Загрузка

Решение систем линейных уравнений ИТ

Сумма модулей всех значений переменных, которые образуют решение системы линейных уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} 2x_1-2x_2+3x_3+x_4=7, \\ x_1-3x_2+5x_3-2x_4=4 , \\ x_1+5x_2-x_3+2x_4=-2, \\ 5x_1+x_2+4x_3-5x_4=-7, \end{array}\right.$$ равна (метод Гаусса):
1. Чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, необходимо:
1) cоставить расширенную матрицу системы;
2) с помощью элементарных преобразований привести матрицу к трапециевидному виду;
3) на основе полученной матрицы составить и решить систему уравнений;
2. Элементарные преобразования матрицы:
1) умножение или деление всех элементов строки на отличное от нуля число;
2) перестановка строк;
3) сложение или вычитание всех соответственных элементов двух строк;
4) удаление строк, все элементы в которых нули.
Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециевидному виду:
$$\tilde{A}=\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 1 & -3 &5 &-2 &4 \\ 2 &-2 & 3 & 1 &7 \\ 5& 1 &4 &-5 &-7 \end{array}\right]$$ $$\sim$$ $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 0 & 8 &-6 &4 &-6 \\ 0 &-12 & 5 & -3 &11 \\ 0& -24 &9 &-15 &3 \end{array}\right]$$ $$\sim$$
$$\sim$$ $$ \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 0 & 8 &-6 &4 &-6 \\ 0 &-12 & 5 & -3 &11 \\ 0& -8 &3 &-5 &1 \end{array}\right]$$ $$\sim$$ $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 0 & 4 &-3 &2 &-3 \\ 0 &-12 & 5 & -3 &11 \\ 0& 0 &3 &1 &5 \end{array}\right]$$ $$\sim$$
$$\sim$$ $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 0 & 4 &-3 &2 &-3 \\ 0 &0 &-4 & 3 &2 \\ 0& 0 &3 &1 &5 \end{array}\right]$$ $$\sim$$ $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 0 & 4 &-3 &2 &-3 \\ 0 &0 &4 & -3 &-2 \\ 0& 0 &0 &1 &2 \end{array}\right]$$.
Запишем систему уравнений, соответствующую трапециевидной матрице: 
$$\left\{\begin{array}{lr} x_{1}+5x_{2}-x_{3}+2x_{4}=-2, \\ 4x_2-3x_3+2x_4=-3 , \\ 4x_3-3x_4=-2, \\ x_4=2. \end{array}\right.$$
Зная $$x_{4}=2$$, найдем значения всех других переменных:
$$x_{3}=1$$; $$x_{2}=-1$$; $$x_{1}=0$$.
Найдем сумму модулей всех значений переменных:
$$0+1+1+2=4$$.
Любую систему линейных уравнений можно решить методом Гаусса.
Выберите один из вариантов
Если $$(x_0, y_0)$$ – решение системы линейных уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} 4x+7y-1=0, \\ 5x-3y-13=0, \\ -8x-14y+2=0, \end{array}\right.$$ то значение выражения $$x_{0}^{-2}+y_{0}^{-1}$$ равно (метод Крамера):
Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащую $$n$$ уравнений и $$n$$ переменных, методом Крамера, необходимо:
1) найти определитель $$\left | A \right |$$ основной матрицы системы;
2) найти определители $$\left | A_{i} \right |$$ $$(i=\overline{1, n})$$, полученные в результате замены $$i$$-го столбца определителя столбцом свободных членов системы;
3) найти значения переменных уравнений системы по формулам: 
$$x_{i}=\frac{\left | A_{i} \right |}{\left | A \right |}$$.
Разделим третье уравнение системы на число $$-2$$: 
$$\left\{\begin{array}{lr} 4x+7y-1=0, \\ 5x-3y-13=0, \\ 4x+7y-1=0. \end{array}\right.$$
Запишем систему в виде:
$$\left\{\begin{array}{lr} 4x+7y=1, \\ 5x-3y=13. \\\end{array}\right.$$
Найдем определитель основной матрицы системы:
$$\triangle = \begin{vmatrix} 4 & 7\\ 5& -3 \end{vmatrix}=-12-35=-47\neq 0$$.
