Теория вероятностей КТ 3
Вероятность команды спортсменов одержать победу в каждом из трех матчей составляет $$90$$%. Вероятность того, что команда проиграет хотя бы один матч, равна:
- Согласно условию задачи: $$n=3$$; $$p=0,1$$; $$q=0,9$$.
- По формуле $$P(A)=1-q^{n}$$ получим:
$$P(A)=1-0,9^{3}=0,271$$.
Введите ответ в поле
Найдите математическое ожидание и дисперсию cлучайной величины $$X$$, если ее функция распределения имеет вид:
$$F(X) = \begin{cases}0, x \le 0;\\\sqrt x, 0< x \le 1;\\1, x>1.\\\end{cases}$$
- Найдем функцию плотности вероятностей:
$$p(x) = \begin{cases}0, x \le 0;\\\frac {1}{2}\sqrt {x}, 0< x \le 1;\\0, x>1.\\\end{cases}$$ - Найдем математическое ожидание $$CBX$$:
$$M(X)=\int_{0}^{1}\frac{xdx}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x^{\frac{1}{2}}$$,
$$M(X)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}|_{0}^{1}=\frac{1}{3}$$. - Найдем дисперсию $$CBX$$:
$$D(X)=\int_{0}^{1}\frac{x^2dx}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{9}$$,
$$D(X)=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{9}$$,
$$D(X)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}\cdot x^{\frac{5}{2}}|_{0}^{1}-\frac{1}{9}=\frac{4}{45}$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Завод отправил потребителю партию из $$500$$ изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна $$0,01$$. Вероятность того, что в пути будет повреждено более двух изделий (событие $$A$$) равна:
- Вероятность того, что в пути будет повреждено более двух изделий:
$$P(A)=1-P_{500}(0)-P_{500}(1)-P_{500}(2)$$. - Так как $$n=500$$, $$p=0,01$$, то $$a=np=500 \cdot 0,01=5$$.
- Применим формулу Пуассона:
$$P(A)=1- \frac{5^0e^{-5}}{0!}- \frac{5^0e^{-5}}{1!}- \frac{5^0e^{-5}}{2!}$$,
$$P(A)=1-0,0067- 0,0337-0,0842= 0,8754$$.
Введите ответ в поле
Известна функция распределения случайной величины $$X$$:
$$F(X) = \begin{cases}0, x \le 0;\\\sqrt x,0< x \le 1;\\1, x>1.\\\end{cases}$$
Вероятность того, что случайная величина $$X$$ примет значение из промежутка $$[1;3)$$, равна:
- Вероятность того, что $$CBX$$ примет значение из промежутка $$[\alpha;\beta)$$, найдем по формуле:
$$P(\alpha\le{X}<\beta)=F(\beta)-F(\alpha)$$. - Получим: $$P(1\le{X}<3)=F(3)-F(1)=1-1=0$$.
Введите ответ в поле
Из урны, в которой имеется $$2$$ синих, $$3$$ красных и $$5$$ белых шаров, наудачу берут $$3$$ шара. Вероятность того, что будут извлечены шары различных цветов, равна:
Применим урновую схему: $$P(A)=\frac{C_{2}^{1}\cdot C_{3}^{1}\cdot C_{5}^{1}}{C_{10}^{3}}$$. 
- Найдем сочетания:
$$C_{2}^{1}=\frac{2!}{1!(2-1)!}=2$$;
$$C_{3}^{1}=\frac{3!}{1!(3-1)!}=\frac{3!}{2!}=3$$;
$$C_{5}^{1}=\frac{5!}{1!(5-1)!}=\frac{5!}{4!}=5$$;
$$C_{10}^{3}=\frac{10!}{3!\cdot 7!}=\frac{7! \cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 7!}=120$$. - Найдем вероятность события $$A$$: $$P(A)=\frac{2\cdot 3\cdot 5}{120}=\frac{1}{4}$$.
