Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Студент
Дифференциальные уравнения второго порядка ИТ 1
45.000

Дифференциальные уравнения второго порядка ИТ 1

Решение уравнения $$y''-5y'+7y=0$$  имеет вид:
Если $$k_{1,2}=a\pm ib\in C$$, то общее решение уравнения $$y''+py'+qy=0$$ имеет вид:
    $$y=e^{ax}(C_{1}\textrm{cos}bx+C_{2}\textrm{sin}bx)$$,
где $$k_{1}$$ и $$k_{2}$$ корни характеристического уравнения $$k^{2}+pk+q=0$$.
  1. Составим и решим характеристическое уравнение:
    $$k^2-5k+7=0$$, откуда $$D=25-28=-3=3i^2$$, $$ k_{1,2}=\frac{5\pm i\sqrt3}{2}$$, $$k_{1,2}=2,5\pm 0,5 \sqrt 3i$$.
    Тогда: $$a=2,5$$; $$b=0,5 \sqrt3$$. 
  2. Запишем общее решение данного дифференциального уравнения:
    $$ y=e^{2,5x}(C_1\textrm{cos} 0,5\sqrt3x+C_2\textrm{sin} 0,5\sqrt3 x) $$.
  1. Квадратное уравнение $$ ax^{2}+bx+c=0$$ в случае $$ D< 0$$ действительных корней не имеет, но имеет комплексные корни. 
  2. Число, квадрат которого равен $$–1$$, обозначают буквой $$i$$ и называют мнимой единицей:
    $$i^{2}=-1$$. 
  3. Числа вида $$a\pm bi$$, где $$a$$ и $$b$$ – любые действительные числа, а число $$i$$ – мнимая единица, называют комплексными числами.
    Число $$a$$ называют действительной частью комплексного числа, число $$b$$ – его мнимой частью.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''+4y=0$$, удовлетворяющее начальным условиям $$y(0)=-1$$ и $$y'(\pi)=2$$, имеет вид:
  1. Однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
    $$y''+py'+qy=0$$. 
  2. Чтобы решить это уравнение необходимо составить и решить характеристическое уравнение:
    $$k^2+pk+q=0$$. 
  3. Если $$k_{1,2}=a\pm ib\in \textrm{C}$$, то общее решение уравнения $$y''+py'+qy=0$$ имеет вид:
    $$y=e^{ax}(C_{1}\cos bx+C_{2}\sin bx)$$.
  1. Найдем общее решение данного уравнения.
    Составим характеристическое уравнение:
    $$k^2+4=0$$, $$k^2=-2$$, откуда $$k_{1,2}=\pm 2i$$. Тогда: $$a=0$$; $$b=2$$.
    Запишем общее решение данного уравнения:
    $$y=e^{0}(C_{1}\cos 2x+C_{2}\sin 2x)$$ или $$y=C_{1}\cos 2x+C_{2}\sin 2x$$. 
  2. Найдем частное решение данного уравнения.
    Подставляя значения $$x=0$$ и $$y=-1$$ в общее решение уравнения, получим:
    $$-1=C_{1}\cdot1+C_{2}\cdot 0$$, откуда $$C_{1}=-1$$.
    Найдем производную функции, которая является общим решением уравнения:
    $$y'=-2C_{1}\sin 2x+2C_{2}\cos 2x$$.
    Подставляя значения $$x=\pi$$ и $$y'=2$$ в это равенство, получим:
    $$2=-2C_{1}\cdot0+2C_{2}\cdot 1$$, откуда $$C_{2}=1$$.
    Подставляя значения $$C_{1}=-1$$ и $$C_{2}=1$$ в общее решение уравнения, получим его частное решение:
    $$y=-\cos 2x+\sin 2x$$.
  1. Число, квадрат которого равен $$–1$$, обозначают буквой $$i$$ и называют мнимой единицей:
    $$i^2=-1$$. 
  2. Числа вида $$a\pm bi$$, где $$a$$ и $$b$$ – любые действительные числа, а число $$i$$ – мнимая единица, называют комплексными числами.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$(x^2-1)y''=4xy'$$ имеет вид:
Имеем уравнение вида $$y''=f(x; y)$$, которое можно решить с помощью подстановки $$y'=t$$.
  1. Пусть $$y'=t$$, тогда $$y''=\frac{dt}{dx}$$.
    Уравнение примет вид:
    $$\frac{(x^2-1)dt}{dx}=4xdt$$ или $$(x^2-1)dt=4x tdx$$. 
