Загрузка

Высшая математика

Матрица, обратная к матрице $$A=\begin{bmatrix} 1 &4 & -2  \\ 3& 5 & 1 \\ 0& 2 & 3 \end{bmatrix}$$ , имеет вид:
Найдем определитель матрицы $$А$$:

$$\left | A \right |=15-12-36-2=-35$$.

Так как $$\left | A \right |\neq 0$$ , то матрица $$A$$ имеет обратную матрицу.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы $$A$$:

$$A_{11}=(-1)^2\cdot\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}=13;$$

$$A_{12}=(-1)^3\cdot\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix}=-9 ;$$

$$A_{13}=(-1)^4\cdot\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}=6 ;$$

$$A_{21}=(-1)^3\cdot\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}=-16 ;$$

$$A_{22}=(-1)^4\cdot\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix}=3 ;$$

$$A_{23}=(-1)^5\cdot\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}=-2 ;$$

$$A_{31}=(-1)^4\cdot\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 5 & 1 \end{vmatrix}=14 ;$$

$$A_{32}=(-1)^5\cdot\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=-7 ; $$

$$A_{33}=(-1)^6\cdot\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 5 \end{vmatrix}=-7 . $$

Найдем матрицу, обратную данной:

$$A= -\frac{1}{35}\cdot\begin{bmatrix} 13 &-16 & 14 \\ -9& 3 & -7 \\ 6& -2 & -7 \end{bmatrix}$$ .

Выберите один из вариантов
Произведение корней уравнения $$\begin{vmatrix} 2 &1 & 2  \\ 0& x & 4 \\ 3& 5 & x \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 &1 & -1  \\ 4& 9 & 0 \\ -6& -3 & 3 \end{vmatrix}$$ равно:
Найдем определители:

$$1) \begin{vmatrix} 2 &1 & 2  \\ 0& x & 4 \\ 3& 5 & x \end{vmatrix}=2x^2+12-6x-40$$ ;

$$2) \begin{vmatrix} 2 &1 & -1  \\ 4& 9 & 0 \\ -6& -3 & 3 \end{vmatrix}=0$$ ,

так как соответственные элементы первой и третьей строки пропорциональны.

Решим уравнение:

$$2x^2-6x-28=0$$,

$$x^2-3x-14=0$$,

откуда $$x_1x_2=-14$$ .

Введите ответ в поле
Уравнение плоскости, проходящей через точки $$A(2;0;-1) $$ и $$B(0;3;-1)$$ параллельно прямой $$\frac{x+2}{3}=\frac{y+10}{-2}=\frac{z-3}{2}$$ , имеет вид:
Уравнение плоскости:

$$\begin{vmatrix} x-x_1 &y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 &y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ m& n & p \end{vmatrix}$$ ,

$$\begin{vmatrix} x-2 &y-0 & z+1 \\ 0-2 &3-0 & -1+1 \\ 3& -2 & 2 \end{vmatrix}=0$$ ,

$$\begin{vmatrix} x-2 &y & z+1 \\ -2 &3 & 0 \\ 3& -2 & 2 \end{vmatrix}=0$$,

$$6(x-2)+4y-5(z+1)=0$$ ,

$$6x+4y-5z-17=0$$.


Выберите один из вариантов
Площадь треугольника с вершинами в точках $$A(-1;1;-2)$$ , $$B(3;1;3)$$ и $$C(-7;3;-5)$$ равна:
1. Найдем векторы, на которых построен треугольник:

$$\overline{AB}=\overline{a}(4;0;5)$$ , $$\overline{AC}=\overline{b}(-6;2;-3)$$ .

2. Найдем векторное произведение этих векторов:

$$\overline{a}\times \overline{b}=\begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j}&\overline{k} \\ 4& 0 & 5 \\ -6& 2 & -3 \end{vmatrix}$$,

$$\overline{a}\times \overline{b}=-10\overline{i}-18\overline{j}+8\overline{k}$$.

3. Найдем площадь треугольника:

$$S=0,5\left |\overline{a}\times \overline{b} \right | $$,

$$S=\sqrt{10^2+18^2+8^2}=\sqrt{122}.$$

Выберите один из вариантов
Произведение матриц $$A=\begin{bmatrix} 0 & -1\\1 & 2\end{bmatrix}$$ и $$B=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3\\ 5 &0 & 2\end{bmatrix}$$ равно:
Матрица $$A$$ (содержит два столбца) согласованна с матрицей $$B$$ (содержит две строки), значит, существует произведение $$AB$$:

$$AB=\begin{bmatrix} 0 & -1\\1 & 2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3\\ 5 &0 & 2\end{bmatrix}$$,

$$AB=\begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13}\\ x_{21} &x_{22}& x_{23}\end{bmatrix}.$$

Так как

$$ x_{11}=0\cdot 1-1\cdot5=-5$$,

$$ x_{12}=0\cdot 1-1\cdot0=0$$,

$$ x_{13}=0\cdot 3-1\cdot2=-2$$,

$$x _{21}=1\cdot 1+2\cdot5=11$$,

$$ x_{22}=1\cdot 1+2\cdot0=1$$,

$$ x_{23}=1\cdot 3+2\cdot2=7$$,

то $$AB=\begin{bmatrix} -5 & 0 & -2\\ 11 &1&7\end{bmatrix}$$.

