Загрузка

Высшая математика

Радиус сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n\cdot 3^n}$$ равен:
Радиус сходимости ряда найдем по формуле:  
$$R= \lim_{n \rightarrow \infty}|\frac{c_n}{c_{n+1}}|$$.
 Так как $$c_n=\frac{1}{n\cdot 3^n}$$, а $$c_{n+1}=\frac{1}{(n+1)\cdot 3^{n+1}}$$, то
 $$R= \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+1)\cdot 3^{n+1}}{n\cdot 3^n} $$,
$$R=3 \lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})=3\cdot(1+0)=3$$.
Выберите один из вариантов
Даны значения признака:
 $$1,2; 0,1; 1,5; 1,3; 1,2; 0,5; 1,2; 0,3; 0,2; 0,8; 1,2 ; 0,3 ; 1,2; 1,6; 0,4; 1,3.$$
 Постройте интервальный вариационный ряд.
 Найдите моду.

1. Построим интервальный вариационный ряд: 

$$x_{min}=0,1$$; $$x_{max}=1,6$$; $$R=1,6-0,1=1,5$$; $$k=5$$; $$h=1,5:5=0,3$$.

                             

2. Найдем моду:

 $$m_o=x_i+\frac{h(m_i-m_{i-1})}{(m_i-m_{i-1}) +(m_i-m_{i+1})}$$.

Модальный интервал:$$[1;1,3)$$.

Тогда: $$x_i=1$$; $$m_i=5$$, $$m_{i-1}=1$$; $$m_{i+1}=4$$; $$h=0,3$$.

Мода: $$m_0=1+\frac{0,3(5-1)}{(5-1)+(5-4)}=1,24$$.

Введите ответ в поле
Решение уравнения $$y''-2y'-3y=0$$ имеет вид:

Составим и решим характеристическое уравнение: 
 $$k^2-2k-3=0$$, откуда $$k_1=-1$$, $$k_2=3$$.
  Запишем общее решение: 
 $$y=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_2x}$$,
  $$y=C_1e^{-x}+C_2e^{3x}$$ .
Выберите один из вариантов
Даны значения признака: 
 $$10; 2; 8; 2; 6; 6; 2; 6; 6; 6; 6; 6; 8; 10; 10; 10; 6; 10; 10.$$ 
Постройте полигон частот. 
Найдите структурные средние выборки.

1. Построим дискретный вариационный ряд:

                                    

2. Построим полигон частот:

                         

4. Найдем структурные средние выборки.

Мода: $$m_o=6$$. 

Медиана: $$m_e=\frac{1}{2}(x_{10}+x_{11})=\frac{1}{2}(6+6)=6$$.

Выберите несколько вариантов ответов
Решение уравнения $$(1+y)dx=(1-x)dy$$ имеет вид:
Запишем уравнение в виде: 
 $$(1+y)dx=(1-x)dy .$$
 Разделим переменные: 
 $$-\frac{dx}{x-1}=\frac{dy}{y+1}$$ .
Проинтегрируем полученное равенство: 
 $$-\int{\frac{dx}{x-1}}=\int{\frac{dy}{y+1}}$$,
 $$-\int{\frac{d(x-1)}{x-1}}=\int{\frac{d(y+1)}{y+1}}$$, 
 $$ln|y+1|= -ln|x-1|+lnC$$,
 $$ln|y+1|= ln \frac{C}{|x-1|}$$,
 $$y+1= \frac{C}{x-1}$$, 
 $$y=\frac{C}{x-1}-1$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''-10y'+25y=0$$ имеет вид:
Составим и решим характеристическое уравнение:
 $$k^2-10k-25=0$$, откуда $$D=0$$, $$k_{1,2}=5$$.
  Запишем общее решение: 
 $$y=C_1e^{kx}+C_2xe^{kx}$$,
  $$y=C_1e^{5x}+C_2xe^{5x}$$.
Выберите один из вариантов
Даны значения признака:
 $$10; 2; 8; 2; 6; 6; 2; 6; 6; 6; 6; 6; 8; 10; 10; 10; 6; 10; 10.$$ 
Найдите точечные оценки параметров распределения.