  2. Разделим переменные и проинтегрируем его:
    $$\frac{dt}{t}=\frac{4xdx}{x^2-1}$$,
    $$\int \frac{dt}{t}=\int \frac{4xd(x^2-1)}{2x(x^2-1)}$$,
    $$\textrm{ln}{t}=2\textrm{ln}{(x^2-1)}+\textrm{ln}{C_1}$$, откуда $$t=C_1(x^2-1)^2$$. 
  3. Учитывая подстановку $$y'=t$$, получим:
    $$dy=C_1(x^2-1)^2dx$$,
    $$\int dy=C_1\int (x^4-2x^2+1)dx$$,
    $$y=C_1\left (\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+x\right )+C_2$$.
Свойства логарифмов:
    $$\textrm{ln}{x^n}=n\cdot \textrm{ln}{x}$$;
    $$\textrm{ln}x+\textrm{ln}C=\textrm{ln}Cx$$.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$y''=12x-10$$ имеет вид:
  1. Дифференциальным уравнением второго порядка называют уравнение вида:
    $$f(x;y;y';y'')=0$$. 
  2. Уравнения вида $$y''=f(x)$$ можно решить, дважды его интегрируя.
  1. Так как $$y''=\frac{dy'}{dx}$$, то уравнение примет вид:
    $$\frac{dy'}{dx}=12x-10$$; $$dy'=(12x-10)dx$$.
  2. Проинтегрируем его:
    $$\int dy'= \int (12x-10)dx $$; $$y'=6x^2-10x+C_1$$. 
  3. Так как $$y'=\frac{dy}{dx}$$, то запишем полученное уравнение в виде:
    $$dy=(6x^2-10x+С_{1})dx $$.
  4. Проинтегрируем последнее равенство:
    $$\int dy = \int (6x^2-10x+C_1)dx$$;
    $$y=2x^3-5x^2+C_1x+C_2$$.
Значения интегралов:
    $$\int kdx=k \int dx=kx+C$$;
    $$\int x^ndx=\frac{x^n+1}{n+1}+C$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''-8y'+16y=0$$ имеет вид:
Если $$k_1 = k_2 \in R$$, то общее решение уравнения $$y''+py'+qy=0$$ имеет вид:
    $$y=C_{1}e^{kx}+C_{2}xe^{kx}$$,
где $$k$$ двукратный корень характеристического уравнения $$k^{2}+pk+q=0$$.
  1. Составим характеристическое уравнение:
    $$k^2-8k+16=0$$, откуда $$k_1=k_2=4$$. 
  2. Запишем общее решение дифференциального уравнения:
    $$y=C_1e^{4x}+C_2xe^{4e}$$.
Квадратное уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ в случае $$D=0$$ имеет двукратный действительный корень.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$y''-12y'+10=0$$ имеет вид:
  1. Дифференциальным уравнением второго порядка называют уравнение вида:
    $$f(x;y;y';y'')=0$$. 
  2. Уравнение вида $$y''=f(x)$$ можно решить, дважды его интегрируя.
  1. Так как $$y''=\frac{dy'}{dx}$$, то уравнение примет вид:
    $$\frac{dy'}{dx}=12y'-10$$; $$dy'=(12y'-10)dx$$;
    $$\frac{dy'}{12y'-10}=dx$$. 
  2. Проинтегрируем его:
    $$\frac{1}{12}\int \frac{d(12y'-10)}{12y'-10}=\int dx$$;
    $$\textrm{ln} \left |12y'-10 \right |=12x+C_1$$;
    $$12y'=e^{12x+C_1}+10$$. 
  3. Так как $$y'=\frac{dy}{dx}$$, то запишем полученное уравнение в виде:
    $$12dy=(e^{12x+C_1}+10)dx$$.
  4. Проинтегрируем его:
    $$12\int dy =\frac{1}{12}\int e^{12x+C_1}d(12x+C_1)+10\int dx$$;
    $$12y=\frac{1}{12}e^{12x+C_1}+10x+C_2$$.
Данное уравнение можно решить с помощью подстановки $$y'=t$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''-8y'+7y=0$$ имеет вид:
  1. Однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: $$y''+py'+qy=0$$. 
  2. Чтобы решить это уравнение необходимо:
    1) составить и решить характеристическое уравнение $$k^2+pk+q=0$$;
    2) если $$k_1\ne k_2\in \textrm{R}$$, то общее решение уравнения записать в виде:
        $$y=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_2x}$$.
Имеем однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
  1. Составим характеристическое уравнение:
    $$k^2-8k+7=0$$, откуда $$k_1=1$$, $$k_2=7$$. 
