Загрузка

Дифференциальные уравнения второго порядка

Решение уравнения $$y''-8y'+16y=0$$ имеет вид:
Если $$k_1 = k_2 \in R$$, то общее решение уравнения $$y''+py'+qy=0$$ имеет вид:
 $$y=C_{1}e^{kx}+C_{2}xe^{kx}$$ где $$k$$ двукратный корень характеристического уравнения $$k^{2}+pk+q=0$$.
Составим характеристическое уравнение:
 $$k^2-8k+16=0$$, откуда $$k_1=k_2=4$$.
 Запишем общее решение данного уравнения: 
 $$y=C_1e^{4x}+C_2xe^{4e}$$.
Квадратное уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ в случае $$D=0$$ имеет двукратный действительный корень.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''-5y'+7y=0$$  имеет вид:
Если $$k_{1,2}=a\pm ib\in C$$ , то общее решение уравнения $$y''+py'+qy=0$$ имеет вид: 
 $$y=e^{ax}(C_{1}cosbx+C_{2}sinbx)$$,
 где $$k_{1}$$ и $$k_{2}$$ корни характеристического уравнения $$k^{2}+pk+q=0$$.
Составим характеристическое уравнение: 
 $$k^2-5k+7=0$$,
 откуда $$D=25-28=-3=3i^2$$,
$$ k_{1,2}=\frac{5\pm i\sqrt3}{2}, k_{1,2}=2,5\pm 0,5 \sqrt 3i$$.
Тогда: $$a=2,5; b=0,5 \sqrt3$$.
 Запишем общее решение данного уравнения:
 $$ y=e^{2,5x}(C_1cos0,5\sqrt3x+C_2sin0,5\sqrt3x) $$.

Квадратное уравнение $$ ax^{2}+bx+c=0$$ в случае $$ D< 0$$ действительных корней не имеет, но имеет комплексные корни. 
Число, квадрат которого равен $$–1$$, обозначают буквой $$i$$ и называют мнимой единицей:
 $$i^{2}=-1$$. 
 Числа вида $$a\pm bi$$, где  $$a$$  и  $$b$$ – любые действительные числа, а число $$i$$ – мнимая единица, называют комплексными числами.
 При этом число $$a$$ называют действительной частью комплексного числа, число $$b$$ – его мнимой частью.
 Выражение $$a\pm bi$$, называют алгебраической формой записи комплексного числа.
 Множество всех комплексных чисел обозначают $$C$$. Это множество содержит множество всех действительных чисел: $$R\subset C$$.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$y''+4y'-5y=14e^{2x}$$ имеет вид:
Чтобы найти общее решение уравнения $$y’’+py’+qy=f(x)$$ , необходимо: 
1) найти общее решение $$y_{0}$$ соответствующего ему однородного уравнения $$y’’+py’+qy=0$$;
 2) найти частное решение уравнения $$\widetilde{y}_{k}$$ с определенными коэффициентами;
 3) найти общее решение уравнения $$y=y_{0}+ \widetilde{y}_{k}$$
 Чтобы найти частное решение $$\widetilde{y}_{k}$$ с определенными коэффициентами, необходимо:
 1) найти выражения $$\widetilde{y}'$$ и $$ \widetilde{y}''$$ ; 
 2) подставить значения $$ \widetilde{y}$$, $$\widetilde{y}'$$ и $$\widetilde{y}''$$ в уравнение $$y’’+py’+qy=f(x)$$ и найти значения неопределенных коэффициентов; 
 3) записать решение $$\widetilde{y}_{k}$$ с определенными коэффициентами.
Если $$f(x)=ae^{mx}$$ и $$m\neq k_{1} \neq k_{2}$$, то $$\widetilde{y}=Ae^{mx}$$, где $$A$$ –неопределенный коэффициент.
1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y’’+4y’-5y=0$$. 
 Так как $$k^{2}+4k-5=0$$, то $$k_{1}=-5$$, $$k_{2}=1$$ и $$y_{0}=C_{1}e^{-5x}+C_{2}e^{x}$$. 