Решим систему методом Крамера.
Найдем определители:
$$\triangle_{1} = \begin{vmatrix} 1 & 7\\ 13& -3 \end{vmatrix}=-3-91=-94$$;
$$\triangle_{2} = \begin{vmatrix} 4 & 1\\ 5& 13 \end{vmatrix}=52-5=47$$.
Найдем значения переменных:
$$x_0=\frac{-94}{-47}=2$$;
$$y_0=\frac{47}{-47}=-1$$.
Найдем значение выражения: 
$$x_{0}^{-2}+y_{0}^{-1}=\frac{1}{4}-1=-0, 75$$.
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$
Выберите один из вариантов

Если $$(x_{1};x_{2};x_{3})$$ – решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} 2x_1+x_2-2x_3=9,\\ 3x_1-2x_2+x_3=2, \\ x_1+x_2-4x_3=11, \end{array}\right.$$ то значение $$x_{2}$$ равно (метод Крамера):


Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащую $$n$$ уравнений и $$n$$ переменных, методом Крамера, необходимо:
1) найти определитель $$\left | A \right |$$ основной матрицы системы;
2) найти определители $$\left | A_{i} \right |$$ $$(i=\overline{1, n})$$, полученные в результате замены $$i$$-го столбца определителя столбцом свободных членов системы;
3) найти значения переменных уравнений системы по формулам:
$$x_{i}=\frac{\left | A_{i} \right |}{\left | A \right |}$$.
1. Вычислим определители:
1) $$\left | A \right | =\begin{vmatrix} 2 & 1 & -2\\ 3&-2 & 1\\ 1&1 &-4 \end{vmatrix}$$, $$\left | A \right |=16+1-6-4+12-2=17$$;
2) $$\left | A_2 \right | =\begin{vmatrix} 2 & 9 & -2\\ 3&2 & 1\\ 1&11 &-4 \end{vmatrix}$$, $$\left | A \right |=-16+9-66+4+108-22=17$$.
2. Найдем значение переменной $$x_{2}$$:
$$x_{2}=\frac{17}{17}=1$$.
В этом задании значения других переменных находить не обязательно.
Выберите один из вариантов
Если $$(x_{0};y_{0};z_{0})$$ – решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} x-2y+3z+1=0,\\ 2x+y-z=2, \\ x+y-4z=-7, \end{array}\right.$$ то значение $$x_{0}$$ равно (метод Крамера):
Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащую $$n$$ уравнений и $$n$$ переменных, методом Крамера, необходимо:
1) найти определитель $$\left | A \right |$$ основной матрицы системы;
2) найти определители $$\left | A_{i} \right |$$ $$(i=\overline{1, n})$$, полученные в результате замены $$i$$-го столбца определителя столбцом свободных членов системы;
3) найти значения переменных уравнений системы по формулам: 
$$x_{i}=\frac{\left | A_{i} \right |}{\left | A \right |}$$.
1. Вычислим определители:
1) $$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 1 & -2 &3 \\ 2 & 1&-1 \\ 1& 1& -4 \end{vmatrix}$$, $$\left | A \right |=-4+2+6-3-16+1=-14$$;
2) $$\left | A_{1} \right |=\begin{vmatrix} -1 & -2 &3 \\ 2 & 1&-1 \\ -7& 1& -4 \end{vmatrix}$$, $$\left | A_{1} \right |=4-14+6+21-16-1=0$$.
2. Найдем значение переменной $$x$$: 
$$x=\frac{0}{-14}=0$$.
В этом задании значения других переменных находить не обязательно.
Выберите один из вариантов
Если $$(x_{0};y_{0};z_{0})$$ – решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} x+3y+3z=4,\\ 5x-3y=-4 ,\\ x+3z=-3, \end{array}\right.$$ то значение выражения $$x_{0}+y_{0}-z_{0}$$ равно (матричный метод):
1. Решение СЛАУ матричным методом:
$$X=A^{-1}\cdot B$$,
где $$X$$ – матрица переменных, $$A^{-1}$$ – матрица обратная к основной матрице системы, $$B$$ – матрица свободных членов.
