Дискретные случайные величины ИТ
Распределение дискретной случайной величины $$X$$ задано таблицей:
|
xi |
–0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,5 |
|
pi |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,1 |
0,3 |
Математическое ожидание $$CBX$$ равно:
Математическое ожидание дискретной $$CBX$$ находят по формуле:
$$M(X)=x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3+...+x_np_n$$.
Математическое ожидание $$CBX$$:
- $$M(X)=-0,1\cdot 0,2+0,1\cdot 0,1+0,2\cdot 0,3+0,3\cdot 0,1+0,5\cdot 0,3$$;
$$M(X)=-0,02+0,01+0,06+0,03+0,15=0,23$$.
Математическое ожидание $$CBX$$ – это среднее ожидаемое значение величины $$X$$ или центр ее распределения.
Введите ответ в поле
Распределение дискретной случайной величины $$X$$ задано таблицей:
|
xi |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
pi |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
Дисперсия $$CBX$$ равна:
- Дисперсия дискретной $$CBX$$:
$$D(X)=M(X^2)-M^2(X)$$. - Математическое ожидание $$CBX$$:
$$M(X)=x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3+...+x_np_n$$. - Математическое ожидание квадрата $$CBX$$:
$$M(X^2)=x_1^2p_1+x_2^2p_2+x_3^2p_3+...+x_n^2p_n$$.
- Найдем математическое ожидание $$CBX$$:
$$M(X)=-1\cdot 0,3+0\cdot 0,1+1\cdot 0,1+2\cdot 0,2+3\cdot 0,3$$;
$$M=-0,3+0+0,1+0,4+0,9=1,1$$. - Найдем математическое ожидание квадрата $$CBX$$:
$$M(X^2)=(-1)^2\cdot 0,3+0^2\cdot 0,1+1^2\cdot 0,1+2^2\cdot 0,2+3^2\cdot 0,3$$;
$$M (X^2)=0,3+0+0,1+0,8+2,7=3,9$$. - Найдем дисперсию $$CBX$$:
$$D(X)=3,9-1,1^2=2,69$$.
Дисперсия или рассеивание $$CBX$$ – это математическое ожидание квадрата отклонения величины $$X$$ от ее математического ожидания:
- $$D(X)=M(X-M(X))^2$$.
Введите ответ в поле
Распределение случайной величины $$X$$ задано таблицей:
|
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
pi |
0,2 |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
0,1 |
Вероятность того, что $$CBX$$ примет значение, не меньшее чем $$3,5$$, равна:
Вероятность того, что дискретная $$CBX$$ примет значение из заданного промежутка равна сумме вероятностей всех ее значений, принадлежащих данному промежутку.
- Промежутку $$[3,5;+\infty )$$ принадлежат два значения $$CBX$$: $$x=4$$ и $$x=5$$.
- Найдем сумму вероятностей значений $$x$$, принадлежащих заданному промежутку:
$$p=P(3,5\leq X< +\infty)$$, $$p=P(X=4)+P(X=5)$$, $$p=0,4+0,1=0,5$$.
Распределение дискретной $$СВХ$$ всегда можно представить в таблице.
Введите ответ в поле
Распределение дискретной случайной величины $$X$$ задано таблицей:
|
xi |
–3 |
–1 |
1 |
3 |
|
pi |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
Математическое ожидание квадрата $$CBX$$ равно:
Математическое ожидание квадрата $$CBX$$ находят по формуле:
- $$M(X^2)=x_1^2p_1+x_2^2p_2+x_3^2p_3+...+x_n^2p_n$$.
Найдем математическое ожидание квадрата $$CBX$$:
- $$M(X^2)=(-3)^2\cdot 0,2+(-1)^2\cdot 0,4+1^2\cdot 0,3+3^2\cdot 0,1$$;
$$M(X^2)=1,8+0,4+0,3+0,9=3,4$$.
Различайте
- Квадрат математического ожидания $$CBX$$:
$$M^2(X)=(x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3+...+x_np_n)^2$$. - Математическое ожидание квадрата $$CBX$$:
$$M(X^2)=x_1^2p_1+x_2^2p_2+x_3^2p_3+...+x_n^2p_n$$.
Введите ответ в поле
Распределение дискретной случайной величины $$X$$ задано таблицей:
|
xi |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
|
pi |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
Функция распределения $$CBX$$ имеет вид:
- Закон распределения $$CBX$$:
xi
x1
x2
x3
…
xn
pi
p1
p2
p3
…
pn
- Функция распределения дискретной случайной величины $$X$$: $$F(x)=0$$, если $$x\leq x_1$$;$$F(x)=p_1$$, если $$x_1\lt x\leq x_2$$;$$F(x)=p_1+p_2$$, если $$x_2\lt x\leq x_3$$;$$F(x)= p_1+p_2+p_3$$, если $$x_3\lt x\leq x_4$$;…$$F(x)=1$$, если $$x\gt x_n$$.
