Загрузка

Высшая математика

Площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=\frac{3}{x}$$ и $$y=-x+4$$ , равна:
1. Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций $$y=\frac{3}{x}$$ и $$y=-x+4$$, решая уравнение:
 $$\frac{3}{x}=4-x$$, откуда $$x^2-4x+3=0$$, $$x_1=1$$, $$x_2=3$$ (рис. 1).
2. Запишем пределы интегрирования:
$$a=1$$, $$b=3$$. 
3. Составим подынтегральную функцию: 
$$f(x)=4-x-\frac{3}{x}$$. 
4. Вычислим интеграл: 
$$I=\int_1^3({4-x-\frac{3}{x}})dx$$, 
$$I=4x- \frac{x^2}{2}-3lnx|_1^3$$, 
$$I=12-4,5-3ln3-4+0,5=4-3ln3$$. 
5. Найдем площадь фигуры: 
$$S=|4-3ln3|=4-3ln3$$.
                                             

Выберите один из вариантов
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{5^{n+1}}$$ сходится, то найдите его первый член, а если расходится, то найдите второй член:

Применим признак Даламбера: 
$$1) a_n=\frac{n^2}{5^{n+1}}, a_{n+1}=\frac{(n+1)^2}{5^{n+2}};$$ 
$$2) \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2}{5^{n+2}}\cdot \frac{5^{n+1}}{n^2}=\frac{1}{5}\left ( \frac{n+1}{n} \right )^2$$; 
$$3) \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{5}\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^2$$ ,$$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{5}(1+0)^2=\frac{1}{5}$$. 
Так как $$\frac{1}{5}< 1$$ , то ряд сходится. 
Тогда, $$a_1=\frac{1^2}{5^{1+1}}=0,04 .$$
Выберите несколько вариантов ответов
Значение функции $$z=xy-2x^{2}-4y^{2}-27x+y$$ в точке минимума равно:

1. Найдем частные производные первого порядка: 
$${z}'_{x}=y-4x-27$$; 
$${z}'_{y}=x-8y+1$$. 
2. Найдем критические точки функции: 
$$\left\{\begin{matrix} -4x+y=27,\\ x-8y=1; \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} -4x+y=27,\\ 4x-32y=4; \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} -31y=31,\\ x-8y=1; \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} y=-1,\\ x=-7; \end{matrix}\right.$$ 
Получим: $$M_{0}(-7;-1)$$. 
3. Найдем частные производные второго порядка:
$${z}''_{xx}=(y-4x-27)'_{x}=-4$$; 
$${z}''_{xy}=(y-4x-27)'_{y}=1$$; 
$${z}''_{yy}=(x-8y+1)'_{x}=-8$$. 
4. Найдем значения вторых производных в критической точке: 
$${z}''_{xx}(-7;-1)=-4=A$$, 
$${z}''_{xy}(-7;-1)=1=B$$,
 $${z}''_{yy}(-7;-1)=-8=C$$. 
5. Найдем определитель: 
$$\begin{vmatrix} -4 & 1 \\ 1  & -8 \end{vmatrix}=32-1=31$$. 
6. Так как $$\Delta>0$$ и $$A<0$$, то $$M_{0}(-7;-1)$$ – точка максимума. 
Найдем значение функции в этой точке: 
 $$f(-7;-1)=-285$$.
Выберите один из вариантов
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{4n^2-3}{5+2n^2-n} \right )^n$$ расходится, то найдите его первый член, а если сходится, то найдите второй член:
Применим радикальный признак Коши: 
$$\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{\left ( \frac{4n^2-3}{5+2n^2-n} \right )^n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{4n^2-3}{5+2n^2-n}=2.$$ 
Так как $$2>1$$ , то ряд расходится. 
Тогда, $$a_1=\frac{1}{6}.$$
Выберите несколько вариантов ответов
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{2^n}{(n+3)!}$$ расходится, то найдите его первый член, а если сходится, то найдите второй член:
Применим признак Даламбера: 
$$1) a^n=\frac{2^n}{(n+3)!},a_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{(n+4)!};$$ 
$$2) \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+1}}{(n+4)!}\cdot \frac{(n+3)!}{2^n}=\frac{2\cdot (n+3)!}{(n+3)!(n+4)}=\frac{2}{(n+4)};$$ 
$$3)\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=2\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n+4}=2\cdot 0=0.$$ 
Так как $$0<1$$ , то ряд сходится. 
Тогда, $$a_2=\frac{4}{5!}=\frac{1}{30}.$$
Выберите несколько вариантов ответов
Значение интеграла $$\int 5x\sqrt{1+5x}dx$$ равно:
Применим метод подстановки. 
Пусть $$\sqrt{1+5x}=t$$ . 
Тогда: $$1+5x=t^2$$; $$x=\frac{t^2-1}{5}$$; $$dx=\frac{2t}{5}dt$$.
Найдем интеграл:
$$I=\int \frac{(t^2-1)t2tdt}{5}$$,
$$I=\frac{2}{5}\int (t^4-t^2)dt$$, 
$$I=\frac{2}{5}({\frac{t^5}{5}-\frac{t^3}{3}})+C$$, 
$$I=\frac{2t^5}{25}-\frac{2t^3}{15}+C$$, 
$$I=\frac{2(\sqrt{1+5x})^5}{25}-\frac{2(\sqrt{1+5x})^3}{15}+C$$.
Выберите один из вариантов
Интервал сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(x-2)^n}{n\cdot 4^n}$$ имеет вид:
Так как имеем ряд вида $$\sum_{n=1}^{\infty }c_n(x-a)^n$$ , то $$c_n=\frac{1}{n\cdot 4^n}$$ , $$a=2$$ . 
1. Найдем радиус сходимости ряда: 
$$R=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{c_n}{c_{n+1}} \right |$$, 
$$R=\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{(n+1)\cdot 4^{n+1}}{n\cdot 4^n} $$, $$R=4\lim_{n\rightarrow \infty } \left ( 1+\frac{1}{n} \right )= 4(1+0)$$ . 
2. Найдем интервал сходимости ряда:
$$(a-R; a+R),(2-4;2+4),(-2;6).$$
Выберите один из вариантов
Значение интеграла: $$\int \frac{6xdx}{\sqrt{6x^2-4}}$$ равно:
Применим метод изменения формы дифференциала: 
$$I=\int \frac{6xd(6x^2-4)}{\sqrt{6x^2-4} \cdot 12x}$$, 
$$I=\frac{1}{2} \int \frac{d(6x^2-4)}{\sqrt{6x^2-4}}$$, 
$$I=\sqrt{6x^2-4}+C$$.
Выберите один из вариантов
Радиус сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{(n-3)^n}$$ равен:
Применим формулу: 
$$R=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{c_n}}.$$ 
Так как $$c_n=\frac{1}{(n-3)^n}$$, а $$\frac{1}{c_n}=(n-3)^n,$$ то 
$$R=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{(n-3)^n}=\lim_{n\rightarrow \infty}(n-3)=\infty$$.
Выберите один из вариантов
Значение интеграла: $$\int (2x-1)sin xdx$$ равно:
Применим формулу интегрирования по частям. 
Полагая $$u=2x-1$$, $$dv=sinxdx$$, получим:
$$du=2dx$$, $$v=-cosx$$. 
Найдем интеграл :
 $$I=-(2x-1)cosx+2\int cosxdx$$, 
$$I=(1-2x)cosx+2sinx+C$$.
Выберите один из вариантов