Ряды КТ 3
Радиус сходимости ряда $$ \sum_{n=0}^{\infty} \textrm{ln}^{n}n \cdot x^n$$ равен:
Так как $$|c_{n}|=\textrm{ln}^{n}n$$, а $$\sqrt[n]{|c_{n}|}=\textrm{ln}n$$, то радиус сходимости ряда равен:
$$R=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\textrm{ln}n}=0$$.
Введите ответ в поле
Радиус сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{(n-3)^n}$$ равен:
Применим формулу:
$$R=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{c_n}}$$.
Так как $$c_n=\frac{1}{(n-3)^n}$$, а $$\frac{1}{c_n}=(n-3)^n$$, то
$$R=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{(n-3)^n}=\lim_{n\rightarrow \infty}(n-3)=\infty$$.
Выберите один из вариантов
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{2^n}{(n+3)!}$$ расходится, то найдите его первый член, а если сходится, то найдите второй член:
Применим признак Даламбера:
- 1) $$a^n=\frac{2^n}{(n+3)!},a_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{(n+4)!}$$;
2) $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+1}}{(n+4)!}\cdot \frac{(n+3)!}{2^n}=\frac{2\cdot (n+3)!}{(n+3)!(n+4)}=\frac{2}{(n+4)}$$;
3) $$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=2\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n+4}=2\cdot 0=0$$.
- Так как $$0<1$$, то ряд сходится.
Тогда, $$a_2=\frac{4}{5!}=\frac{1}{30}$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{5^{n+1}}$$ сходится, то найдите его первый член, а если расходится, то найдите второй член:
Применим признак Даламбера:
- 1) $$a_n=\frac{n^2}{5^{n+1}}, a_{n+1}=\frac{(n+1)^2}{5^{n+2}}$$;
2) $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2}{5^{n+2}}\cdot \frac{5^{n+1}}{n^2}=\frac{1}{5}\left ( \frac{n+1}{n} \right )^2$$;
3) $$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{5}\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^2$$, $$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{5}(1+0)^2=\frac{1}{5}$$.
Тогда, $$a_1=\frac{1^2}{5^{1+1}}=0,04$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{4n^2-3}{5+2n^2-n} \right )^n$$ расходится, то найдите его первый член, а если сходится, то найдите второй член:
Применим радикальный признак Коши:
Тогда, $$a_1=\frac{1}{6}$$.
- $$\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{\left ( \frac{4n^2-3}{5+2n^2-n} \right )^n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{4n^2-3}{5+2n^2-n}=2$$.
Тогда, $$a_1=\frac{1}{6}$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Интервал сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(x-2)^n}{n\cdot 4^n}$$ имеет вид:
Так как имеем ряд вида $$\sum_{n=1}^{\infty }c_n(x-a)^n$$, то $$c_n=\frac{1}{n\cdot 4^n}$$, $$a=2$$.
- Найдем радиус сходимости ряда:
$$R=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{c_n}{c_{n+1}} \right |$$,
$$R=\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{(n+1)\cdot 4^{n+1}}{n\cdot 4^n} $$,
$$R=4\lim_{n\rightarrow \infty } \left ( 1+\frac{1}{n} \right )= 4(1+0)=4$$. - Найдем интервал сходимости ряда:
$$(a-R; a+R),(2-4;2+4),(-2;6)$$.
Выберите один из вариантов
Количество целых чисел, принадлежащих промежутку сходимости ряда $$ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n-1}\cdot n^{n}\cdot x^n$$, равно:
Так как $$|c_{n}|=n^n$$, а $$\sqrt[n]{|c_{n}|}=n$$,
то радиус сходимости ряда равен:
$$R=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0$$.
Следовательно, ряд сходится в единственной точке $$x=0$$.
Введите ответ в поле
Радиус сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty}
\frac{(x+5)^n}{n\cdot 3^n}$$ равен:
- Радиус сходимости ряда найдем по формуле:
$$R= \lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$$. - Так как $$c_n=\frac{1}{n\cdot 3^n}$$, а $$c_{n+1}=\frac{1}{(n+1)\cdot 3^{n+1}}$$, то
$$R= \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+1)\cdot 3^{n+1}}{n\cdot 3^n} $$,
$$R=3 \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=3\cdot(1+0)=3$$.
Выберите один из вариантов
Интервал сходимости ряда $$\sum_{n=0}^{\infty}
\frac{4^n(x-1)^n}{n+1}$$ имеет вид:
Так как имеем ряд вида $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n$$, то $$c_n= \frac{4^n}{n+1}$$, $$a=1$$.
- Найдем радиус сходимости ряда:
$$R=\lim_{n \rightarrow \infty}|\frac{c_n}{c_{n+1}}|$$,
$$R=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4^n \cdot (n+2)}{(n+1) \cdot 4^{n+1}}$$,
$$R= \frac{1}{4}\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n+2}{n+1}=\frac{1}{4} \cdot 1=\frac{1}{4}$$. - Найдем интервал сходимости ряда:
$$(a-R;a+R)$$; $$(1-0,25;1+0,25)$$; $$(0,75;1,25)$$.
Выберите один из вариантов
Наибольшее целое число, принадлежащее интервалу сходимости ряда $$ \sum_{n=0}^{\infty} 0,5^{n} \cdot x^n$$, равно:
- Найдем радиус сходимости ряда.
Так как $$ c_{n}=0,5^{n}$$, а $$\sqrt[n]{c_{n}}=0,5$$, то $$R=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{0,5}=2$$. - Найдем интервал сходимости ряда: $$(-2; 2)$$.
Введите ответ в поле