1. Уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с координатами $$(x_0; f(x_0))$$: 
   $$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$. 
2. Правила дифференцирования:
   $$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$$, где $$k$$– число;
   $$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$. 
3. Производные:
   $$a'=0$$;
   $$x'=1$$;
   $$(x^a)'=\alpha\cdot x^{a-1}$$.

1. Запишем значение функции в точке $$x_{0}$$:
   $$f(x_0)=2x_0-3x^2_0+1$$. 
2. Найдем производную функции:
   $$y'=(2x)'-(3x^2)'+1'$$, $$y'=2-6x$$. 
3. Запишем значение производной функции в точке $$x_0$$:
   $$f'(x_0)=2-6x_0$$. 
4. Запишем уравнение касательной к графику функции в точке $$x_0$$:
   $$y=2x_0-3^2_0+1+(2-6x_0)(x-x_0)$$,
   $$y=2x_0-3x^2_0+1+2x-2x_0-6x_0x+6x^2_0$$,
   $$y=1+2x-6x_0\cdot x+3x^2_0$$. 
5. Так как касательная проходит через точку $$A(0; 3)$$, то получим:
   $$3=1+2\cdot 0-6x_0\cdot 0+3x^2_0$$, $$3x^2_0=2$$, откуда $$x_0=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}$$. 
6. Найдем утроенное произведение абсцисс точек касания:
   $$-3\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}=-2$$.

Если точка $$A(a;b)$$ принадлежит графику функции $$y=f(x)$$, то верно, что $$f(a)=b$$.

1. Уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с координатами $$(x_0; f(x_0))$$:
   $$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$. 
2. Правила дифференцирования:
   $$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$$, где $$k$$ – число;
   $$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$. 
3. Производные: 
   $$a'=0$$; $$x'=1$$; $$(x^a)'=\alpha\cdot x^{a-1}$$. 
4. Формула сокращенного умножения:
   $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$.

1. Найдем значение функции в точке $$x_{0}=1$$:
   $$f(x_0)=(1-1) ^3-2\cdot 1=-2$$. 
2. Найдем производную функции:
   $$f'(x)=3(x-1)^2(x-1)'-2$$, $$f'(x)=3(x-1)^2-2$$. 
3. Найдем значение производной функции в точке $$x_0=1$$:
   $$f'(x_0)=0-2=-2$$. 
4. Запишем уравнение касательной к графику функции в точке $$x_0$$:
    $$y=-2-2(x-1)$$, $$y=-2x$$.

1) $$f(x_0)$$ – значение функции в точке $$x_0$$;
2) $$f'(x_0)$$ – значение производной функции в точке $$x_0$$.

1. Правило дифференцирования:
   $$(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции. 
2. Производные элементарных функций:
   $$(x^a)'=\alpha\cdot x^{a-1}$$;
   $$(\sin{x})'=\cos{x}$$.

1. Найдем производную произведения:
   $$f'(x)=(x^2)'\sin{x}+x^2(\sin{x})'$$,
   $$f'(x)=2x\sin{x}+x^2\cos{x}$$. 
2. Найдем значение производной в указанной точке:
   $$f'\left ( \frac{\pi}{2} \right )=\frac{2\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2}+\left ( \frac{\pi}{2} \right )^2\cos\frac{\pi}{2}$$,
   $$f'\left ( \frac{\pi}{2} \right )=\pi\cdot1+\left ( \frac{\pi}{2} \right )^2\cdot 0=\pi$$.

1. $$(u\cdot v)'= u'v+uv'$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции; 
2. $$(k\cdot v)'= kv'$$, где $$k$$– число, а $$v$$ – функция.

1. Правила дифференцирования: 
   1) $$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$$, где $$k$$– число;
   2) $$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$. 
2. Производные функций:
   $$a'=0$$; $$x'=1$$;
   $$(x^a)'=\alpha\cdot x^{a-1}$$;
   $$\left ( \frac{1}{x}\right )'=-\frac{1}{x^2}$$.

