Производная функции КТ
Значение производной функции $$y=2x^{e^{2x}}$$ в точке $$x=1$$ равно:
- Прологарифмируем обе части равенства $$y=2x^{e^{2x}}$$:
$$\textrm{ln}y=\textrm{ln}2x^{e^{2x}}$$,
$$\textrm{ln}y=\textrm{ln}2+\textrm{ln}x^{e^{2x}}$$,
$$\textrm{ln}y=\textrm{ln}2+e^{2x}\textrm{ln}x$$. - Найдем производные левой и правой части полученного равенства:
$$\frac{y'}{y}=0+2e^{2x}\textrm{ln}x+\frac{e^{2x}}{x}$$,
$$\frac{y'}{y}=e^{2x}\left ( \textrm{ln}x^{2}+\frac{1}{x} \right )$$. - Выразим явно $$y'$$:
$$y'=ye^{2x}\left( \textrm{ln}x^{2}+\frac{1}{x} \right )$$,
$$y'=x^{e^{2x}}e^{2x}\left( \textrm{ln}x^{2}+\frac{1}{x} \right )$$. - Найдем значение производной в точке $$x=1$$:
$$y'=2\cdot 1\cdot e^{2}\cdot 1=2e^2$$.
Выберите один из вариантов
Значение дифференциала функции $$y=\textrm{arcsin} \cos x$$ в точке $$x=\frac{4\pi }{3}$$ равно:
- Найдем производную функции:
$$y'=\frac{(\cos x)'}{\sqrt{1-\cos^{2}x}}$$,
$$y'=\frac{-\sin x}{\sqrt{\sin^{2}x}}$$,
$$y'=-\frac{\sin x}{|\sin x|}$$. - Запишем дифференциал функции:
$$dy=-\frac{\sin x}{|\sin x|}dx$$. - Так как $$\sin\frac{4\pi }{3}< 0$$, то $$dy=-\frac{\sin x}{-\sin x}dx$$, $$dy=dx$$.
Выберите один из вариантов
Значение дифференциала второго порядка функции $$y=6x^2+e^{-2x}$$ в точке $$x=0$$ равно:
- Найдем производную первого порядка:
$$y'=12x-2e^{-2x}$$. - Найдем производную второго порядка:
$$y''=12+4e^{-2x}$$. - Найдем дифференциал второго порядка:
$$d^2y=(12+4e^{-2x})dx^2$$. - Найдем значение дифференциала в точке $$x=0$$:
$$d^2y=16dx^2$$.
Выберите один из вариантов
Производная функции $$y=\sin^2 t^2$$, $$x=2\cos t^2$$ имеет вид:
- Найдем производные функций $$y=f_1(t)$$ и $$x=f_2(t)$$:
1) $$y'_{t}=2\sin t^2\cdot (\sin t^2)'$$, $$y'_{t}=2\sin t^2\cdot \cos t^2(t^2)'$$, $$y'_{t}=4t\sin t^2\cos t^2$$;
2) $$x'_{t}=-2\sin t^2\cdot (t^2)'$$, $$x'_{t}=-4t\sin t^2$$. - Найдем производную $$y'_x$$:
$$y'_x=\frac{y'_t}{x'_t}$$, $$y'_x=\frac{4t\sin t^2\cos t^2}{-4t\sin t^2}$$, $$y'_x=-\cos t^2$$.
Выберите один из вариантов
Значение производной функции $$y=(2+x^2)^{\textrm{arctg}x}$$ в точке $$x=0$$ равно:
- Прологарифмируем обе части равенства $$y=(2+x^2)^{\textrm{arctg}x}$$:
$$\ln y=\ln (2+x^2)^{\textrm{arctg}x}$$; $$\ln y=\textrm{arctg}x\cdot \ln (2+x^2)$$. - Найдем производные левой и правой части полученного уравнения:
$$\frac{y'}{y}=\frac{\ln (2+x^2)}{1+x^2}+\frac{2x\cdot \textrm{arctg}x}{2+x^2}$$. - Выразим явно $$y'$$:
$$y'=y\cdot\left(\frac{\ln (2+x^2)}{1+x^2}+\frac{2x\cdot\textrm{arctg}x}{2+x^2}\right)$$. - Найдем значение производной в точке $$x=0$$:
$$y'(0)=2^0\cdot\left(\frac{\ln 2}{1}+\frac{0}{2}\right)$$; $$y'(0)=\ln 2$$.