Составим функцию распределения случайной величины $$X$$:
- $$F(x)=0$$, если $$x\leq -2$$;
- $$F(x)=0,3$$, если $$-2\lt x\leq -1$$;
- $$F(x)=0,3+0,1=0,4$$, если $$-1\lt x\leq 0$$;
- $$F(x)=0,4+0,2=0,6$$, если $$0\lt x\leq 1$$;
- $$F(x)=0,6+0,4=1$$, если $$x\gt 1$$.
Функция распределения дискретной случайной величины $$X$$ задается формулой:
$$F(x)=\sum_{x_k\lt x}P(X=x_k)$$,
где $$x_k\lt x$$ означает, что суммируются вероятности тех значений, которые меньше $$x$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Известны законы распределения $$CBX$$ и $$CBY$$:
|
xi |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
|
pi |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
|
yi |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
pi |
0,4 |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
Значение выражения $$D(2X-3Y)$$ равно:
- Дисперсию дискретной $$CBX$$ находят по формуле:
$$D(X)=M(X^2)-M^2(X)$$. - Математическое ожидание $$CBX$$ находят по формуле:
$$M(X)=x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3+...+x_np_n$$. - Математическое ожидание квадрата $$CBX$$ находят по формуле:
$$M(X^2)=x_1^2p_1+x_2^2p_2+x_3^2p_3+...+x_n^2p_n$$. - Свойства дисперсии:
1) $$D(k\cdot X)=k^2\cdot D(X)$$;
2) $$D(X-Y)=D(X)+D(Y)$$.
- Найдем математическое ожидание $$CBX$$:
$$M(X)=-2\cdot 0,3+(-1)\cdot 0,1+0\cdot 0,2+1\cdot 0,4$$; $$M(X)=-0,6-0,1+0+0,4=-0,3$$.
Найдем математическое ожидание квадрата $$CBX$$:
$$M(X^2)=(-2)^2\cdot 0,3+(-1)^2\cdot 0,1+0^2\cdot 0,2+1^2\cdot 0,4$$; $$M(X^2)=1,2+0,1+0+0,4=1,7$$.
Найдем дисперсию $$CBX$$: $$D(X)=1,7-(-0,3)^2=1,61$$. - Найдем математическое ожидание $$CBY$$:
$$M(Y)=2\cdot 0,4+3\cdot 0,1+4\cdot 0,3+5\cdot 0,2$$; $$M(Y)=0,8+0,3+1,2+1=3,3$$.
Найдем математическое ожидание квадрата $$CBY$$:
$$M(Y)=2^2\cdot 0,4+3^2\cdot 0,1+4^2\cdot 0,3+5^2\cdot 0,2$$; $$M(Y)=1,6+0,9+4,8+5=12,3$$.
Найдем дисперсию $$CBY$$:
$$D(Y)=12,3-(3,3)^2=1,41$$. - По свойствам дисперсии:
$$D(2X-3Y)=D(2X)+D(3Y)=4 D(X)+9D(Y)$$.
Следовательно, $$D(2X-3Y)=4\cdot 1,61+9\cdot 1,41=19,13$$.
Свойства дисперсии:
- $$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$$;
- $$D(X-Y)=D(X)+D(Y)$$.
Введите ответ в поле
Распределение системы случайных величин $$X$$ и $$Y$$ представлено в таблице:
|
Y X |
1 |
2 |
3 |
pi |
|
0 |
0,1 |
0,1 |
0,4 |
0,6 |
|
1 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
0,4 |
|
pj |
0,3 |
0,2 |
0,5 |
1 |
Ковариация случайных величин равна:
- Математические ожидания дискретных случайных величин, входящих в систему, находят по формулам: $$M(X)=\sum ^m_{i=1}\sum ^n_{j=1}x_ip_{ij}$$,
$$M(Y)=\sum ^m_{i=1}\sum ^n_{j=1}y_jp_{ij}$$. - Ковариацию $$CBX$$ и $$CBY$$ находят по формуле:
$$cov(X,Y)=M(XY)-M(X)M(Y)$$.
