Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y''-3y'=0$$.
Так как $$k^2-3k=0$$, то $$k_1=3$$, $$k_2=0$$.
Тогда: $$y_0=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_2x}$$, $$y_0=C_1e^{3x}+C_2$$. - Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
Так как $$f(x)=6e^{3x}$$ и $$k_1=3$$, то:
$$\widetilde{y}=Axe^{3x}$$;
$$\widetilde{y'}=Ae^{3x}+3Axe^{3x}$$;
$$\widetilde{y''}=3Ae^{3x}+3Ae^{3x}+9Axe^{3x}$$;
$$\widetilde{y''}=6Ae^{3x}+9Axe^{3x}$$.
Подставляя эти выражения в уравнение $$y''-3y'=6e^{3x}$$, получим:
$$6Ae^{3x}+9Axe^{3x}-3Ae^{3x}-9Axe^{3x}=6e^{3x}$$, откуда $$A=2$$.
Запишем частное решение: $$\widetilde{y}=2xe^{3x}$$. - Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
$$y=y_0+\widetilde{y}$$, $$y=C_1e^{3x}+C_2+2xe^{3x}$$.
Выберите один из вариантов