Пределы КТТ /testy

Загрузка

Пределы КТТ

Левосторонний предел функции $$y=f(x)$$ в точке $$a$$:

Выберите один из вариантов

$$\lim_{x\to x_0} f(x)=a$$

$$\lim_{x\to {a+0}} f(x)=b$$

$$\lim_{x\to {-a+0}} f(x)=b$$

$$\lim_{x\to {a-0}} f(x)=b$$

$$\lim_{x\to b} f(x)=a$$

Свойства пределов:

Выберите несколько вариантов ответов

$$\lim_{x\to x_0} f^n (x)=n\lim_{x\to x_0}f(x)$$

$$\lim_{x\to \infty} \frac{k}{x} =0$$

$$\lim_{x\to \infty}x = \infty$$

$$\lim_{x\to a} c=a$$

$$\lim_{x\to \infty} c=c$$

Свойства пределов:

Выберите несколько вариантов ответов

$$\lim_{x\to x_0}((f(x)±g(x))=f(x)±g(x)$$

$$\lim_{x\to x_0}(kf(x))=k\lim_{x\to x_0} f(x)$$

$$\lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=f(x)g(x)$$

$$\lim_{x\to x_0} c=0$$

$$\frac{\lim_{x\to x_0}f(x)}{\lim_{x\to x_0}g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$$

Число $$c$$ называют пределом функции $$y=f(x)$$ в точке $$x=a$$ , если:

Выберите несколько вариантов ответов

$$\forall\varepsilon>0$$ $$\exists\delta>0$$ такое, что $$\forall x:0<\left | x-a \right |<\delta$$, выполняется $$\left | f(x)-c \right |<\varepsilon$$

$$\forall\varepsilon>0$$ $$\exists\delta>0$$ такое, что $$\forall x:0<\left | x-b \right |<\delta$$, выполняется $$\left | f(x)-a \right |<\varepsilon$$

если $$\left \{ x_n \right \}\rightarrow 0$$, то $$\left \{f(x_n) \right \}\rightarrow b$$

для любой последовательности $$\left \{ x_n\right \}$$ аргументов функции, сходящейся к $$a$$, соответствующая последовательность значений функции $$\left \{ f(x_n)\right \}$$ сходится к $$c$$

$$\forall\varepsilon>0$$ $$\exists\delta>0$$ такое, что $$\forall x:0<\left | x-a \right |<\delta$$, выполняется $$\left | f(x)-b \right |<\varepsilon$$

Сравнение бесконечно малых величин:

Выберите несколько вариантов ответов

бесконечно малую $$\alpha(x)$$ называют бесконечно малой высшего порядка по сравнению с бесконечно малой $$\beta(x)$$ при $$x\to x_0$$, если $$\lim_{x\to x_0} \frac {\alpha(x)}{\beta(x)}=1$$

бесконечно малые $$\alpha(x)$$ и $$\beta(x)$$ называют эквивалентными при $$x\to x_0$$, если $$\lim_{x\to x_0} \frac {\alpha(x)}{\beta(x)}=0$$

бесконечно малые $$\alpha(x)$$ и $$\beta(x)$$ называют эквивалентными при $$x\to x_0$$, если $$\lim_{x\to x_0} \frac {\alpha(x)}{\beta(x)}=1$$

бесконечно малые $$\alpha(x)$$ и $$\beta(x)$$ называют бесконечно малыми одного порядка при $$x\to x_0$$, если $$\lim_{x\to x_0} \frac {\alpha(x)}{\beta(x)}=c$$, где $$c\ne 0$$

Функцию $$y=f(x)$$ называют бесконечно большой в точке $$a$$ или в бесконечности, если:

Выберите несколько вариантов ответов

$$\lim_{x\to {a}}f(x)=\infty$$

$$\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty$$

$$\lim_{x\to {a}}f(x)=0$$

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$$

предел функции в точке $$a$$ не существует

Прямая $$x=b$$ является вертикальной асимптотой графика функции $$y=f(x)$$, если:

Выберите несколько вариантов ответов

$$\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$$

$$\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$$

$$ \lim_{x\to a+0}f(x)=\infty $$ и $$ \lim_{x\to a-0}f(x)=\infty $$

$$\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$$ и/или $$\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$$

$$\lim_{x\to b+0}f(x)=\infty$$ и/или $$\lim_{x\to b-0}f(x)=\infty$$

Точка $$a$$ является точкой разрыва второго рода функции $$y=f(x)$$, если:

Выберите несколько вариантов ответов

$$\lim_{x\to a+0}f(x)$$ и/или $$\lim_{x\to a-0}f(x)$$ не существуют

$$\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$$ и/или $$\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$$

пределы $$\lim_{x\to a+0}f(x)$$ и $$\lim_{x\to a-0}f(x)$$ существуют

$$\lim_{x\to a+0}f(x)\ne \lim_{x\to a-0}f(x)$$

$$\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$$ и $$\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$$

Свойства непрерывных функций:

Выберите несколько вариантов ответов

если функции $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ непрерывны в точке $$x_0$$, то непрерывны в этой точке их сумма, разность и произведение

если функция $$y=f(x)$$ непрерывна в каждой точке отрезка $$[a; b]$$, то то она непрерывна на этом отрезке (в точке $$a$$ непрерывна слева, в точке $$b$$ непрерывна справа)

непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке своего наименьшего $$m$$ и своего наибольшего $$M$$ значения

если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значения разных знаков, то на этом отрезке найдется хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль

если функции $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ непрерывны на заданном отрезке, то и сложная функция $$y=f(g(x))$$ непрерывна на этом отрезке

Свойства бесконечно малых функций:

Выберите несколько вариантов ответов

алгебраическая сумма бесконечно малых функций является бесконечно большой функцией

алгебраическая сумма бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией

произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию является бесконечно малой функцией

произведение бесконечно малых функций является бесконечно большой функцией

произведение бесконечно малой функции и постоянной величины является бесконечно малой функцией