2. Матрицу, обратную к матрице $$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} &a_{33}\end{bmatrix}$$, находят по формуле:
$$A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}\begin{bmatrix} A_{11} &A_{21} &A_{31} \\ A_{12} &A_{22} &A_{32} \\ A_{13} &A_{23} &A_{33} \end{bmatrix}$$,
где $$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$ – алгебраическое дополнение элемента $$a_{ij}$$ матрицы $$A$$,
$$\left | A \right |$$ – определитель матрицы $$A$$.
1. Найдем определитель основной матрицы системы:
$$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 3\\5 & -3 & 0\\0 & 1 &3\end{vmatrix}=-9+0+15-0-45-0=-39$$.
2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы $$A$$:
$$A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1\cdot\begin{vmatrix} -3& 0\\1 & 3\end{vmatrix}=-9$$; $$A_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot\begin{vmatrix} 5& 0\\0 & 3\end{vmatrix}=-15$$;
$$A_{13}=(-1)^{4}M_{13}=1\cdot\begin{vmatrix} 5& -3\\0 & 1\end{vmatrix}=5$$; $$A_{21}=(-1)^{3}M_{21}=-1\cdot\begin{vmatrix} 3& 3\\1 & 3\end{vmatrix}=-6$$;
$$A_{22}=(-1)^{4}M_{22}=1\cdot\begin{vmatrix} 1& 3\\0 & 3\end{vmatrix}=3$$; $$A_{23}=(-1)^{5}M_{23}=-1\cdot\begin{vmatrix} 1& 3\\0 & 1\end{vmatrix}=-1$$;
$$A_{31}=(-1)^{4}M_{31}=1\cdot\begin{vmatrix} 3& 3\\-3 & 0\end{vmatrix}=9$$; $$A_{32}=(-1)^{5}M_{32}=-1\cdot\begin{vmatrix} 1& 3\\5 & 0\end{vmatrix}=15$$;
$$A_{33}=(-1)^{6}M_{33}=1\cdot\begin{vmatrix} 1& 3\\5 & -3\end{vmatrix}=-18$$.
3. Найдем матрицу, обратную к матрице $$A$$:
$$A^{-1}=\frac{1}{39}\begin{bmatrix} 9& 6 & -9\\15 & -3 & -15\\-5 & 1&18\end{bmatrix}$$.
4. Запишем искомую матрицу:
$$X=\frac{1}{-39}\begin{bmatrix} -9& -6 & 9\\-15 & 3 & 15\\5 & -1&-18\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 4&\\ -4 &\\-3\end{bmatrix}$$; $$X=\frac{1}{39}\begin{bmatrix} -9& -6 & 9\\-15 & 3 & 15\\5 & -1&-18\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} -4&\\ 4 &\\3\end{bmatrix}$$.
5. Найдем значения переменных:
$$x=\frac{1}{39}(9\cdot4-6\cdot 4+9\cdot 3)=1$$;
$$y=\frac{1}{39}(15\cdot4+3\cdot 4+15\cdot 3)=3$$;
$$y=\frac{1}{39}(-5\cdot4-1\cdot 4-18\cdot 3)=-2$$.
6. Найдем значения выражения:
$$x_0+y_0-z_0=1+3+2=6$$.
Если определитель основной матрицы системы равен нулю, то такую систему нельзя решить матричным методом.
Выберите один из вариантов
Среднее арифметическое всех значений переменных, которые образуют решение системы линейных уравнений $$\begin{cases} 5x-3y=1, \\ 3x+2x=12,\end{cases}$$ равно:
Чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, необходимо:
1) составить расширенную матрицу системы;
2) с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу к трапециевидному виду;
3) на основе полученной матрицы составить и решить систему линейных уравнений.
Запишем расширенную матрицу системы:
$$\left[\begin{array}{rr|r} 5& -3 &1 \\ 3 & 2 &12\end{array}\right]$$.
Умножим все элементы первой строки матрицы на число $$–3$$, а элементы второй строки умножим на число $$5$$:
$$\left[\begin{array}{rr|r} -15& 9 &-3 \\ 15 & 10 &60\end{array}\right]$$.
Заменим втору строку матрицы суммой соответственных элементов этих строк:
$$\left[\begin{array}{rr|r} -15& 9 &-3 \\ 0 & 19 &57\end{array}\right]$$.