1. Построим дискретный вариационный ряд:

                                 

2. Найдем числовые характеристики выборки:

$$\overline{X}=\frac{1}{20}(2 \cdot 4 +6 \cdot 8+8\cdot 2+10 \cdot 6)=6,6$$;

$$\overline{X^2}=\frac{1}{20}(4 \cdot 4+ 36\cdot 8 + 64 \cdot 2+100 \cdot 6)= 24,6$$;

$$\overline{D}=51,6-6,6^2=8,04$$.

3. Найдем точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения:

1) $$M(X) \approx  \overline{X}=6,6$$;

2 )$$\sigma \approx s = \sqrt{\frac{n\cdot\overline D}{n-1}}$$, $$\sigma \approx s = \sqrt{ \frac{20 \cdot 8,04}{19}} \approx2,91$$.

Выберите несколько вариантов ответов
Даны значения признака:  
$$4; 2; 8; 2; 6; 6; 2; 6; 5; 0; 6; 1; 8; 10; 3; 10; 6; 9; 7; 5.$$
Постройте интервальный вариационный ряд и найдите его числовые характеристики.
1. Построим интервальный вариационный ряд:
 $$x_{min}=0$$; $$x_{max}=10$$; $$R=10-0=10$$; $$k=5$$; $$h=10:5=2.$$ 
                                     
2. Найдем числовые характеристики выборки. 
 В качестве значений признака возьмем середины интервалов.
$$\overline{X}=\frac{1}{20}(1\cdot 2+3\cdot 4+5\cdot 3+7 \cdot 6+9\cdot 5)=5,8$$;
$$\overline{X^2}=\frac{1}{20}(1\cdot 2+9\cdot 4+25\cdot 3+49 \cdot 6 +81\cdot 5)=40,6$$;
$$\overline{D} =40,6-5,8^2=6,96$$;
  $$\overline{\sigma} =\sqrt{6,96}\approx 2,64$$.

Выберите несколько вариантов ответов
Даны значения признака:
 $$1,2; 0,1; 1,5; 1,3; 1,2; 0,5; 1,2; 0,3; 0,2; 0,8; 1,2; 0,3; 1,2 ; 1,6; 0,4 ; 1,3. $$
 Постройте интервальный вариационный ряд. 
Постройтее гистограмму частот.
Найдите медиану. 

1. Построим интервальный вариационный ряд: 

$$x_{min}=0,1$$; $$x_{max}=1,6$$; $$R=1,6-0,1=1,5$$; $$k=5$$; $$h=1,5:5=0,3$$.

                           

2. Найдем медиану:

 $$m_e=x_i+\frac{h}{m_i}(\frac{n}{2}-\Sigma_{j=1}^{i-1}m_j)$$. 

Медианный интервал:$$[1;1,3)$$, так как накопленная частота $$12>16:2$$.

Тогда: $$x_i=1$$;  $$m_i=5$$; $$h=0,3$$; $$\Sigma_{j=1}^{3}m_j=7$$

Медиана: $$m_e=1+\frac {0,3}{5}(\frac{16}{2}-7)=1,06$$.

3. Построим гистограмму частот:

                                        

Введите ответ в поле
Интервал сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n(x-1)^n}{n+1}$$ имеет вид:
Так как имеем ряд вида $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n$$, то $$c_n= \frac{4^n}{n+1}$$, $$a=1$$. 
1. Найдем радиус сходимости ряда: 
$$R=\lim_{n \rightarrow \infty}|\frac{c_n}{c_{n+1}}|$$ ,
$$R= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4'' \cdot (n+2)}{(n+1) \cdot 4^{n+1}}$$,
$$R= \frac{1}{4}\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n+2}{n+1}=\frac{1}{4} \cdot 1=\frac{1}{4}$$.
2. Найдем интервал сходимости ряда: 
$$(a-R;a+R)$$; $$(1-0,25;1+0,25)$$; $$(0,75;1,25)$$.
Выберите один из вариантов