Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Студент
Теория вероятностей КТ 1
45.000

Теория вероятностей КТ 1

Случайна величина $$X$$ задана функцией плотности распределения вероятностей:
$$p(x)=\begin{cases} 0, x\le 0,5, \\ x^{-2}, 0,5\lt x\le 1, \\0, x\gt 1. \end{cases}$$
Среднеквадратическое отклонение $$CBX$$ равно:
  1. Найдем математическое ожидание:
    $$M(X)=\int_{0,5}^{1}\frac{dx}{x}$$, $$M(X)=\ln x|_{0,5}^{1}=\ln2$$. 
  2. Найдем дисперсию:
    $$D(X)=\int _{\alpha }^ {\beta}x^{x}p(x)dx-(M(X))^{2}$$,
    $$D(X)=\int_{0,5}^{1}dx-(\ln 2)^{2}$$,
    $$D(X)=x|^{1}_{0,5}-\ln^{2} 2=0,5-\ln^{2} 2$$. 
  3. Найдем среднеквадратическое отклонение:
    $$\sigma (X)=\sqrt{0,5-\ln^{2}2}$$.
Выберите один из вариантов
Количество четырехзначных чисел, составленных из чисел $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$, равно:

Найдем число размещений по четыре элемента из шести:
    $$A_{6}^{4}=\frac{6!}{(6-4)!}$$,
    $$A_{6}^{4}=\frac{2! \cdot 3\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{2!}=360$$.
Введите ответ в поле
Подбрасывают два игральных кубика и подсчитывают сумму очков, выпавших на верхних гранях. Вероятность того, что получим число больше числа $$3$$, равна:
Найдем вероятность того, что на верхних гранях в сумме получим число не больше числа $$3$$ (событие $$A$$).
  1. Варианты: $$1+1=2$$, $$1+2=3$$, $$2+1=3$$. 
  2. Так как $$n=6 \cdot 6=36$$, а $$m=3$$, то
    $$P(A)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$$. 
  3. Найдем вероятность противоположного события:
    $$P(\bar{A})=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$$.
Выберите один из вариантов
Два спортсмена производят по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятности их непопадания в мишень соответственно равны $$0,25$$ и $$0,4$$. Вероятность того, что мишень будет поражена (событие $$A$$), равна:
Так как события совместные и $$p_{1}=0,75$$, $$p_{2}=0,6$$, то
    $$P(A)=p_{1}+p_{2}-p_{1}\cdot p_{2}$$,
    $$P(A)=0,75+0,6-0,75 \cdot 0,6=0,9$$.
Введите ответ в поле
Известна функция плотности вероятностей $$CBX$$:
$$p(x)=\begin{cases} 0, x\leq -1, \\  2x+2, -1< x \leq 0, \\ 0, x> 0. \end{cases}$$
Вероятность того, что $$CBX$$ примет значение из промежутка $$[-0,5; 1]$$, равна:
Так как при $$-0,5\leq x \leq 0$$ функция плотности вероятностей имеет вид $$p(x)=2x+2$$, то:
    $$p=\int_{-0,5}^{0}(2x+2)dx$$,
    $$p=x^{2}+2x|_{-0,5}^{0}$$,
    $$p=-0,25+1=0,75$$.
Введите ответ в поле
На опытном участке проращивают три вида семян. Вероятность, что семена первого вида дадут всходы (событие $$A_{1}$$) составляет $$0,8$$, второго вида (событие $$A_{2}$$)  составляет $$0,6$$, а третьего вида (событие $$A_{3}$$) составляет $$0,45$$. Вероятность того, что только один вид семян даст всходы, равна:
  1. Согласно условию задачи:
    $$p_{1}=0,8$$; $$p_{2}=0,6$$; $$p_{3}=0,45$$. 
  2. Вероятности противоположных событий:
    $$q_{1}=0,2$$; $$q_{2}=0,4$$; $$q_{3}=0,55$$. 
  3. Найдем вероятность того, что только один вид семян даст всходы (событие $$D$$):
    $$P(D)=p_{1}q_{2}q_{3}+q_{1}p_{2}q_{3}+q_{1}q_{2}p_{3}$$,
    $$P(D)= 0,8\cdot 0,4 \cdot 0,55+ 0,2 \cdot 0,6 \cdot 0,55+ 0,2 \cdot 0,4 \cdot 0,45$$,
    $$P(D)=0,278$$.
Введите ответ в поле
В урне имеется $$5$$ зеленых, $$3$$ белых и $$4$$ черных шара.  Наудачу берут шар и не возвращают обратно. Вероятность того, что первым вынут  белый шар (событие $$A$$), вторым – белый (событие $$B$$) и третьим –  белый  шар (событие $$C$$), равна: 