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения. 
 Так как $$f(x)=14e^{2x}$$ и $$k \neq 2$$, то $$\widetilde{y}=Ae^{2x}$$, откуда $$ \widetilde{y}’=2Ae^{2x}$$, $$\widetilde{y}’’=4Ae^{2x}$$.
 Подставляя эти выражения в уравнение $$y’’+4y’-5y=14e^{2x}$$, получим:
 $$4Ae^{2x}+8Ae^{2x}-5Ae^{2x}=14e^{2x}$$ , $$7Ae^{2x}=14e^{3x}$$, $$A=2$$.
 Запишем частное решение: $$\widetilde{y}_{k}=2e^{2x}$$. 
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
 $$y=y_{0}+\widetilde{y}_{k}$$ , $$y=C_{1}e^{-5x}+C_2e^{x}+2e^{2x}$$.
$$(e^{kx})'=ke^{kx}$$.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$y''-5y'+4y=3e^x$$ имеет вид:
Чтобы найти общее решение уравнения $$y’’+py’+qy=f(x)$$, необходимо:
 1) найти общее решение $$y_{0}$$ соответствующего ему однородного уравнения $$y’’+py'+qy=0$$;
 2) найти частное решение уравнения $$\widetilde{y}_{k}$$ с определенными коэффициентами; 
3) найти общее решение уравнения $$y=y_{0}+\widetilde{y}_{k}$$.
 Если $$f(x)=ae^{mx}$$ и $$m=k_{1}$$, то $$\widetilde{y}=Axe^{mx}$$, где $$A$$ –неопределенный коэффициент.
1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y’’-5y’+4y=0$$.
 Так как $$k^{2}-5k+4=0$$, то $$k_{1}=1$$, $$k_{2}=4$$ и $$y_{0}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{4x}$$. 
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения. 
 Так как $$f(x)=3e^{x}$$ и $$k=m=1$$, то:
 $$ \widetilde{y}=Axe^{x}$$; 
 $$ \widetilde{y}’=Ae^{x}+Axe^{x}$$;
 $$ \widetilde{y}’'=Ae^{x}+Ae^{x}+Axe^{x}$$, $$ \widetilde{y}’’=2Ae^{x}+Axe^{x}$$.
 Подставляя эти выражения в уравнение $$y’’-5y’+4y=3e^{x}$$, получим:
 $$2Ae{x}+Axe^{x}-5Ae^{x}-5Axe^{x}+4Axe^{3}=3e^{x}$$,
 $$2A+Ax-5A-5Ax+4Ax=3$$, $$-3A=3$$, $$A=-1$$.
 Запишем частное решение: $$\widetilde{y}_{k}=-e^{x}$$.
 3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
 $$y=y_{0}+ \widetilde{y}_{k}$$,
 $$y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{4x}-e^{x}$$.
$$(uv)’=u’v+uv’$$, 
 $$(e^{x})’=e^{x}$$, $$x’=1$$.
Выберите один из вариантов
Решение задачи Коши для уравнения $$y''+6y'=0$$  при $$y(0)=1$$,   $$y'(0)=6$$ имеет вид:
Если $$ k_{1}\neq k_{2} \in R$$, то общее решение уравнения  $$y’’+py’+qy=0$$ имеет вид:
 $$y=C_{1}e^{k_{1}x}=C_{2}e^{k_{2}x}$$, 
где $$k_{1}$$ и $$k_{2}$$ корни характеристического уравнения $$k^{2}+pk+q=0$$.
Составим характеристическое уравнение:
 $$k^2+6k=0$$, откуда $$k_1=0,  k_2=-6$$.
 Запишем общее решение данного уравнения:
 $$y=C_1e^0+C_2e^{-6x}$$ или $$y=C_1+C_2e^{-6x}$$.
 Найдем частное решение данного уравнения. 
 Подставляя значения $$x=0$$ и $$y=1$$ в общее решение уравнения, получим:
 $$1=C_1+C_2e^0$$ , $$C_1+C_2=1$$ .