Разделим все элементы первой строки матрицы на число $$–3$$, а элементы второй строки разделим на число $$19$$:
$$\left[\begin{array}{rr|r} 5& -3 &1 \\ 0 & 1 &3\end{array}\right]$$.
Составим и решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lr} 5x-3y=1,\\ y=3; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{lr} x=2,\\ y=3. \end{array}\right.$$
Найдем среднее арифметическое значений переменных:
$$(2+3):{2}=2,5$$.
Элементарные преобразования матрицы:
1) умножение или деление всех элементов строки на отличное от нуля число;
2) перестановка строк;
3) сложение или вычитание соответственных элементов двух строк;
4) удаление строк, все элементы в которых нули.
Выберите один из вариантов
Если $$(x_{0};y_{0};z_{0})$$ – решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} 2x+y-3z=11,\\ x-3y+5z=-11, \\ x+y-4z=11, \end{array}\right.$$ то значение $$z_{0}$$ равно (метод Крамера):
Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащую $$n$$ уравнений и $$n$$ переменных, методом Крамера, необходимо:
1) найти определитель $$\left | A \right |$$ основной матрицы системы;
2) найти определители $$\left | A_{i} \right |$$ $$(i=\overline{1, n})$$, полученные в результате замены $$i$$-го столбца определителя столбцом свободных членов системы;
3) найти значения переменных уравнений системы по формулам: $$x_{i}=\frac{\left | A_{i} \right |}{\left | A \right |}$$.
Вычислим определители:
1) $$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 2 & 1 &-3 \\ 1 & -3&5 \\ 1& 1& -4 \end{vmatrix}$$, $$\left|A\right|=24+5-3+9+4-10=11$$; 
2) $$\left | A_3 \right | =\begin{vmatrix} 2 & 1 &11 \\ 1& -3 & -11\\ 1& 1 & 11 \end{vmatrix}$$, $$\left|A_3\right|=-66-11+11+33-11+22=-22$$.
Найдем значение переменной $$z_{0}$$: 
$$z_{0}=\frac{-22}{11}=-2$$.
В этом задании значения других переменных находить не обязательно.
Выберите один из вариантов
Сумма всех значений переменных, которые образуют решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} x_1+5x_2+x_3=0, \\ 2x_1-x_2+3x_3=1, \\ x_1+x_2-x_3=3, \end{array}\right. $$ равна (метод Крамера):
Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащую $$n$$ уравнений и $$n$$ переменных, методом Крамера, необходимо:
1) найти определитель $$\left | A \right |$$ основной матрицы системы;
2) найти определители $$\left | A_{i} \right |$$ $$(i=\overline{1, n})$$, полученные в результате замены $$i$$-го столбца определителя столбцом свободных членов системы;
3) найти значения переменных уравнений системы по формулам: 
$$x_{i}=\frac{\left | A_{i} \right |}{\left | A \right |}$$.
Вычислим определители:
1) $$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 1 & 5&1 \\ 2& -1 & 3\\ 1&1 & -1 \end{vmatrix}$$, $$\left|A\right|=1+15+2+1+10-3=26$$;
2) $$\left | A_{1} \right |=\begin{vmatrix} 0 & 5&1 \\ 1& -1 & 3\\ 3&1 & -1 \end{vmatrix}$$, $$\left | A_{1} \right |=0+45+1+3+0+5=54$$;
3) $$\left | A_{2} \right |=\begin{vmatrix} 1 & 0&1 \\ 2& 1 & 3\\ 1&3 & -1 \end{vmatrix}$$, $$\left|A_{2}\right|=-1+0+6-1-0-9=-5$$;
4) $$\left | A_{3} \right |=\begin{vmatrix} 1 & 5&0 \\ 2& -1 & 1\\ 1&1 & 3 \end{vmatrix}$$, $$\left | A_{3} \right |=-3+5+0-0-30-1=-29$$.
Найдем значения переменных:
$$x_{1}=\frac{54}{26}$$; $$x_{2}=-\frac{5}{26}$$; $$x_{3}=-\frac{29}{26}$$.
