Парабола ИТ
Если расстояние от директрисы до фокуса параболы, ветви которой направлены вверх, равно $$1$$, вершина находится в точке $$О'(8;3)$$, а ось симметрии параллельна прямой $$Oy$$, то директриса параболы имеет вид:
Если вершина параболы является точка $$О'(x_0; y_0)$$, а ось симметрии параллельна оси $$Oy$$, то:
$$d=y=-0,5p+y_0$$.
- Согласно условию задачи: $$0,5p=0,5$$, $$x_0=8$$, $$y_0=3$$.
- Найдем директрису параболы: $$d=-0,5+3=2,5$$.
Если вершина параболы является точка $$О'(x_0; y_0)$$, а ось симметрии параллельна оси $$Ox$$, то:
$$d=x=-0,5p+x_0$$.
Выберите один из вариантов
Если уравнение параболы имеет вид $$x^2=-y$$, то её фокус находится в точке, удвоенная сумма координат которой равна:
- Каноническое уравнение параболы:
$$x^{2}=2py$$,
где $$Oy$$ - ось симметрии параболы, $$p$$ - расстояние от фокуса до директрисы $$d$$. - Фокус параболы: $$F\left(0;\frac{p}{2} \right)$$.
- Так как $$2p=-1$$, то $$p=-0,5$$.
- Фокус параболы: $$F(0;-0,25)$$.
- Тогда, $$(0-0,25)\cdot 2=-0,5$$.
- Каноническое уравнение параболы:
$$x^{2}=-2py$$, где ось $$Oy$$ - ось симметрии параболы. - Фокус параболы: $$F\left(0;-\frac{p}{2} \right)$$.
Введите ответ в поле
Каноническое уравнение линии $$y^2-5x-8y+13=0$$ имеет вид:
Квадрат двучлена:
$$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.
Выполним преобразование данного уравнения:
- $$y^2-8y=5x-13$$,
$$(y^2-8x+16)=5x-13+16$$,
$$(y-4)^2=5(x+0,6)$$.
Имеем параболу с центром в точке $$O'(-0,6;4)$$.
Выберите один из вариантов
Если уравнение параболы имеет вид $$y^{2}=10x$$, то ее фокус находится в точке, сумма координат которой, увеличенная в $$2$$ раза, равна:
- Каноническое уравнение параболы:
$$y^{2}=2px$$,
где ось $$Ox$$ $$-$$ ось симметрии параболы; $$p$$ - расстояние от фокуса до директрисы $$d$$. - Фокус параболы: $$F\left ( \frac{p}{2};0 \right )$$.
- Так как $$2p=10$$, то $$p=5$$.
- Фокус параболы: $$F \left (2,5;0 \right )$$.
- Тогда, $$(2,5+0)\cdot 2=5$$.
Парабола $$-$$ это геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и прямой, называемой директрисой.
Введите ответ в поле
Если вершиной параболы с осью симметрии $$O'Y$$, является точка $$О'(1; -4)$$, а расстояние от фокуса до директрисы $$(d<0)$$ равно $$5$$, то уравнение параболы имеет вид:
- Уравнение параболы с вершиной в точке $$О'(x_0; y_0)$$:
$$(x-x_0)^2=2p(y-y_0)$$,
где $$O'Y$$ - ось симметрии параболы/ - Прямая $$y=-0,5p$$ - директриса параболы.
Так как $$2p=5$$, $$x_0=1$$, $$y_0=-4$$,
то каноническое уравнение параболы имеет вид:
$$(x-1)^2=5(y+4)$$.
- Уравнение параболы с вершиной в точке $$О'(x_0; y_0)$$:
$$(y-y_0)^2=-2p(x-x_0)$$, где $$O'X$$ - ось симметрии параболы. - Прямая $$x=0,5p$$ - директриса параболы.
Выберите несколько вариантов ответов
Если расстояние от вершины до фокуса параболы, ветви которой направлены вверх, равно $$2,5$$, вершина находится в точке $$О'(3;5)$$, а ось симметрии параллельна прямой $$Oy$$, то фокус параболы находится в точке:
Если вершина параболы является точка $$О'(x_0; y_0)$$, а ось симметрии параллельна оси $$Ox$$, то:
$$F(x_0;0,5p+y_0)$$,
где $$p$$ - расстояние от фокуса до директрисы $$d$$.