 Найдем производную функции, которая является общим решением уравнения:
 $$y'=-6C_2e^{-6x}$$ . 
 Подставляя значения $$x=0$$ и $$y'=6$$ в это равенство, получим:
$$y'=-6C_2$$ , $$C_2=-1 . $$
 А так как $$C_1+C_2=1$$, то $$C_1=2$$
 Подставляя значения $$C_1=2$$ и $$C_2=-1$$ в общее решение уравнения, получим его частное решение:
 $$y=2-e^{-6x}$$ .
Решить задачу Коши – значит найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
 $$y(x_{1})=y_{1}$$ и $$y'(x_{2})=y_{2}$$  .
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$y''=12x-10$$ имеет вид:
1. Дифференциальным уравнением второго порядка называют уравнение вида:
$$f(x;y;y';y'')=0$$.
2. Уравнения вида $$y''=f(x)$$ можно решить, дважды его интегрируя.
Так как $$y''=\frac{dy'}{dx}$$ , то уравнение примет вид:
 $$\frac{dy'}{dx}=12x-10$$; 
$$dy'=(12x-10)dx$$.
 Проинтегрируем его: 
$$\int dy'= \int (12x-10)dx $$,
$$y'=6x^2-10x+C_1$$.
 Так как $$y'=\frac{dy}{dx}$$, то запишем полученное уравнение в виде:
$$dy=(6x^2-10x+С_{1})dx $$
 и проинтегрируем его:
 $$\int dy = \int (6x^2-10x+C_1)dx$$ ,
 $$y=2x^3-5x^2+C_1x+C_2$$.
$$\int kdx=k \int dx=kx+C_2$$,
 $$\int x^ndx=\frac{x^n+1}{n+1}+C$$.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$2xy''=y'$$ имеет вид:
Уравнение вида $$y''=f(x;y')$$ можно решить с помощью подстановки $$y'=t$$.
Пусть $$y'=t$$, тогда $$y''=\frac{dt}{dx}$$. 
Уравнение примет вид: $$\frac{2xdt}{dx}=t$$ или $$2xdt=tdx.$$
 Разделим переменные и проинтегрируем его:
$$\frac{2dt}{t}=\frac{dx}{x} $$,
$$\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}$$,
$$lnt=\frac{1}{2} lnt=\frac{1}{2}lnx+lnx+lnC_1$$,
$$lnt=lnx^{0,5}+lnC_1$$,
$$lntC_1x^{0,5}$$,
$$t=C_1x^{0,5}$$. 
Учитывая подстановку $$y'=t$$, получим:
 $$dy=C_1x^{0,5}dx$$,
$$ \int dy=C_1 \int x^{0,5}dx$$,
$$y=\frac{2C_1}{3}x^{1,5}+C_2$$.
$$Общее решение$$ уравнения $$f(x;y;y';y'')=0$$ имеет вид:
$$y=\phi(x;C_1;C_2)$$  или  $$Ф(x;y;C_1;C_2)=0$$.
Выберите один из вариантов
Решением уравнения $$y''+2y'-3y=5x^2+2x-3$$ является семейство интегральных кривых:
Если $$f(x)=P_{n}(x)$$ и $$q\neq 0$$, то $$\widetilde{y}=Q_{n}(x)$$, где $$Q_{n}(x)$$– многочлен с неопределенными коэффициентами.
1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y’’+2y’-3y=0$$.
 Так как $$k^{2}+2k-3=0$$, то $$k_{1}=1$$, $$k_{2}=-3$$ и $$y_{0}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-3x}$$.
 2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения. 
 Так как $$f(x)=P_{2}(x)=5x^{2}+2x-3$$ и $$q \neq 0$$, то
 $$ \widetilde{y}=Ax^{2}+Bx+C$$, а $$ \widetilde{y}’=2Ax+B$$, $$\widetilde{y}’’=2A$$.
 Подставляя эти выражения в уравнение $$y’’+2y’-3y=5x^{2}+2x-3$$, получим:
 $$2A+4Ax+2B-3Ax^{2}-3Bx-3C=5x^{2}+2x-3$$.