- Найдем математическое ожидание $$CBX$$:
$$M(X)=0\cdot 0,6+1\cdot 0,4=0,4$$. - Найдем математическое ожидание $$CBY$$:
$$M(Y)=1\cdot 0,3+2\cdot 0,2+3\cdot 0,5=2,2$$. - Найдем $$M(X\cdot Y)$$, перемножая соответствующие значения $$X$$, $$Y$$, $$p$$ и складывая полученные произведения:
$$M(X\cdot Y)=0\cdot 1\cdot 0,1+0\cdot 2\cdot 0,1+0\cdot 3\cdot 0,4+1\cdot 1\cdot 0,2+1\cdot 2\cdot 0,1+1\cdot 3\cdot 0,1=0,7$$.
4. Найдем ковариацию:
$$cov(X,Y)=0,7-0,4\cdot 2,2= -0,18$$.
Ковариацией двух случайных величин $$X$$ и $$Y$$ называют математическое ожидание произведения их отклонений от своих математических ожиданий:
- $$cov(X;Y)=M\left((X-M(X)\right)\cdot \left(Y-M(Y))\right)$$.
Введите ответ в поле
Известны законы распределения $$CBX$$ и $$CBY$$:
|
xi |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
|
pi |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
0,25 |
0,15 |
|
yi |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
pi |
0,3 |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
Значение выражения $$M(2X+3Y)$$ равно:
- Математическое ожидание $$CBX$$ находят по формуле:
$$M(X)=x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3+...+x_np_n$$. - Математическое ожидание $$CBY$$ находят по формуле:
$$M(Y)=y_1p_1+y_2p_2+y_3p_3+...+y_mp_m$$. - Свойства математического ожидания:
1) $$M(k\cdot X)=k\cdot M(X)$$;
2) $$M(X+Y)=M(X)+M(Y)$$.
- Найдем математическое ожидание $$CBX$$:
$$M(X)=-2\cdot 0,3+(-1)\cdot 0,1+0\cdot 0,2+1\cdot 0,25+2\cdot 0,15$$;
$$M(X)=-0,6-0,1+0+0,25+0,3=-0,15$$. - Найдем математическое ожидание $$CBY$$:
$$M(Y)=2\cdot 0,3+3\cdot 0,1+4\cdot 0,3+5\cdot 0,2+6\cdot 0,1$$;
$$M(Y)=0,6+0,3+1,2+1+0,6=3,7$$. - По свойствам математического ожидания:
$$M(2X+3Y)=M(2X)+M(3Y)=2 M(X)+3M(Y)$$.
Следовательно, $$M(2X+3Y)=2\cdot (-0,15)+3\cdot 3,7=10,8$$.
Свойства математического ожидания:
- $$M(C)=0$$, где $$C$$ – константа;
- $$M(X-Y)=M(X)-M(Y)$$.
Введите ответ в поле
Распределение дискретной случайной величины $$X$$ задано таблицей:
|
xi |
–0,1 |
0,0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,5 |
|
pi |
0,11 |
0,19 |
0,2 |
0,1 |
3k |
k |
Значение $$k$$ равно:
Закон распределения случайной величины $$X$$ задан, если каждому значению $$x$$ поставлена в соответствие вероятность появления и сумма всех вероятностей равна числу $$1$$.
Так как сумма всех вероятностей равна числу $$1$$, то
- $$0,11+0,19+0,2+0,1+3k+k=1$$,
$$0,6+4k=1$$, $$4k=0,4$$, $$k=0,1$$.
Виды случайных величин:
- дискретная $$CBX$$– принимает конечное или счетное множество значений;
- непрерывная $$CBX$$– принимает все значения из заданного промежутка.
Введите ответ в поле
Распределение дискретной случайной величины $$X$$ задано таблицей:
|
xi |
–3 |
–1 |
1 |
3 |
|
pi |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
Квадрат математического ожидания $$CBX$$ равен:
Математическое ожидание $$CBX$$ находят по формуле:
- $$M(X)=x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3+...+x_np_n$$.
- Найдем математическое ожидание $$CBX$$:
$$M(X)=-3\cdot 0,2+(-1)\cdot 0,4+1\cdot 0,3+3\cdot 0,1$$;
$$M(X)=-0,6-0,4+0,3+0,3=-0,4$$. - Найдем квадрат математического ожидания $$CBX$$:
$$M^2(X)=(-0,4)^2=0,16$$.
Различайте
- Квадрат математического ожидания $$CBX$$:
$$M^2(X)=(x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3+...+x_np_n)^2$$. - Математическое ожидание квадрата $$CBX$$:
$$M(X^2)=x_1^2p_1+x_2^2p_2+x_3^2p_3+...+x_n^2p_n$$.
Введите ответ в поле