Так как $$0,5p=2,5$$, $$x_0=3$$, $$y_0=5$$,
то фокус параболы будет находится в точке:
$$F(3;2,5+5)$$, $$F(3;7,5)$$.
Если вершина параболы является точка $$О'(x_0; y_0)$$, а ось симметрии параллельна оси $$Ox$$, то:
$$F(0,5p+x_0;y_0)$$,
где $$p$$ - расстояние от фокуса до директрисы $$d$$.
Выберите один из вариантов
Вершина параболы $$x^2+6x-2y+16=0$$ находится в точке, произведение координат которой равно:
- Квадрат двучлена:
$$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$. - Уравнение параболы с вершиной в точке $$О'(x_0; y_0)$$:
$$(x-x_0)^2=2p(y-y_0)$$,
где $$O'Y$$- ось симметрии параболы, $$p$$ - расстояние от фокуса до директрисы.
- Выполним преобразования данного уравнение:
$$(x^2+6x+9)-2y+7=0$$,
$$(x+3)^2=2y-7$$,
$$(x+3)^2=2(y-3,5)$$. - Вершина параболы: $$О'(-3; 3,5)$$.
Уравнение параболы с вершиной в точке $$О'(x_0; y_0)$$:
$$(y-y_0)^2=2p(x-x_0)$$,
где $$O'X$$ - ось симметрии параболы.
Введите ответ в поле
Если вершиной параболы с осью симметрии $$O'X$$ является точка $$О'(1; -4)$$, а прямая $$x=5,5$$ является директрисой параболы, то каноническое уравнение параболы имеет вид:
- Уравнение параболы с вершиной в точке $$О'(x_0; y_0)$$:
$$(y-y_0)^2=-2p(x-x_0)$$, где $$O'X$$ - ось симметрии параболы. - Прямая $$x=0,5p$$ - директриса параболы.
Так как $$p=2×5,5=11$$, $$x_0=1$$, $$y_0=-4$$ и $$x=5,5>0$$, то каноническое уравнение параболы имеет вид:
$$(y+4)^2=-2\cdot{11(x-1)}$$.
Уравнение параболы с вершиной в точке $$О'(x_0; y_0)$$:
$$(y-y_0)^2=2p(x-x_0)$$,
где $$O'X$$ - ось симметрии параболы,
прямая $$x=-0,5p$$ - директриса параболы.
Выберите один из вариантов
Если расстояние от вершины до фокуса параболы, ветви которой направлены вправо, равно $$2,5$$, вершина находится в точке $$О'(3;0)$$, а ось симметрии параллельна прямой $$Ox$$, то фокус параболы находится в точке:
Если вершина параболы является точка $$О'(x_0; y_0)$$, а ось симметрии параллельна оси $$Ox$$, то:
$$F(0,5p+x_0;y_0)$$,
где $$p$$ - расстояние от фокуса до директрисы $$d$$.
Так как $$0,5p=2,5$$, $$x_0=3$$, $$y_0=0$$,
то фокус параболы будет находится в точке:
$$F(2,5+3;0)$$, $$F(5,5;0)$$.
Если вершина параболы является точка $$О'(x_0; y_0)$$, а ось симметрии параллельна оси $$Ox$$, то:
$$F(x_0;0,5p+y_0)$$,
где $$p$$ - расстояние от фокуса до директрисы $$d$$.
Выберите один из вариантов
Если расстояние от директрисы до вершины параболы, ветви которой направлены вправо, равно $$6$$, вершина находится в точке $$О'(-8;9)$$, а ось симметрии параллельна прямой $$Ox$$, то директриса параболы имеет вид:
Если вершина параболы является точка $$О'(x_0; y_0)$$, а ось симметрии параллельна оси $$Ox$$, то:
$$d=x=-0,5p+x_0$$.
- Согласно условию задачи: $$0,5p=6$$, $$x_0=-8$$, $$y_0=9$$.
- Найдем директрису параболы: $$d=-6-8=-14$$.
Если вершина параболы является точка $$О'(x_0; y_0)$$, а ось симметрии параллельна оси $$Oy$$, то:
$$d=y=-0,5p+y_0$$.
Выберите один из вариантов