Введите ответ в поле
Из урны, в которой имеется $$12$$ белых и $$5$$ красных шаров, наудачу берут шар и не возвращают обратно. Первый шар оказался белым (событие $$A$$). Вероятность того, что второй шар будет красный (событие $$B$$), равна:
В урне всего $$17$$ шаров, следовательно:
$$P(A)=\frac{12}{17}; P(B/A)=\frac{5}{17-1}=\frac{5}{16}$$.
Введите ответ в поле
В таблице представлен закон распределения случайной величины $$X$$. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. 
- Так как $$\sum_{i=1}^{5}p_{i}=1$$, то $$p_{5}=1-0,9=0,1$$.
- Математическое ожидание $$CBX$$:
$$M(X)=1\cdot 0,3+2\cdot 0,1+3\cdot 0,2+4\cdot 0,3+5\cdot 0,1=2,8$$. - Математическое ожидание квадрата $$CBX$$:
$$M(X^{2})=1\cdot 0,3+4\cdot 0,1+9\cdot 0,2+16\cdot 0,3+25\cdot 0,1=9,8$$. - Дисперсия $$D(X)=9,8-2,8^{2}=1,96$$.
- Среднеквадратическое отклонение $$CBX$$:
$$\sigma(X)=\sqrt{1,96}=1,4$$.
Выберите несколько вариантов ответов
В двух ящиках находятся одинаковые по размеру и весу шары. В первом ящике $$6$$ красных и $$4$$ синих шаров, а во втором ящике $$5$$ красных и $$7$$ синих. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Вероятность того, что извлеченный шар оказался красным, равна:
- Пусть $$A$$ – событие, состоящее в том, что извлеченный шар оказался красным, $$H_{1}$$ – событие, состоящие в том, что выбран ящик с составом «$$6$$ красных и $$4$$ синих шаров», $$H_{2}$$– событие, состоящие в том, что выбран ящик с составом «$$5$$ красных и $$7$$ синих шаров».
- Так как ящиков $$2$$, то $$P(H_{1})=\frac{1}{2}$$, $$P(H_{2})=\frac{1}{2}$$.
- Вероятность извлечь красный шар из ящиков равна:
$$P(A/H_{1})=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$; $$P(A/H_{2})=\frac{5}{12}$$. - По формуле полной вероятности получим:
$$P(A)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{12}=\frac{61}{120}$$.
Выберите один из вариантов
На карточках записаны буквы: $$О$$, $$А$$, $$М$$, $$К$$, $$С$$, $$А$$, $$И$$. Вероятность получить слово АКСИОМА (событие $$B$$), перекладывая карточки, равна:
- В слове АКСИОМА $$7$$ букв, но так как буква $$А$$ повторяется $$2$$ раза, то применим формулу перестановок с повторениями:
$$P_{7}(2)=\frac{7!}{2!}=\frac{2! \cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}{2!}=2520$$. - Найдем вероятность события $$B$$: $$P(B)=\frac{1}{2520}$$.
Выберите один из вариантов
Стрелок производит $$5$$ выстрелов по мишени. Если вероятность непопадания в мишень в каждом случае составляет $$30$$%, то вероятность того, что он попадет в мишень менее трех раз (событие $$A$$), с точностью до сотых равна:
- Согласно условию задачи: $$n=5$$; $$p=0,7$$; $$q=0,3$$.
- По формуле Бернулли найдем биномиальные вероятности:
$$P_{5}(0)=\frac{5!}{0!\cdot 5!}\cdot 0,7^0\cdot 0,3^5=0,3^5$$;
$$P_{5}(1)=\frac{5!}{1!\cdot 4!}\cdot 0,7^1\cdot 0,3^4=3,5\cdot 0,3^4$$;
$$P_{5}(2)=\frac{5!}{2!\cdot 3!}\cdot 0,7^2\cdot 0,3^3=4,9\cdot 0,3^3$$. - Найдем вероятность события $$A$$:
$$P(A)= P_{5}(0)+ P_{5}(1)+ P_{5}(2) \approx 0,16$$.
Введите ответ в поле