Выберите один из вариантов
Уравнение медианы $$BM$$ треугольника $$ABC$$ с вершинами в точках $$A(-2;-1)$$, $$B(3;2)$$ и $$C(4;-3)$$ имеет вид:
Найдем координаты середины отрезка $$AC$$:

$$M \left ( \frac{-2+4}{2} ;\frac{-1-3}{2} \right )$$ , $$M(1;-2) $$.

Найдем уравнение прямой $$BM$$:

$$ \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1},$$

$$ \frac{x-3}{1-3}=\frac{y-2}{-2-2},$$ 

$$y=2x-4$$ .

Выберите один из вариантов
Сумма чисел, которые образуют решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} 2x-3y+z=-4,\\ x+y-2z=3 ,\\ 3x-y-z=1, \end{array}\right.$$ равна (метод Крамера):
Найдем определители:

$$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 2 &-3 & 1 \\ 1& 1 & -2 \\ 3& -1 & -1 \end{vmatrix}=-2+18-1-3-3-4=5$$ ;

$$\left | A_1 \right |=\begin{vmatrix} -4 &-3 & 1 \\ 3& 1 & -2 \\ 1& -1 & -1 \end{vmatrix}=5$$ ,

$$\left | A_2 \right |=\begin{vmatrix} 2 &-4 & 1 \\ 1& 3 & -2 \\ 3& 1 & -1 \end{vmatrix}=10$$ ;

$$\left | A-3 \right |=\begin{vmatrix} 2 &-3 & -4 \\ 1& 1 & 3 \\ 3& -1 & 1 \end{vmatrix}=0$$ .

Найдем значения переменных:

$$x=\frac{5}{5}=1;y=\frac{10}{5}=2 ;x=\frac{0}{5}=0 .$$

Введите ответ в поле
Объем пирамиды с вершинами в точках $$А(0; 1; 1)$$, $$В(1; –1; 2)$$, $$С(3; 1; 0)$$ и $$D(2; –3; 1)$$ равен:
1. Найдем векторы, на которых построена пирамида:

$$\overline{AB}=\overline{a}(1;-2;1) $$,

$$\overline{AC }=\overline{b}(3;0;-1)$$ ,

$$\overline{AD}=\overline{c}(2;-4;0)$$.

2. Найдем смешанное произведение этих векторов:

$$(\overline{c},\overline{a}\times \overline{b})=\begin{vmatrix} 2 &-4 & 0 \\ 1& -2 & 1 \\ 3& 0 & -1 \end{vmatrix}=-12$$ .

3. Найдем объем пирамиды:

$$V=\frac{|-12|}{6}=2$$.

Введите ответ в поле
Произведение чисел, которые образуют решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} x+2y+3z=5,\\ 2x-y+z=5 ,\\ 5x+y+3z=10, \end{array}\right.$$ равно (метод Гаусса):
Запишем расширенную матрицу системы:

$$\left ( \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &3 &5 \\ 2 & -1 &1&5 \\ 5 &1 & 3&10\\ \end{array} \right )$$.

С помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециевидному виду:

$$\left ( \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &3 &5 \\0 & 5 &5&5 \\ 0 &9 & 12&15 \end{array} \right )$$ , $$\left (\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &3 &5 \\ 0 & 1 &1&|1 \\ 0 &3 & 4&5 \end{array} \right )$$ , $$\left ( \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &3 &5 \\ 0 & 1 &1&1 \\ 0 &0 & 1&2\end{array} \right )$$ .

Решим систему уравнений:

$$\left\{\begin{array}{lr} x+2y+3z=5,\\ y+z=1 ,\\ z=2; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{lr} x=1,\\ y=-1 ,\\ z=2, \end{array}\right.$$

Введите ответ в поле
Асимптоты функции $$f(x)=\frac{6x}{x^2+1}$$ имеют вид:
1. Область определения функции: $$x\in R$$ .

2. Вертикальных асимптот нет.

3. Уравнение наклонной асимптоты: $$y=kx+b$$ .

Найдем $$k$$ и $$b$$:

$$k=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{6x}{(x^2+1)x}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{6}{x^2+1}=0$$ ;

$$b=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{6}{x^2+1}=0$$ .

Горизонтальная асимптота: $$y=0$$ .

Выберите один из вариантов