1. Если ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, то система совместная. 
2. Если ранг системы равен числу переменных, то система имеет единственное решение, а если ранг меньше числа переменных, то множество решений системы бесконечно.

1. Разделим второе уравнение системы на число $$2$$ и запишем ее в виде:
   $$\left\{\begin{array}{lr} x+3y+3z=2, \\ x+3y+3z=2 , \\ -x+y+3z=0 \end{array}\right. $$ или $$\left\{\begin{array}{lr} x+3y+3z=2 , \\ -x+y+3z=0. \\ \end{array}\right. $$. 
2. Так как $$r_{A}=r_{\tilde{A}}=2$$, то система совместная. 
3. Вычитая из первого уравнения системы второе, получим:
   $$2x+2y=2$$, откуда $$x+y=1$$.

Данная система совместная неопределенная, так как ранг системы меньше числа переменных.

1. Если ранг основной матрицы системы меньше ранга ее расширенной матрицы, то система несовместная.
2. Если ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, то система совместная.
3. Если ранг системы равен числу переменных, то система имеет единственное решение, а если ранг меньше числа переменных, то множество решений системы бесконечно.

1. Запишем систему в виде:
   $$\left\{\begin{array}{lr}4x+7y=1,\\5x-3y=-1.\end{array}\right.$$ 
2. Запишем основную и расширенную матрицы системы:
   $$A=\begin{bmatrix}4 & 7\\5 & -3\end{bmatrix}$$; $$Ã=\begin{bmatrix}4 & 7 & 1\\5 & -3 & -1\end{bmatrix}$$. 
3. Найдем минор второго порядка:
   $$\begin{vmatrix}4 & 7\\5 & -3\end{vmatrix}=-12-35=-47$$. 
4. Так как минор второго порядка не равен нулю, то $$r_A=r_Ã=2=n$$, где $$n$$ $$-$$ число переменных.
   Следовательно, система совместная определенная.

Система линейных алгебраических уравнений совместная, если ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.
Система несовместная, если ранг ее основной матрицы меньше ранга расширенной матрицы.

1. Запишем основную и расширенную матрицы системы:
   $$A=\begin{bmatrix}3 & 2\\3 & 2\end{bmatrix}$$; $$Ã=\begin{bmatrix}3 & 2 & 5\\3 & 2 & -5\end{bmatrix}$$. 
2. Так как $$\begin{vmatrix} 3 & 2\\3 & 2\end{vmatrix}=0$$, то ранг основной матрицы системы равен $$1$$.
3. Так как $$\begin{vmatrix} 3 & 5\\3 & -5\end{vmatrix}\neq0$$, то ранг расширенной матрицы системы равен $$2$$. 
4. Следовательно, система несовместная.

1. Если ранг основной матрицы системы меньше ранга ее расширенной матрицы, то система несовместная.
2. Если ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, то система совместная.
3. Если ранг системы равен числу переменных, то система имеет единственное решение, а если ранг меньше числа переменных, то множество решений системы бесконечно.

1. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециевидному виду:
   $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 & -1 & 2 & -2\\1 & -3 & 5 & -2 & 4\\2 & -2 & 3 & 1 & 7\\3 & -9 & 15 & -6 & 12\end{array}\right]$$; $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 & -1 & 2 & -2\\0 & 8 & -6 & 4 & -6\\0 & -12 & 5 & -3 & 11\\0 & 24 & -18 & 12 & -18\end{array}\right]$$; $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 & -1 & 2 & -2\\0 & 4 & -3 & 2 & -3\\0 & -12 & 5 & -3 & 11\\0 & 4 & -3 & 2 & -3\end{array}\right]$$; $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 & -1 & 2 & -2\\0 & 4 & -3 & 2 & -3\\0 & 0 & -4 & 3 & 2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$$; $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 & -1 & 2 & -2\\0 & 4 & -3 & 2 & -3\\0 & 0 & -4 & 3 & 2\end{array}\right]$$. 
2. Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, так как среди миноров третьего (высшего) порядка есть отличные от нуля, например,
   $$\begin{vmatrix} 1 & & -1\\0 & 4 & -3\\0 & 0 & -4\end{vmatrix}=-16$$.
   Так как ранг меньше числа переменных, то система совместная неопределенная.
3. Составим и решим систему уравнений:
   $$\left\{\begin{array}{lr} x_1+5x_2-x_3+2x_4=-2,\\4x_2-3x_3+2x_4=-3,\\-4x_3+3x_4=2.\end{array}\right.$$
   Полагая $$x_4=a$$, где $$a \in R$$, получим:
   $$\left\{\begin{array}{lr} x_1+5x_2-x_3+2a=-2,\\4x_2-3x_3+2a=-3,\\-4x_3+3a=2.\end{array}\right.$$ 
4. Найдем значение переменной $$x_3$$:
   $$4x_3=3a-2$$, откуда $$x_3=\frac{3a}{4}-\frac{1}{2}$$. 
5. Найдем значение переменной $$x_2$$:
   $$4x_2=-3-2a+\frac{9a}{4}-\frac{3}{2}$$, откуда $$x_2=\frac{a}{16}-{9}{8}$$. 
6. Найдем значение переменной $$x_1$$:
   $$x_1=-2-2a+\frac{3a}{4}-\frac{1}{2}-\frac{5a}{16}+\frac{45}{8}$$, откуда $$x_1=-\frac{25a}{16}+\frac{25}{8}$$.

1) умножать и делить все элементы строки на отличное от нуля число; 
2) менять местами строки;
3) складывать и вычитать соответственные элементы строк;
4) удалять строки, все элементы в которых нули.

1. Если ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, то система совместная.
2. Если ранг основной матрицы системы меньше ранга ее расширенной матрицы, то система несовместная.

1. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециевидному виду:
   $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 & -1 & 2 & -2\\1 & -3 & 5 & -2 & 4\\2 & -2 & 3 & 1 & 7\\3 & -9 & 15 & -6 & 0\end{array}\right]$$; $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 & -1 & 2 & -2\\0 & 8 & -6 & 4 & -6\\0 & -12 & 5 & -3 & 11\\0 & 24 & -18 & 12 & -6\end{array}\right]$$;
   $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 & -1 & 2 & -2\\0 & 4 & -3 & 2 & -3\\0 & -12 & 5 & -3 & 11\\0 & 4 & -3 & 2 & -1\end{array}\right]$$; $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 & -1 & 2 & -2\\0 & 4 & -3 & 2 & -3\\0 & 0 & -4 & 3 & 2\\0 & 0 & 0 & 0 & -2\end{array}\right]$$. 
2. Ранг основной матрицы системы равен $$3$$, так как минор четвертого порядка равен нулю, а среди миноров третьего порядка есть отличные от нуля, например,
   $$\begin{vmatrix}1 & 5 & -1\\0 & 4 & -3\\0 & 0 & -4\end{vmatrix}=-16$$. 
3. Ранг расширенной матрицы системы равен $$4$$, так как среди миноры четвертого порядка есть отличные от нуля, например,
   $$\begin{vmatrix}1 & 5 & -1 & -2\\0 & 4 & -3 & -3\\0 & 0 & -4 & 2\\0 & 0 & 0 & -2\end{vmatrix}=32$$.
4. Следовательно, система несовместная.

1. Система, которая имеет хотя бы одно решение, называется совместной.
2. Если система имеет только одно решение, то она называется определенной, а если имеет бесконечно много решений - неопределенной.
3. Система, которая не имеет ни одного решения, называется несовместной.
4. Если ранг основной матрицы системы не равен рангу ее расширенной матрицы, то система не совместная.
5. Если ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, то система совместная.
6. Если ранг равен числу переменных системы, то система имеет единственное решение, а если ранг меньше числа неизвестных, то множество решений системы бесконечно.

