Дифференциальные уравнения КТ 2
Решение уравнения $$y''+4y=sin 2x$$ имеет вид:
1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y''+4y=0$$.
Так как $$k^{2}+4=0$$, то $$k_{1,2}=\pm 2i$$, $$a=0$$, $$b=2$$.
Тогда:
$$y_{0}=e^{ax}(C_{1}sin bx+ C_{2}cos bx)$$,
$$y_{0}=C_{1}sin 2x+C_{2}cos 2x$$.
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
Так как $$f(x)=sin 2x$$, $$m=2$$ и $$p=0$$, то:
$$\widetilde{y}=x(Asin 2x+B cos 2x)$$;
$$\widetilde{y'}=Asin 2x+B cos 2x+x(2Acos 2x-2B sin 2x)$$;
$$\widetilde{y''}=4Acos2x-4Bsin 2x-4x(Asin 2x+B cos 2x)$$.
Подставляя эти выражения в уравнение $$y''+4y=sin 2x$$, получим:
$$4Acos 2x-4Bsin 2x=sin 2x$$,
откуда $$A=0$$,$$b=-\frac{1}{4}$$ .
Запишем частное решение:
$$\widetilde{y}=-\frac{x cos 2x}{4}$$.
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
$$y=y_{0}+\widetilde{y}$$,
$$y=C_{1}sin 2x+C_{2}cos 2x-\frac{1}{4}xcos 2x$$,
$$y=C_{1}sin 2x+cos 2x\left ( C_{2}-\frac{x}{4} \right )$$.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$y''sinx=y'cos x$$ имеет вид:
Пусть $$y'=t$$, тогда $$y''=\frac{dt}{dx}$$.
Уравнение примет вид:
$$\frac{sin x dt}{dx}=t cos x$$, $$\frac{dt}{t}=\frac{cos x dx}{sinx}$$.
Проинтегрируем полученное равенство:
$$\int \frac{dt}{t}=\int \frac{d(sin x)}{sinx}$$,
$$ln t=ln sin x+ln C_{1}$$, $$t=C_{1}sin x$$.
Учитывая подстановку $$y'=t$$ получим:
$$\frac{dy}{dx}=C_{1}sin x$$,
$$\int dy=C_{1}\int sin x dx$$,
$$y=-C_{1}cos x +C_{2} $$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$\left ( 1+x^{2} \right )^{2}y''+2x=0$$ имеет вид:
Так как $$y''=\frac{dy'}{dx}$$, то $$dy'=-\frac{2xdx}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}$$.
Проинтегрируем это равенство:
$$\int dy'=-\int \frac{2xdx}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}$$,
$$y'=\frac{1}{1+x^{2}}+C_{1}$$.
Так как $$y'=\frac{dy}{dx}$$, то
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^{2}}+C_{1}$$,
$$\int dy=\int \frac{dx}{1+x^{2}}+\int C_{1} dx$$,
$$y=arctg x+C_{1}x+C_{2}$$.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$(yx+5x)dx-x^{3}dy=0$$ имеет вид:
Разделим переменные:
$$\frac{x(y+5)dx}{(y+5)x^{3}}=\frac{x^{3}dy}{(y+5)x^{3}}$$,
$$\frac{dx}{x^{2}}=\frac{dy}{y+5}$$.
Проинтегрируем обе части полученного равенства:
$$\int \frac{dx}{x^{2}}=\int \frac{d(y+5)}{y+5}$$,
$$-\frac{1}{x}=ln (y+ 5)+lnC$$,
$$-\frac{1}{x}=ln C(y+5)$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''-5y'+6y=6x^{2}+2x+1$$ имеет вид:
1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y''-5y'+6y=0$$.
Так как $$k^{2}-5k+6=0$$, то $$k_{1}=2$$, $$k_{2}=3$$.
Тогда: $$y_{0}=C_{1}e^{k_{1}x}+C_{2}e^{k_{2}x}$$, $$y_{0}=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x}$$.
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
Так как $$f(x)=6x^{2}+2x+1$$ и $$q=6\neq 0$$, то:
$$\widetilde{y}=Ax^{2}+Bx+C$$;
$$\widetilde{y'}=2Ax+B$$;
$$\widetilde{y''}=2A$$.
Подставляя эти выражения в уравнение $$y''-5y'+6y=6x^{2}+2x+1$$ получим:
$$6Ax^{2}+x(6B-10A)+2A-5B+6C=6x^{2}+2x+1$$.
Решим систему уравнений:
$$\begin{cases}6A=6,\\ 6B-10A=2, \\ 2A-5B+6C=1; \end{cases}$$ $$\begin{cases}A=1, \\ B=2, \\C=1,5 .\end{cases}$$.
Запишем частное решение:
$$\widetilde{y}=x^{2}+2x+1,5$$.
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
$$y=y_{0}+\widetilde{y}$$,
$$y=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x}+x^{2}+2x+1,5$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''+2y'+y=9e^{2x}$$ имеет вид:
1. Найдем общее решение соответсвующего однородного уравнения $$y''+2y'+y=0$$.
Так как $$k^{2}+2k+1=0$$, то $$k_{1}=k_{2}=-1$$.
Тогда: $$y_{0}=C_{1}e^{kx}+C_{2}xe^{kx}$$, $$y_{0}=e^{-x}(C_{1}+C_{2}x)$$.
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
Так как $$f(x)=9e^{2x}$$ и $$k\neq 2$$, то $$\widetilde{y}=Ae^{2x}$$, $$\widetilde{y'}=2Ae^{2x}$$, $$\widetilde{y''}=4Ae^{2x}$$.
