Загрузка

Высшая математика

Значение интеграла: $$\int (2x-1)sin xdx$$ равно:
Применим формулу интегрирования по частям. 
Полагая $$u=2x-1$$, $$dv=sinxdx$$, получим:
$$du=2dx$$, $$v=-cosx$$. 
Найдем интеграл :
 $$I=-(2x-1)cosx+2\int cosxdx$$, 
$$I=(1-2x)cosx+2sinx+C$$.
Выберите один из вариантов
Даны значения признака:
 $$1,2; 0,1; 1,5; 1,3; 1,2; 0,5; 1,2; 0,3; 0,2; 0,8; 1,2; 0,3; 1,2 ; 1,6; 0,4 ; 1,3. $$
 Постройте интервальный вариационный ряд. 
Постройтее гистограмму частот.
Найдите медиану. 

1. Построим интервальный вариационный ряд: 

$$x_{min}=0,1$$; $$x_{max}=1,6$$; $$R=1,6-0,1=1,5$$; $$k=5$$; $$h=1,5:5=0,3$$.

                  

2. Найдем медиану:

 $$m_e=x_i+\frac{h}{m_i}(\frac{n}{2}-\Sigma_{j=1}^{i-1}m_j)$$. 

Медианный интервал:$$[1;1,3)$$, так как накопленная частота $$12>16:2$$.

Тогда: $$x_i=1$$;  $$m_i=5$$; $$h=0,3$$; $$\Sigma_{j=1}^{3}m_j=7$$

Медиана: $$m_e=1+\frac {0,3}{5}(\frac{16}{2}-7)=1,06$$.

3. Построим гистограмму частот:

                                  

Введите ответ в поле
Завод отправил потребителю партию из $$500$$ изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна $$0,01$$. Вероятность того, что в пути будет повреждено более двух изделий (событие $$A$$) равна:
$$P(A)=1-P_500(0)-P_500(1)-P_500(2)$$. 
Так как $$n=500$$, $$p=0,01$$, то $$a=np=500 \cdot 0,01=5$$,
то применим формулу Пуассона: 
$$P(A)=1- \frac{5^0e^{-5}}{0!}- \frac{5^0e^{-5}}{1!}- \frac{5^0e^{-5}}{2!}$$,
$$P(A)=1-0,0067- 0,0337-0,0842= 0,8754$$.
Введите ответ в поле
Значение интеграла $$\int 5x\sqrt{1+5x}dx$$ равно:
Применим метод подстановки. 
Пусть $$\sqrt{1+5x}=t$$ . 
Тогда: $$1+5x=t^2$$; $$x=\frac{t^2-1}{5}$$; $$dx=\frac{2t}{5}dt$$.
Найдем интеграл:
$$I=\int \frac{(t^2-1)t2tdt}{5}$$,
$$I=\frac{2}{5}\int (t^4-t^2)dt$$, 
$$I=\frac{2}{5}({\frac{t^5}{5}-\frac{t^3}{3}})+C$$, 
$$I=\frac{2t^5}{25}-\frac{2t^3}{15}+C$$, 
$$I=\frac{2(\sqrt{1+5x})^5}{25}-\frac{2(\sqrt{1+5x})^3}{15}+C$$.
Выберите один из вариантов
Значение интеграла: $$\int \frac{6xdx}{\sqrt{6x^2-4}}$$ равно:

Применим метод изменения формы дифференциала: 
$$I=\int \frac{6xd(6x^2-4)}{\sqrt{6x^2-4} \cdot 12x}$$, 
$$I=\frac{1}{2} \int \frac{d(6x^2-4)}{\sqrt{6x^2-4}}$$, 
$$I=\sqrt{6x^2-4}+C$$.
Выберите один из вариантов
Даны значения признака:  
$$4; 2; 8; 2; 6; 6; 2; 6; 5; 0; 6; 1; 8; 10; 3; 10; 6; 9; 7; 5.$$
Постройте интервальный вариационный ряд и найдите его числовые характеристики.
1. Построим интервальный вариационный ряд:
 $$x_{min}=0$$; $$x_{max}=10$$; $$R=10-0=10$$; $$k=5$$; $$h=10:5=2.$$ 
                     
2. Найдем числовые характеристики выборки. 
 В качестве значений признака возьмем середины интервалов.
$$\overline{X}=\frac{1}{20}(1\cdot 2+3\cdot 4+5\cdot 3+7 \cdot 6+9\cdot 5)=5,8$$;
$$\overline{X^2}=\frac{1}{20}(1\cdot 2+9\cdot 4+25\cdot 3+49 \cdot 6 +81\cdot 5)=40,6$$;
$$\overline{D} =40,6-5,8^2=6,96$$;
  $$\overline{\sigma} =\sqrt{6,96}\approx 2,64$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Даны значения признака:
 $$1,2; 0,1; 1,5; 1,3; 1,2; 0,5; 1,2; 0,3; 0,2; 0,8; 1,2 ; 0,3 ; 1,2; 1,6; 0,4; 1,3.$$
 Постройте интервальный вариационный ряд.
 Найдите моду.

