Гипербола ИТ
Если гипербола проходит через точки $$A_1\left( -3,0\right)$$ и $$A_2\left( 3,0\right)$$, причем длина ее мнимой полуоси в $$2$$ раза меньше длины действительной полуоси, то эксцентриситет гиперболы равен:
1. Каноническое уравнение гиперболы:
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$,
где $$\textit{а }$$-действительная полуось; $$\textit{b }$$– мнимая полуось.
2. Эксцентриситет гиперболы находят по формуле:
$$\varepsilon =\frac{c}{a}> 1$$, где $$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$.
Действительная полуось равна $$3$$, а мнимая полуось равна $$1,5$$.
Тогда, $$c=\sqrt{9+\frac{9}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$$, а $$\varepsilon =\frac{3\sqrt{5}}{2\cdot 3}=0,5\sqrt{5}$$.
Тогда, $$c=\sqrt{9+\frac{9}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$$, а $$\varepsilon =\frac{3\sqrt{5}}{2\cdot 3}=0,5\sqrt{5}$$.
Гипербола $$-$$ это геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разностей расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Выберите один из вариантов
Если действительная полуось гиперболы рана $$5$$, ее мнимая ось равна $$4$$, фокусы находятся на оси $$Oy$$, а центр в точке $$N(-3;0)$$, то ее каноническое уравнение имеет вид:
Уравнение гиперболы с центром в точке $$O{'}(x_0; y_0)$$:
$$-\frac{(x+x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$,
где $$b$$ - действительная полуось, $$a$$ - мнимая полуось.
Так как $$a=5$$, $$b=2$$, $$x_0=-3$$, $$y_0=0$$, то каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
$$-\frac{(x+3)^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$$.
Уравнение гиперболы с центром в точке $$O{'}(x_0; y_0)$$:
$$\frac{(x+x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$,
где фокусы лежат на прямой, параллельной оси $$Ox$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Если мнимая полуось гиперболы равна $$\sqrt{6}$$ и гипербола проходит через точку $$C(\sqrt{5};-2)$$, то ее действительная ось равна:
Каноническое уравнение гиперболы:
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$,
где $$a$$ – действительная полуось, $$b$$ – мнимая полуось.
Подставляя значения $$b=\sqrt{6}$$, $$x=\sqrt{5}$$, $$y=-2$$ в каноническое уравнение гиперболы, получим:
$$\frac{5}{a^2}-\frac{4}{6}=1$$, $$\frac{5}{a^2}=\frac{5}{3}$$, $$a^2 = 3$$.
Действительная ось гиперболы:
$$2a = 2\sqrt{3}$$.
Действительная ось гиперболы равна $$2a$$.
Мнимая ось гиперболы равна $$2b$$.
Выберите один из вариантов
Если мнимая ось гиперболы равна $$6$$, расстояние между фокусами равно $$10$$ и фокусы лежат на оси $$Ox$$, то асимптоты гиперболы имеют вид:
1. Каноническое уравнение гиперболы:
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$,
где $$a$$-действительная полуось, $$b$$ - мнимая полуось.
2. Уравнения асимптот гиперболы:
$$y=\pm\frac{bx}{a}$$,
где $$ a^2+b^2=c^2$$.
Так как $$b=3$$, а $$с=5$$, то $$a^2=25-9=16$$, откуда $$а=4$$.
Найдем асимптоты гиперболы:
$$y=\frac{3x}{4}$$ и $$y=-\frac{3x}{4}$$.
Если $$b$$ - действительная полуось , $$a$$ - мнимая полуось, то асимптоты гиперболы имеют вид:
$$y=\pm\frac{bx}{a}$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Если центр гиперболы находится в точке $$A(-2;-7)$$, ее действительная ось равна $$16$$, эксцентриситет равен $$1,25$$, а фокусы расположены на прямой, параллельной оси $$Oy$$, то сумма их координат равна:
Если центром гиперболы является точка $$O{'}(x_0; y_0)$$, а фокусы находятся на прямой, параллельной оси $$Ox$$, то:
1) $$F_1\left( -c+x_0; y_0 \right)$$, $$F_2\left( c+x_0; y_0\right)$$;
2) $$\varepsilon =\frac{c}{a}> 1$$, где $$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$.
Так как $$b=8$$, а $$\varepsilon = 1,25$$, то $$1,25=\frac{c}{8}$$, откуда $$c=10$$.
Учитывая, что $$x_0=-2$$, $$y_0=7$$, найдем координаты фокусов:
$$F_1\left( -2; -10 + 7 \right)$$, $$F_2\left( -2; 10 +7\right)$$,
откуда $$F_1\left( -2; -3 \right)$$, $$F_2\left( -2; 17 \right)$$.
Найдем сумму координат фокусов:
$$-2-3-2+17=10$$.
Если центром гиперболы является точка $$O{'}(x_0; y_0)$$, а фокусы находятся на прямой, параллельной оси $$Oy$$, то
$$F_1\left( -c+x_0; y_0 \right)$$, $$F_2\left( c+x_0; y_0\right)$$.