Выберите один из вариантов
Если $$f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}$$, то значение выражения $$9(f(-1)-{f}'(-1))$$ равно:
- Найдем производную функции:
$${f}'(x)=\frac{3x^2(x^2-4)-x^3\cdot 2x}{(x^2-4)^2}$$,
$${f}'(x)=\frac{x^4-12x^2}{x^2-4)^2}$$. - Найдем значение функции в точке $$x=-1$$:
$$f(-1)=\frac{1}{3}$$. - Найдем значение производной в точке $$x=-1$$:
$${f}'(-1)=-\frac{11}{9}$$. - Найдем значение выражения:
$$9(f(-1)-{f}'(-1))=9\left(\frac{1}{3}+\frac{11}{9}\right)=14$$.
Введите ответ в поле
Значение производной второго порядка функции $$y=\frac{1}{2}\textrm{sin}^26x$$ в точке $$x=0$$ равно:
- Найдем производную первого порядка:
$${y}'=\frac{1}{2}\cdot 2\textrm{sin}6x(\textrm{sin}6x)'$$,
$${y}'=\textrm{sin}6x\cdot \textrm{cos}6x\cdot 6$$,
$${y}'=3\textrm{sin}12x$$. - Найдем производную второго порядка:
$${y}''=3\textrm{cos}12x\cdot (12x)'$$,
$${y}''=36\textrm{cos}12x$$. - Найдем значение производной второго порядка в точке $$x=0$$:
$${y}(0)''=36\textrm{cos}0=36$$.
Введите ответ в поле
Значение производной функции $$e^{xy}=x^2+4x$$ в точке $$(-1;0)$$ равно:
- Найдем производную левой и правой части данного равенства, учитывая, что $$y=f(x)$$:
$$(e^{xy})'=(x^2+4x)'$$, $$e^{xy}(xy)'=2x+4$$, $$e^{xy}(1\cdot y+x\cdot y')=2x+4$$. - Выразим явно $$y'$$:
$$y+xy'=\frac{2x+4}{e^{xy}}$$, $$xy'=\frac{2x+4}{e^{xy}}-y$$, $$y'=\frac{2x+4}{xe^{xy}}-\frac{y}{x}$$. - При $$x=-1$$, $$y=0$$, получим:
$$y'=\frac{-2+4}{-e^0}+\frac{0}{1}=-2$$.
Выберите один из вариантов
Если $$f(x)=\textrm{ln}\sqrt[3]{\frac{2-x^3}{2+x^3}}$$, то значение выражения $$3f'(1)$$ равно:
- Преобразуем функцию:
$$f(x)=\frac{1}{3}\textrm{ln}\frac{2-x^3}{2+x^3}$$,
$$f(x)=\frac{1}{3}\left(\textrm{ln}(2-x^3)-\textrm{ln}(2+x^3)\right)$$. - Найдем производную:
$${f}'(x)=\frac{1}{3}(\textrm{ln}(2-x^3))'-\frac{1}{3}(\textrm{ln}(2+x^3))'$$,
$${f}'(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{(2-x^3)'}{2-x^3}-\frac{1}{3}\cdot\frac{(2+x^3)'}{2+x^3}$$,
$${f}'(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{-3x^2}{2-x^3}-\frac{1}{3}\cdot \frac{3x^2}{2+x^3}$$,
$${f}'(x)=\frac{x^2}{x^3-2}-\frac{x^2}{x^3+2}$$, $${f}'(x)=\frac{4x^2}{x^6-4}$$. - Найдем значение выражения $$3f'(1)$$:
$$3{f}'(1)=-\frac{3\cdot 4}{3}=-4$$.
Введите ответ в поле
Значение производной функции $$y=\frac{\textrm{sin}2x}{1+\textrm{cos}2x}$$ в точке $$x=0$$ равно:
- Найдем производную функции:
$$y'=\frac{2\textrm{cos}2x(1+\textrm{cos}2x)+2\textrm{sin}^2x}{(1+\textrm{cos}2x)^2}$$;
$$y'=\frac{2\textrm{cos}2x+2}{(1+\textrm{cos}2x)^2}$$. - Найдем значение производной функции в точке $$x=0$$:
$$f'(0)=\frac{2+2}{(1+1)^2}=1$$.
Выберите один из вариантов