Аналитическая геометрия КТ 4
Если гипербола с центром в начале координат проходит через точки $$(0;-4)$$ и $$(0;4)$$, причем длина её мнимой полуоси в $$2$$ раза меньше длины действительной полуоси, то эксцентриситет гиперболы равен:
Так как действительная полуось $$b$$ равна $$4$$, то мнимая полуось $$a$$ равна $$2$$.
Тогда, $$c=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$$,
$$\varepsilon = \frac{2\sqrt{5}}{4}=0,5\sqrt{5}$$.
Выберите один из вариантов
Фокусы эллипса $$2(x+3)^{2}+7(y-2)^{2}=70$$ находятся в точках:
1. Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:
$$\frac{2(x+3)^2}{70}+\frac{7(y-2)^2}{70}=\frac{70}{70}$$;
$$\frac{(x+3)^2}{35}+\frac{(y-2)^2}{10}=1$$.
2. Так как $$a^2=35$$, $$b^2=10$$, то
$$c^2= 35-10=25$$, откуда $$c=5$$.
3. Учитывая, что $$x_{0}=-3$$, $$y_{0}=2$$, найдем координаты фокусов:
$$F_1 (-5-3;2)$$; $$F_2 (5-3;2)$$.
Выберите один из вариантов
Если линия представлена в виде $$2x^2+y^2+4x-2y+1=0$$, то имеем:
Приведем уравнение к каноническому виду:
$$(2x^2+4x+2)+(y^2-2y+1)=2$$,
$$(2x^2+4x+2)+(y^2-2y+1)=2$$,
$$2(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=2$$,
$$\frac{(x+1)^2}{1}+\frac{(y-1)^2}{2}=1$$.
Имеем эллипс с центром в точке $$(-1;1)$$. Полуоси: $$1$$ и $$\sqrt{2}$$.
Имеем эллипс с центром в точке $$(-1;1)$$. Полуоси: $$1$$ и $$\sqrt{2}$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Если линия представлена в виде $$x^2+y^2+2x-2y=0$$, то имеем:
Приведем уравнение к каноническому виду:
$$(x^2+2x+1)+(y^2-2y+1)=1+1$$,
$$(x^2+2x+1)+(y^2-2y+1)=1+1$$,
$$(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=2$$ .
Имеем окружность с центром в точке $$(-1;1)$$ и радиусом $$R = \sqrt{2}$$.
Имеем окружность с центром в точке $$(-1;1)$$ и радиусом $$R = \sqrt{2}$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Если линия представлена в виде $$2x^2-y^2+4x+2y+1=0$$, то имеем:
Приведем уравнение к каноническому виду:
$$(2x^2+4x+2)+(-y^2+2y-1)+1=2+1$$,
$$(2x^2+4x+2)+(-y^2+2y-1)+1=2+1$$,
$$2(x+1)^{2}-(y-1)^{2}=2$$,
$$\frac{(x+1)^2}{1}-\frac{(y-1)^2}{2}=1$$.
Имеем гиперболу с центром в точке $$(-1;1)$$. Полуоси: $$1$$ и $$\sqrt{2}$$.
Имеем гиперболу с центром в точке $$(-1;1)$$. Полуоси: $$1$$ и $$\sqrt{2}$$.
Выберите один из вариантов
Если эллипс с центром в начале координат проходит через точку $$C(\sqrt{2};\sqrt{5})$$, одна из его осей равна $$2\sqrt{6}$$, а фокусы расположены на оси ординат, то эксцентриситет эллипса равен:
Случай 1.
Подставляя значения $$b=\sqrt{6}$$, $$x=\sqrt{2}$$, $$y=\sqrt{3}$$ в каноническое уравнение эллипса, получим: $$\frac{2}{a^2}+\frac{5}{6}=1$$; $$\frac{2}{a^2}=\frac{1}{6}$$; $$a^2=12$$.
Тогда, $$c=\sqrt{12-6}=\sqrt{6}$$.
Найдем эксцентриситет эллипса:
$$\varepsilon = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=1$$, что не удовлетворяет условию.
Случай 2.
Подставляя значения $$a=\sqrt{6}$$, $$x=\sqrt{2}$$, $$y=\sqrt{3}$$ в каноническое уравнение эллипса, получим:
$$\frac{2}{6}+\frac{5}{b^2}=1$$; $$\frac{5}{b^2}=\frac{2}{3}$$; $$b^2=7,5$$.
Тогда, $$c=\sqrt{7,5-6}=\sqrt{1,5}$$.
Найдем эксцентриситет эллипса:
$$\varepsilon = \frac{\sqrt{1,5}}{\sqrt{7,5}}=0,2\sqrt{5}$$.
Выберите один из вариантов
Центром гиперболы $$y = \frac{2x+5}{2x-1}$$ является точка:
Выполним преобразования данного уравнения:
$$y(2x-1)=2x+5$$,
$$y(2x-1)=2x+5$$,
$$y(2x-1)=(2x-1)+6$$,
$$y(2x-1)-(2x-1)=6$$,
$$(2x-1)(y-1)=6$$,
$$2(x-0,5)(y-1)=6$$,
$$(x-0,5)(y-1)=3$$.
Центр гиперболы находится в точке: $$(0,5;1)$$.
Центр гиперболы находится в точке: $$(0,5;1)$$.
Выберите один из вариантов
Если расстояние от директрисы до фокуса параболы, ветви которой направлены влево, равно $$6$$, вершина находится в точке $$О'(8;9)$$, а ось симметрии параллельна прямой $$Ox$$, то директриса параболы имеет вид:
Согласно условия задачи:
$$p=6$$, $$x_0=8$$, $$y_0=9$$.
Найдем директрису параболы:
$$d=x=0,5p+x_0$$
$$d=3+8=11$$
Выберите один из вариантов
Если расстояние от директрисы до вершины параболы, ветви которой направлены вниз, равно $$1$$, вершина находится в точке $$О'(-8;-3)$$, а ось симметрии параллельна прямой $$Oy$$, то директриса параболы имеет вид:
Согласно условию задачи:
$$0,5p=1$$, $$x_0=-8$$, $$y_0=-3$$.
Найдем директрису параболы:
$$y=0,5p+y_0$$
$$y=1-3=-2$$.
Выберите один из вариантов
Если фокус параболы, ось симметрии которой параллельна оси абсцисс, а ветви направлены вправо, находится в точке $$(2;7)$$, а вершина находится в точке $$(0;7)$$, то каноническое уравнение параболы имеет вид:
Согласно условия задачи:
$$\frac{p}{2}=2$$, $$x_0=0$$, $$y_0=7$$.
$$\frac{p}{2}=2$$, $$x_0=0$$, $$y_0=7$$.
Найдем каноническое уравнение параболы:
$$(y-y_0)^2=2p(x-x_0)$$,
$$(y-7)^2=8x$$.
Выберите один из вариантов