  1. В урне всего $$12$$ шаров, следовательно,
    $$P(A)=\frac{3}{12}$$,
    $$P(B/A)=\frac{2}{12-1}=\frac{2}{11}$$,
    $$P(C/AB)=\frac{1}{11-1}=\frac{1}{10}$$. 
  2. Тогда, $$P(A\cdot B\cdot C)=\frac{3}{12}\cdot \frac{2}{11}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{220}$$.
Выберите один из вариантов
Стрелок производит $$4$$ выстрела по мишени. Вероятность непопадания в мишень в каждом случае равна $$0,4$$. Вероятность того, что он попадет в мишень $$3$$ раза равна:  
  1. Согласно условию задачи: $$n=4$$, $$p=0,6$$, $$q=0,4$$. 
  2. По формуле Бернулли получим:
    $$P_{4}(3)=C_{4}^{3}p^{3}q^{1}$$,
    $$P_{4}(3)=\frac{4!}{3! \cdot 1!}\cdot\left ( \frac{3}{5} \right )^{3}\cdot\left ( \frac{2}{5} \right )^{1}$$,
    $$P_{4}(3)=\frac{216}{625}$$.
Выберите один из вариантов
Распределение случайной величины $$X$$ задано таблицей:
Дисперсия $$CBX$$ равна:

  1. Найдем математическое ожидание $$CBX$$:
    $$M(X)=-1\cdot 0,3 +2\cdot 0,2+3 \cdot 0,1 +4\cdot 0,3+ 5\cdot 0,1$$,
    $$M(X)=-0,3+0,4+0,3 +1,2+0,5=2,1$$. 
  2. Найдем математическое ожидание квадрата $$CBX$$:
    $$M(X^{2})=1\cdot 0,3 +4\cdot 0,2+9 \cdot 0,1 +16\cdot 0,3+ 25\cdot 0,1$$,
    $$M(X)=0,3+0,8+0,9 +4,8+2,5=9,3$$. 
  3. Найдем дисперсию $$CBX$$:
    $$D(X)=9,3-2,1^{2}=4,89$$.
Введите ответ в поле
Однотипные детали обрабатываются на двух станках. Вероятность брака на первом станке равна $$0,03$$, а на втором – $$0,01$$. Производительность второго станка в два раза меньше, чем производительность первого. Взятая наудачу деталь оказалась бракованной. Вероятность того, что она была произведена на первом станке, равна: 

  1. Пусть $$A$$– событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь оказалась бракованной, $$H_{1}$$,$$H_{2}$$– события, состоящие в том, что эта деталь произведена первым и вторым станком соответственно. 
  2. Пусть $$x$$– производительность второго станка, $$2x$$– производительность первого станка. 
  3. Тогда: $$P(H_{1})=\frac{2x}{x+2x}=\frac{2}{3}$$; $$P(H_{2})=\frac{x}{x+2x}=\frac{1}{3}$$. 
  4. Согласно условию задачи: $$P(A/H_{1})=0,03$$; $$P(A/H_{2})=0,01$$. 
  5. По формуле полной вероятности:
    $$P(A)=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{100}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{100}=\frac{7}{300}$$. 
  6. По формуле Байеса:
    $$P(H_{1}/A)=\frac{P(H_{1})P(A/H_{1})}{P(A)}$$,
    $$P(H_{1}/A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{100} \cdot \frac{300}{7}=\frac{1}{7}$$.
Выберите один из вариантов
© Сиротина И.К., 2013—2026