Подставляя эти выражения в уравнение $$y''+2y'+y=9e^{2x}$$ получим:
$$4Ae^{2x}+4Ae^{2x}+Ae^{2x}=9Ae^{2x}$$, откуда $$A=1$$.
Запишем частное решение:
$$\widetilde{y}=e^{2x}$$.
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
$$y=y_{0}+\widetilde{y}$$, $$y=e^{-x}(C_{1}+C_{2}x)+e^{2x}$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''+2y'+y=e^{-x}$$ имеет вид:
1. Найдем общее решение соответсвующего однородного уравнения $$y''+2y'+y=0$$.
Так как $$k^{2}+2k+1=0$$, то $$k_{1}=k_{2}=-1$$.
Тогда: $$y_{0}=C_{1}e^{kx}+C_{2}xe^{kx}$$, $$y_{0}=C_{1}e^{-x}+C_{2}x^{-x}$$.
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
Так как $$f(x)=e^{-x}$$ и $$k_{1}=k_{2}=-1$$, то:
$$\widetilde{y}=Ax^{2}e^{-x}$$;
$$\widetilde{y'}=2Axe^{-x}-Ax^{2}e^{-x}$$;
$$\widetilde{y''}=2Ae^{-x}-2Axe^{-x}-2Axe^{-x}+Ax^{2}e^{-x}$$,
$$\widetilde{y''}=2Ae^{-x}-4Axe^{-x}+Ax^{2}e^{-x}$$.
Подставляя эти выражения в уравнение $$y''+2y'+y=e^{-x}$$ получим:
$$2A-4Ax+Ax^{2}+4Ax-2Ax^{2}+Ax^{2}=1$$, откуда $$A=0,5$$.
Запишем частное решение:
$$\widetilde{y}=0,5 x^{2}e^{-x}$$.
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
$$y=y_{0}+\widetilde{y}$$,
$$y=C_{1}e^{-x}+C_{2}xe^{-x}+0,5x^{2}e^{-x}$$,
$$y=e^{-x}(C_{1}+C_{2}x+0,5x^{2})$$.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$xyy'=4x^{2}+y^{2}$$ имеет вид:
Запишем уравнение в виде:
$$xydy=\left ( 4x^{2}+y^{2} \right )dx$$.
Полагая $$y=ux$$, $$dy=udx+xdu$$, получим:
$$x^{2}udy=\left ( 4x^{2}+x^{2} u^{2} \right )dx$$,
$$udy=\left ( 4+u^{2} \right )dx$$,
$$u\left ( udx+xdu \right )=\left ( 4+u^{2} \right )dx$$,
$$u^{2}dx+uxdu=4dx+u^{2}dx$$,
$$uxdu=4dx$$.
Разделим переменные:
$$udu=\frac{4dx}{x}$$.
Проинтегрируем полученное равенство:
$$\int udy=\int \frac{4dx}{x}$$,
$$\frac{u^{2}}{2}=4lnx + lnC$$, $$u^{2}=2lnCx^{4}$$.
Учитывая, что $$u=\frac{y}{x}$$, получим:
$$y^{2}=2x^{2}lnCx^{4}$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y'+y+e^{x}=5$$ имеет вид:
Полагая $$y=uv$$, $$y'=u'v+uv'$$, получим:
$$u'v+uv'+uv+e^{x}=5$$.
Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель $$u$$ и вынесем его из скобок:
$$u(v'+v)+u'v+e^{x}=5$$.
Если положим $$v'+v=0$$, то получим $$u'v+e^{x}=5$$.
Запишем систему уравнений:
$$\begin{cases} v+v'=0, \\ u'v+e^{x}=5.\end{cases}$$
Решим первое уравнение системы:
$$\frac{dv}{dx}=-v$$, $$dv=-vdx$$, $$\frac{dv}{v}=-dx$$,$$\int \frac{dv}{v}=-\int dx$$, $$ln v=-x$$, $$v=e^{-x}$$.
Подставим полученное значение $$v=e^{-x}$$ во второе уравнение системы и решим его:
$$u'e^{-x}+e^{x}=5$$, $$\frac{du}{e^{x}dx}=5-e^{x}$$, $$du=\left ( 5e^{x} -e^{2x}\right )dx$$,
$$\int du=\int \left ( 5e^{x} -e^{2x}\right )dx$$, $$u=5e^{x}-0,5e^{2x}+C$$.
Учитывая, что $$y=uv$$, получим:
$$y=5-0,5e^{x}+Ce^{-x}$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$4y''-4y'+y=0$$, удовлетворяющее начальным условиям $$y(0)=3$$ и $$y'(2)=e$$, имеет вид:
Имеем однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составим и решим характерическое уравнение:
$$4k^{2}-4k+1=0$$, откуда $$k_{1}=k_{2}=0,5$$.
Запишем общее решение уравнения:
$$y=C_{1}e^{kx}+C_{2}xe^{kx}$$, $$y=C_{1}e^{0,5x}+C_{2}xe^{0,5x}$$.
Найдем частное решение данного уравнения.
Подставляя значения $$x=0$$ и $$y=1$$ в общее решение уравнения, получим:
$$C_{1}=3$$.
Найдем производную функции, которая является общим решением уравнения:
$$y'=0,5C_{1}e^{0,5x}+C_{2}xe^{0,5x}+0,5C_{2}xe^{0,5x}$$.
Подставляя значения $$x=0$$, $$y'=e$$ и $$C_{1}=3$$ в это равенство, получим:
$$e=1,5e+C_{2}e+C_{2}$$, $$C_{2}=-0,25$$.
Запишем частное решение уравнения:
$$y=3e^{0,5x}+0,5xe^{0,5x}$$.
Выберите один из вариантов