1. Построим интервальный вариационный ряд: 

$$x_{min}=0,1$$; $$x_{max}=1,6$$; $$R=1,6-0,1=1,5$$; $$k=5$$; $$h=1,5:5=0,3$$.

                          

2. Найдем моду:

 $$m_o=x_i+\frac{h(m_i-m_{i-1})}{(m_i-m_{i-1}) +(m_i-m_{i+1})}$$.

Модальный интервал:$$[1;1,3)$$.

Тогда: $$x_i=1$$; $$m_i=5$$, $$m_{i-1}=1$$; $$m_{i+1}=4$$; $$h=0,3$$.

Мода: $$m_0=1+\frac{0,3(5-1)}{(5-1)+(5-4)}=1,24$$.

Введите ответ в поле
Найдите математическое ожидание и дисперсию cлучайной величины $$ Х $$, если функция распределения имеет вид: $$F(x)  = \begin{cases}0 & при & x \leqq 0;\\\sqrt x & при & 0< x \leqq 1;\\1 & при & x>1.\\\end{cases}$$
Найдем функцию плотности вероятностей: 
$$p(x)= \begin{cases}0 & при & x \leqq 0;\\ \frac{1}{2\sqrt x} & при & 0< x \leqq 1;\\0 & при & x>1.\\\end{cases}$$ 
Найдем математическое ожидание: 
$$M(X)=\int_0^1 \frac{x}{2\sqrt{x}}dx =\frac{1}{2} \int_0^1 x^{\frac{1}{2}}dx$$, 
$$M(X)=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}|_0^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$$. 
Найдем дисперсию:
$$D(X)= \int_0^1\frac{x}{2 \sqrt{x}}dx -( \frac{1}{3} )^2$$, 
$$D(X)=\frac{1}{2} \int_0^1x^{\frac{3}{2}}dx- \frac{1}{9}$$, 
$$D(X)= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}x^\frac{5}{2}|_0^1- \frac{1}{9}=\frac{4}{45}$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Даны значения признака:
 $$10; 2; 8; 2; 6; 6; 2; 6; 6; 6; 6; 6; 8; 10; 10; 10; 6; 10; 10.$$ 
Найдите точечные оценки параметров распределения.
1. Построим дискретный вариационный ряд:
                              

2. Найдем числовые характеристики выборки:

$$\overline{X}=\frac{1}{20}(2 \cdot 4 +6 \cdot 8+8\cdot 2+10 \cdot 6)=6,6$$;

$$\overline{X^2}=\frac{1}{20}(4 \cdot 4+ 36\cdot 8 + 64 \cdot 2+100 \cdot 6)= 24,6$$;

$$\overline{D}=51,6-6,6^2=8,04$$.

3. Найдем точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения:

1) $$M(X) \approx  \overline{X}=6,6$$;

2 )$$\sigma \approx s = \sqrt{\frac{n\cdot\overline D}{n-1}}$$, $$\sigma \approx s = \sqrt{ \frac{20 \cdot 8,04}{19}} \approx2,91$$.

Выберите несколько вариантов ответов
Площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=\frac{3}{x}$$ и $$y=-x+4$$ , равна:
1. Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций $$y=\frac{3}{x}$$ и $$y=-x+4$$, решая уравнение:
 $$\frac{3}{x}=4-x$$, откуда $$x^2-4x+3=0$$, $$x_1=1$$, $$x_2=3$$ (рис. 1).
2. Запишем пределы интегрирования:
$$a=1$$, $$b=3$$. 
3. Составим подынтегральную функцию: 
$$f(x)=4-x-\frac{3}{x}$$. 
4. Вычислим интеграл: 
$$I=\int_1^3({4-x-\frac{3}{x}})dx$$, 
$$I=4x- \frac{x^2}{2}-3lnx|_1^3$$, 
$$I=12-4,5-3ln3-4+0,5=4-3ln3$$. 
5. Найдем площадь фигуры: 
$$S=|4-3ln3|=4-3ln3$$.
                                             
Выберите один из вариантов