 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных, запишем:
 $$-3A=5$$ , $$4A-3B=2$$ и $$2A+2B-3C=-3$$, откуда $$A=-\frac{5}{3}$$ , $$B =-\frac{26}{9}$$ и $$C =-\frac{55}{27}$$.
 Получим частное решение: $$\widetilde{y}_{k}=-\frac{5}{3}x^{2}-\frac{26}{9}x-\frac{55}{27}$$ . 
 3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения: $$y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-3x}-\frac{5}{3}x^{2}-\frac{26}{9}x-\frac{55}{27}$$.
Если $$f(x)=P_{n}(x)$$ и $$q=0$$, $$p\neq 0$$ , то $$\widetilde{y}=xQ_{n}(x)$$, где $$Q_{n}(x)$$ – многочлен с неопределенными коэффициентами.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''-8y'+7y=0$$ имеет вид:
$$Однородное$$ линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: 
$$y''+py'+qy=0$$.
Чтобы решить это уравнение необходимо:
 1) составить и решить  характеристическое уравнение  $$k^2+pk+q=0$$; 
2) если $$k_1\ne k_2\in R$$, то общее решение уравнения записать в виде:
$$y=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_2x}$$.
Имеем однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение: 
$$k^2-8k+7=0$$, откуда $$k_1=1,k_2=7$$.
 Запишем общее решение данного уравнения: 
 $$y=C_1e^x+C_2e^{7x}$$.
Квадратное уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ в случае $$D>0$$ имеет два различных действительных корня .
Выберите один из вариантов
Решением уравнения $$y''+4y=cos2x$$ является семейство интегральных кривых:
1.  Если $$k_{1,2}=a \pm ib \in C $$, то общее решение уравнения $$y’’+py’+qy=0$$ имеет вид:
 $$y=e^{ax}(C_1cos bx+C_{2}sin bx)$$, 
 где $$k_{1}$$ и $$k_{2}$$ корни характеристического уравнения $$k^{2}+pk+q=0$$.
 2.  Если $$f(x)=a sin mx+b cos mx$$ и $$p=0$$, $$q=m^{2}$$, то
 $$\widetilde{y}=x(Asin mx + B cos mx)$$,
 где $$A$$ и $$B$$ – неопределенные коэффициенты.
1.  Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y’’+4y=0$$. 
 Так как $$k^{2}+4=0$$, то: 
 $$ k^{2}=-4$$, $$k_{1,2}= \pm \sqrt -4 = \pm \sqrt 4i^{2}= \pm 2i $$;
 $$a=0$$, $$b=2$$. 
 Тогда, $$ y_{0}=e^{0}(C_{1}cos 2x+C_{2}sin 2x)$$ или $$y_{0}=C_{1}cos 2x+C_{2}sin 2x$$.
 2.  Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
 Так как $$f(x)=cos2x+0sin2x$$ и $$q=4=m^{2}$$, то:
 1) $$\widetilde{y}=Ax cos 2x+Bx sin 2x$$
 2) $$\widetilde{y}’= Acos 2x-2Ax sin 2x + B sin 2x +Bx  cos2x $$, 
 $$\widetilde{y}’= (A+2Bx) cos 2x+(-2Ax+B)sin 2x$$;
 3) $$\widetilde{y}’’= (-4A-4Bx)sin 2x+(4B-4Ax)cos 2x$$
 Подставляя эти выражения в уравнение $$y’’+4y=cos 2x$$, получим: 
 $$(-4A)sin 2x+(4B)cos 2x = cos 2x $$,
 откуда $$-4A=0$$, а $$4B=1$$. 
 Тогда, $$A=0$$, а $$B=0,25$$. 
 Запишем частное решение: $$\widetilde{y}_{k} =0,25x sin 2x$$. 
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения: $$y=C_{1}cos 2x+C_{2}sin 2x+0,25x sin 2x$$.
$$(uv)’=u’v+uv’$$,
$$(cos kx)’=-ksin kx $$, 
$$(sin kx)’=k cos kx$$.
Выберите один из вариантов