Найдем сумму всех значений переменных:
$$\frac{54}{26}-\frac{5}{26}-\frac{29}{26}=\frac{10}{13}$$.
1. Данная система имеет единственное решение, следовательно, она совместная определенная.
2. Если определитель основной матрицы системы равен нулю, то такую систему уравнений нельзя решить методом Крамера.
Выберите один из вариантов
Если $$(x_{0};y_{0};z_{0})$$ – решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} 2x+y-4z=1,\\ x+2y-z=1,\\ 3x-y+z=18, \end{array}\right.$$ то значение выражения $$x_{0} \cdot (y_{0} + z_{0})$$ равно:
Чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, необходимо:
1) составить расширенную матрицу системы;
2) с помощью элементарных преобразований привести ее к трапециевидному виду;
3) на основе полученной матрицы составить и решить систему линейных уравнений.
Запишем расширенную матрицу системы:
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &1 \\ 2 & 1 &-4&1 \\ 3 &-1 & 1&18\\ \end{array} \right]$$.
Преобразуем вторую строку матрицы. Умножим все элементы первой строки на число $$–2$$ и сложим их с соответственными элементами второй строки:
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &1 \\ 0 & 3 &2&1 \\ 3 &-1 & 1&18\\ \end{array} \right]$$.
Преобразуем третью строку матрицы. Умножим все элементы первой строки на число $$–3$$ и сложим их с соответственными элементами третьей строки:
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &1 \\ 0 & 3 &2&1 \\ 0 &-7 & 4&15\\ \end{array} \right]$$.
Умножим все элементы второй строки на число $$7$$, а элементы третьей строки на число $$3$$:
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &1 \\ 0 & 21 &14&7 \\ 0 &-21 & 12&45\\ \end{array} \right]$$.
К элементам третьей строки прибавим соответственные элементы второй строки:
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &1 \\ 0 & 21 &14&7 \\ 0 &0 & 26&52\\ \end{array} \right]$$.
Разделим все элементы второй строки на число $$7$$, а элементы третьей строки разделим на число $$26$$:
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &1 \\ 0 & 3 &2&1 \\ 0 &0 & 1&2\\ \end{array} \right]$$.
Составим и решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lr} x+2y-z=1,\\ 3y+2z=1 ,\\ z=2; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{lr} x+2y-z=1,\\ y=-1 ,\\ z=2.\end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{lr} x=5,\\ y=-1 ,\\ z=2.\end{array}\right.$$
Найдем значение выражения:
$$x_0\cdot(y_0+z_0)=5\cdot(-1+2)=5$$.
Элементарные преобразования матрицы:
$$1$$) умножение или деление всех элементов строки на отличное от нуля число;
$$2$$) перестановка строк;
$$3$$) сложение или вычитание соответственных элементов двух строк;
$$4$$) удаление строк, все элементы в которых нули.
Выберите один из вариантов
Система линейных уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} 2x_1-3x_2+x_3=1, \\ x_1+x_2-3x_3=4, \\ 5x_1-x_2+6x_3=-1 \end{array}\right. $$ имеет решение:
Решением системы является упорядоченная совокупность чисел, при подстановке которых в систему каждое из ее уравнений обращается в верное равенство.
Выполним проверку приведенных вариантов возможных решений системы, подставляя значения переменных в каждое из уравнений системы:
1. Если $$x_{1}=-1$$, $$x_{2}=0$$, $$x_{3}=-2$$, то $$\left\{\begin{array}{lr} -2-0-2\neq 1, \\ -1+0+6\neq 4, \\ -5+0-12\neq -1. \end{array}\right.$$
2. Если $$x_{1}=1$$, $$x_{2}=1$$, $$x_{3}=2$$, то $$\left\{\begin{array}{lr} 2-3+2=1, \\ 1+1-6\neq 4, \\ 5-1+12\neq -1. \end{array}\right.$$
3. Если $$x_{1}=1$$, $$x_{2}=0$$, $$x_{3}=-1$$, то $$\left\{\begin{array}{lr} 2-0-1=1, \\ 1+0+3=4, \\ 5-0-6=-1. \end{array}\right.$$
Решить систему уравнений - значит найти все ее решения или показать, что эта система решений не имеет.
Выберите один из вариантов