  2. Запишем общее решение данного дифференциального уравнения:
    $$y=C_1e^x+C_2e^{7x}$$.
Квадратное уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ в случае $$D>0$$ имеет два различных действительных корня .
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$2xy''=y'$$ имеет вид:
Уравнение вида $$y''=f(x;y')$$ можно решить с помощью подстановки $$y'=t$$.
  1. Пусть $$y'=t$$, тогда $$y''=\frac{dt}{dx}$$.
     Уравнение примет вид:
    $$\frac{2xdt}{dx}=t$$ или $$2xdt=tdx$$.
  2. Разделим переменные и проинтегрируем его:
    $$\frac{2dt}{t}=\frac{dx}{x} $$,
    $$\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}$$,
    $$\ln t=\frac{1}{2} \ln x+\ln C_1$$,
    $$\ln t=\ln x^{0,5}+\ln C_1$$,
    $$\ln t=\ln C_1x^{0,5}$$, $$t=C_1x^{0,5}$$. 
  3. Учитывая подстановку $$y'=t$$, получим:
    $$dy=C_1x^{0,5}dx$$, $$ \int dy=C_1 \int x^{0,5}dx$$, $$y=\frac{2C_1}{3}x^{1,5}+C_2$$.
Общее решение уравнения $$f(x;y;y';y'')=0$$ имеет вид:
    $$y=\phi(x;C_1;C_2)$$ или $$Ф(x;y;C_1;C_2)=0$$.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$y''=\cos^2 2x$$ имеет вид:
  1. Уравнение вида $$y''=f(x)$$ можно решить, дважды его интегрируя. 
  2. Формула понижения степени:
    $$\cos^2x=\frac{1}{2}(1+\cos 2x)$$.
  1. Так как $$y''=\frac{dy'}{dx}$$, то уравнение примет вид:
    $$dy'=\cos^2 2xdx$$. 
  2. Проинтегрируем его:
    $$\int dy'=\int \cos^2 2x dx$$;
    $$y'=\frac{1}{2}\int (1+\cos 4x)dx$$;
    $$y'=\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}\int \cos 4x d(4x)$$;
    $$y'=\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}\sin 4x+C_1$$. 
  3. Так как $$y'=\frac{dy}{dx}$$, то запишем полученное уравнение в виде:
    $$dy= \left ( \frac{1}{2}x+\frac{1}{8}\sin 4x+C_1\right )dx$$. 
  4. Проинтегрируем его:
    $$y=\frac{x^2}{4}-\frac{\cos 4x}{32}+C_1x+C_2$$.
Уравнение вида $$y''=f(x)$$ можно решить с помощью подстановки $$y'=t$$.
Выберите один из вариантов
Решение задачи Коши для уравнения $$y''+6y'=0$$ при $$y(0)=1$$, $$y'(0)=6$$ имеет вид:
Если $$ k_{1}\neq k_{2} \in R$$, то общее решение уравнения $$y’’+py’+qy=0$$ имеет вид:
    $$y=C_{1}e^{k_{1}x}+C_{2}e^{k_{2}x}$$,
где $$k_{1}$$ и $$k_{2}$$ корни характеристического уравнения $$k^{2}+pk+q=0$$.
  1. Составим и решим характеристическое уравнение:
    $$k^2+6k=0$$, откуда $$k_1=0$$, $$k_2=-6$$. 
  2. Запишем общее решение данного дифференциального уравнения:
    $$y=C_1e^0+C_2e^{-6x}$$ или $$y=C_1+C_2e^{-6x}$$. 
  3. Найдем его частное решение.
    Подставляя значения $$x=0$$ и $$y=1$$ в общее решение уравнения, получим:
    $$1=C_1+C_2e^0$$, $$C_1+C_2=1$$. 
  4. Найдем производную функции, которая является общим решением уравнения:
    $$y'=-6C_2e^{-6x}$$. 
  5. Найдем произвольные постоянные.
    Подставляя значения $$x=0$$ и $$y'=6$$ в равенство $$y'=-6C_2e^{-6x}$$, получим:
    $$6=-6C_2$$, откуда $$C_2=-1$$. А так как $$C_1+C_2=1$$, то $$C_1=2$$. 
  6. Подставляя значения $$C_1=2$$ и $$C_2=-1$$ в общее решение уравнения, получим его частное решение:
    $$y=2-e^{-6x}$$.
Решить задачу Коши – значит найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
 $$y(x_{1})=y_{1}$$ и $$y'(x_{2})=y_{2}$$  .
Выберите один из вариантов
© Сиротина И.К., 2013—2026