1. Запишем производную суммы:
   $$f'(x)=(5x^5)'-\left ( \frac{x}{5} \right )'-\left ( \frac{5}{x} \right )'+5'$$.
2. Вынесем за знаки производных постоянные множители:
   $$f'(x)=5(x^5)'-\frac{1}{5}(x)'-5\left ( \frac{1}{x} \right )'+5'$$.
3. Применим правила нахождения производных функций: 
   $$f'(x)=5\cdot 5x^{5-1}-\frac{1}{5}\cdot 1-5\left ( -\frac{1}{x^2} \right )+0$$, 
   $$f'(x)=25x^4-\frac{1}{5}+\frac{5}{x^2}$$.
4. Найдем значение производной в точке $$-1$$: 
   $$f'(-1)=25-0,2+5=29,8$$.

Постоянный множитель (число) можно выносить за знак производной.

1. Производная степенной функции: 
   $$(x^a)'=\alpha\cdot x^{a-1}$$.
2. Свойство степеней: 
   $$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$$.

1. Запишем функцию в виде:
   $$f(x)=x^{\frac{1}{3}}\cdot x^3=x^{\frac{10}{3}}$$. 
2. Найдем ее производную:
   $$f'(x)=\frac{10}{3}x^{\frac{7}{3}}$$. 
3. Решим уравнение $$3f'(x)=10f(x)$$:
   $$3\cdot \frac{10}{3}x^{\frac{7}{3}}=10x^{\frac{10}{3}}$$,
   $$x^{\frac{7}{3}}=x^{\frac{10}{3}}$$,
   $$x^7=x^{10}$$, $$x^{10}-x^7=0$$,
   $$x^7(x^3-1)=0$$, откуда $$x=0$$ или $$x=1$$. 
4. Найдем среднее арифметическое корней уравнения:
   $$(0+1): 2=0,5$$.

1) $$2^{2}x=2^{3}$$, $$x=2$$ (обе части равенства разделили на число $$2^{2}$$); 

2) $$2x^{2}=x^{3}$$, $$2x^{2}-x^{3}=0$$, $$x^{2}(2-x)=0$$, откуда $$x=0$$ или $$x=2$$ (обе части равенства делить на $$x^{2}$$ нельзя, так как потеряем корень уравнения $$x=0$$).

1. Если $$\alpha$$ – угол между касательной и положительным направлением оси $$Ox$$, а $$x_0$$ – абсцисса точки касания, то угловой коэффициент касательной равен:
   $$k=\textrm{tg}\alpha=f'(x_0)$$. 
2. Производные:
   $$a'=0$$; $$x'=1$$; $$(x^a)'=\alpha\cdot x^{a-1}$$.

1. Найдем производную функции:
   $$y'=3'-(2x^3)'+(5x)'$$, $$y'=-6x^2+5$$. 
2. Запишем значение производной в точке касания $$(x_0; f(x_0))$$:
   $$f'(x_0)=-6x^2_0+5$$. 
3. Решим уравнение $$f'(x_0)=\textrm{tg}\alpha$$:
   $$-6x^2_0+5=\textrm{tg}135^{\circ}$$,
   $$-6x^2_0+5=\textrm{tg}(180^{\circ}-45^{\circ})$$,
   $$-6x^2_0+5=\textrm{tg}(-45^{\circ})$$,
   $$-6x^2_0+5=-1$$, $$6x^2_0=6$$,
   $$x^2_0=1$$, откуда $$x_0=1$$ или $$x_0=-1$$. 
4. Найдем сумму ординат точек касания:
   $$f(1)=3-2+5=6$$, $$f(-1)=3+2-5=0$$, $$f(1)+f(-1)=6+0=6$$.

Справедливо равенство: 

$$\textrm{tg}(\alpha \pm 180^{\circ}\cdot n) = \textrm{tg}\alpha$$, где $$n\in \textrm{Z}$$.

1. Правило дифференцирования:
   $$\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции. 
2. Производные элементарных функций:
   $$a'=0$$, $$x'=1$$;
   $$\left ( \sqrt{x} \right )'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$.