Введите ответ в поле
Каноническое уравнение линии $$5x^2-3y^2+10x+18y-28=0$$ имеет вид:
Квадрат двучлена:
$$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.
В данном уравнении выделим квадраты двучленов:
$$5(x^2+2x+1)-3(y^2-6y+9)$$=$$28+5\cdot{1}$$-$$3\cdot{9}$$,
$$5(x+1)^2-3(y-3)^2=6$$,
$$\frac{5(x+1)^2}{6}-\frac{3(y-3)^2}{6}=\frac{6}{6}$$,
$$\frac{(x+1)^2}{1,2}-\frac{(y-3)^2}{2}=1$$.
Имеем гиперболу: центр в точке $$O{'}(-1; 3)$$, $$a=2\sqrt{0,3}$$, $$b=\sqrt{2}$$.
Выберите один из вариантов
Если ее фокусы гиперболы с центром в точке $$M(-6;5)$$ лежат на прямой, параллельной оси $$Ox$$, действительная ось равна $$8$$, а эксцентриситет равен $$1,5$$, то ее каноническое уравнение имеет вид:
1. Уравнение гиперболы с центром в точке $$O{'}(x_0; y_0)$$:
$$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$,
где $$a$$ - действительная полуось, $$b$$ - мнимая полуось.
2. Эксцентриситет гиперболы:
$$\varepsilon =\frac{c}{a}> 1$$, где $$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$.
Так как $$a=4$$, а $$\varepsilon = 1,5$$, то $$1,5=\frac{c}{4}$$, откуда $$c=6$$.
Так как $$b^2=c^2-a^2$$, то $$b^2=36-16=20$$.
Запишем каноническое уравнение гиперболы:
$$\frac{(x-6)^2}{16}-\frac{(y-5)^2}{20}=1$$.
Уравнение гиперболы с центром в точке $$O{'}(x_0; y_0)$$:
$$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$,
где фокусы лежат на прямой, параллельной оси $$Oy$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Сумма координат центра гиперболы $$y=\frac{3x-5x}{x+1}$$ равна:
Уравнение $$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$ определяет равностороннюю гиперболу $$YX=C$$.
Выполним преобразования данного уравнения:
$$y( x+1 )=3x-5$$,
$$y(x+1)=(3x+3)-8$$,
$$y\left (x+1\right )-3\left ( x+1\right )=-8$$,
$$(x+1) (y-3)=-8$$.
Имеем равностороннюю гиперболу YX=C, где $$O{'}(-1; 3)$$.
Гипербола называется равносторонней, если ее действительная a и мнимая b равны: $${x^2-y^2}=a^2$$.
Введите ответ в поле
Если действительная полуось гиперболы равна $$4$$, мнимая ось равна $$4$$ и фокусы находятся на оси $$Oy$$, то ее эксцентриситет равен:
1. Если осью симметрии гиперболы является ось $$Oy$$, то ее каноническое уравнение имеет вид:
$$-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$,
где $$b$$ - действительная полуось, $$a$$ - мнимая полуось.
2. Эксцентриситет гиперболы:
$$\varepsilon =\frac{c}{b}> 1$$, где $$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$.
Так как $$b=4$$, $$a=2$$,
то $$c=\sqrt{16+4}$$.
Найдем эксцентриситет:
$$\varepsilon =\frac{2\sqrt{5}}{4}=0,5\sqrt{5}$$.
1. Каноническое уравнение гиперболы:
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$,
где $$a$$ - действительная полуось, $$b$$ - мнимая полуось.
2. Эксцентриситет гиперболы:
$$\varepsilon =\frac{c}{a}> 1$$, где $$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$.
Выберите один из вариантов
Если центр гиперболы находится в точке $$A(2;7)$$, ее действительная полуось равна $$8$$, эксцентриситет равен $$1,25$$, а фокусы расположены на прямой, параллельной оси $$Ox$$, то сумма их координат равна:
Если центром гиперболы является точка $$O{'}(x_0; y_0)$$, а фокусы находятся на прямой, параллельной оси $$Ox$$, то:
1) $$F_1\left( -c+x_0; y_0 \right)$$, $$F_2\left( c+x_0; y_0\right)$$;
2) $$\varepsilon =\frac{c}{a}> 1$$, где $$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$.
Так как $$a=8$$, а $$\varepsilon = 1,25$$, то $$1,25=\frac{c}{8}$$, откуда $$c=10$$.
Учитывая, что $$x_0=2$$, $$y_0=7$$, найдем координаты фокусов:
$$F_1\left( -10+2; 7 \right)$$, $$F_2\left( 10+2; 7 \right)$$,
откуда $$F_1\left( -8; 7 \right)$$, $$F_2\left( 12; 7 \right)$$.
Найдем сумму координат фокусов:
$$-8+7+12+7=18$$.
Если центром гиперболы является точка $$O{'}(x_0; y_0)$$, а фокусы находятся на прямой, параллельной оси $$Oy$$, то
$$F_1\left( x_0;- с + y_0 \right)$$, $$F_2\left( x_0; с+ y_0\right)$$.
Введите ответ в поле