1. Найдем производную частного:
   $$y'=\frac{\left ( \sqrt{x} \right )'(5-x)-\sqrt{x}(5-x)'}{(5-x)^2}$$,
   $$y'=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot (5-x)-\sqrt{x}\cdot (-1)}{(5-x)^2}$$,
   $$y'= \frac{\frac{5-x}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}}{(5-x)^2}$$,
   $$y'= \frac{\frac{5-x+2x}{2\sqrt{x}}}{(5-x)^2}$$,
   $$y'= \frac{x+5}{2\sqrt{x}(5-x)^2}$$. 
2. Найдем произведение:
   $$y\cdot y'=\frac{\sqrt{x}}{5-x}\cdot \frac{x+5}{2\sqrt{x}(5-x)^2}$$,
   $$y\cdot y'=\frac{x+5}{2(5-x)^3}$$. 
3. Найдем значение выражения $$y\cdot y'$$ в точке $$x_0=4$$:
   $$\frac{4+5}{2(5-4)^3}=\frac{9}{2}=4,5$$.

1. $$(5-x)'=5'-x'=0-1=-1$$; 
2. $$(5\cdot x)'=5\cdot x'=5\cdot 1=5$$.

1. Правила дифференцирования:
   $$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$$, где $$k$$ – число;
   $$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$;
   $$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$. 
2. Производные:
   $$a'=0$$; $$x'=1$$.

1. Найдем производную функции:
   $$f^{'}(x)=\frac{(2x+5)^{'}\cdot (5-2x)-(2x+5)\cdot (5-2x)^{'}}{(5-2x)^{2}}$$,
   $$f^{'}(x)=\frac{2\cdot (5-2x)-(2x+5)\cdot (-2)}{(5-2x)^2}$$,
   $$f^{'}(x)=\frac{10-4x+4x+10}{(5-2x)^2}$$,
   $$f^{'}(x)=\frac{20}{(5-2x)^2}$$. 
2. Найдем значение выражения $$0,2f'(0)$$:
   $$0,2f'(0)=\frac{1}{5}\cdot \frac{20}{25}=0,16$$.

1) $$f(x_0)$$ – значение функции в точке $$x_{0}$$; 

2) $$f'(x_0)$$ – значение производной функции в точке $$x_{0}$$.

1. Формула двойного аргумента: 
   $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$.
2. Производная тригонометрической функции: 
   $$(\sin x)'=\cos x$$.

1. Преобразуем функцию:
   $$y=3\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$$,
   $$y=\frac{3}{2}\sin x$$.
2. Найдем производную функции:
   $$y'=1, 5(\sin x)'=1, 5\cos x$$. 
3. Так как $$-1\leq \cos x\leq 1$$, а $$-1, 5\leq 1, 5\cos x\leq 1, 5$$, то $$1, 5$$ – наибольшее, а $$-1, 5$$ – наименьшее значения производной.
   Тогда: $$1, 5-(-1, 5)=3$$.

Различайте значения производной и значения функции.

1. Определение степени:
   $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$; $$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{m}$$. 
2. Свойство степеней:
    $$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$. 
3. Правила дифференцирования:
   $$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$$, где $$k$$– число;
   $$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$. 
4. Производная степенной функции:
    $$(x^a)'=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$$.

1. Запишем функцию в виде:
   $$f(x)=\frac{2\sqrt{x}}{x^3}-\frac{3}{x^3}$$,
   $$f(x)=2x^{-\frac{5}{2}}-3x^{-3}$$. 
2. Найдем производную суммы:
   $$f'(x)=\left ( 2x^{-\frac{5}{2}} \right )'-(3x^{-3})'$$,
   $$f'(x)=2\cdot \left ( -\frac{5}{2} \right )x^{-\frac{5}{2}-1}-3\cdot (-3)x^{-3-1}$$,
   $$f'(x)=-5x^{-\frac{7}{2}}+9x^{-4}$$,
   $$f'(x)=-\frac{5}{\sqrt{x^{7}}}+\frac{9}{x^{4}}$$. 
3. Тогда, $$f'(1)=-5+9=4$$.

Функцию представили в виде суммы элементарных функций, выполнив почленное деление числителя дроби на ее знаменатель.