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -13 &-13 \\ 2& 3& -1 &4 \\ 1&2 & 2 & 5\\ 2 & 1&-11 &-8 \end{pmatrix}$$; $$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -13 &-13 \\ 0& 5& 25&30 \\ 0&3 & 15 & 18\\ 0 & 3&15 &18 \end{pmatrix}$$; $$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -13 &-13 \\ 0& 1& 5&6 \\ 0&1 & 5 & 6\\ 0 & 1&5 &6 \end{pmatrix}$$; $$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -13 & -13 \\ 0 & 1 & 5 & 6\end{pmatrix}$$.

Мы выполнили следующие преобразования матрицы:

1. Вторая строка: все элементы первой строки исходной матрицы умножили на число $$–2$$ и сложили их с соответствующими элементами второй строки.
2. Третья строка: из элементов третьей строки исходной матрицы вычли соответствующие элементы первой строки.
3. Четвертая строка: все элементы первой строки исходной матрицы умножили на число $$–2$$ и сложили их с соответствующими элементами четвертой строки.

1. Если ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, то система совместная.
2. Если ранг системы равен числу переменных, то система имеет единственное решение, а если ранг меньше числа переменных, то множество решений системы бесконечно.

1. Разделим третье уравнение системы на число $$2$$:
   $$\left\{\begin{array}{lr}4x+7y=0,\\5x-3y=0,\\4x+7y=0.\end{array}\right.$$ 
2. Запишем систему в виде:
   $$\left\{\begin{array}{lr}4x+7y=0,\\5x-3y=0.\end{array}\right.$$ 
3. Запишем основную и расширенную матрицы системы:
   $$A=\begin{bmatrix}4 & 7\\5 & -3\end{bmatrix}$$; $$Ã=\begin{bmatrix}4 & 7 & 0\\5 & -3 & 0\end{bmatrix}$$. 
4. Так как $$r_A=r_Ã=2$$ и число переменных равно $$2$$, то система совместная определенная.

1. Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу переменных системы, то система совместная определенная. 
2. Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, но меньше числа переменных системы, то система совместная неопределенная.

1. Запишем основную и расширенную матрицы системы:
   $$A=\begin{bmatrix}3 & 2 & -1\\3 & 2 & 1\end{bmatrix}$$; $$Ã=\begin{bmatrix}3 & 2 & -1 & 5\\3 & 2 & 1 & -5\end{bmatrix}$$. 
2. Наивысший порядок миноров этих матриц равен $$2$$.
   Среди миноров второго порядка найдется минор, не равный числу нуль.
   Например: $$\begin{vmatrix} 3 & -1\\3 & 1\end{vmatrix}\neq0$$.
   Следовательно, ранги основной и расширенной матриц системы равны $$2$$. 
3. Значит, система совместная. Но так как число переменных больше рангов матриц (система содержит $$3$$ переменные), то данная система неопределенная.

1. Если все свободные члены уравнений системы равны нулю, то такая система уравнений называется однородной. 
2. Однородная система линейных уравнений всегда имеет решение:
   а) единственное (все значения переменных равны нулю), когда она определенная;
   б) бесконечное множество решений, когда она неопределенная.
   

1. Найдем определитель основной матрицы системы: 
   $$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 2& -1 \\ 3& -1& 4 \end{vmatrix}$$, $$\left | A \right |=16-3+3+18-4-2=28\neq 0$$.

   Следовательно, система совместная определенная и имеет единственное решение: $$(0; 0; 0)$$.

2. Найдем значение выражения:
    $$\left | A \right |\cdot(x_{0} \cdot y_{0} \cdot z_{0})=0$$.

Однородная система линейных уравнений всегда совместна, но она может быть как определенной, так и неопределенной.

Система линейных алгебраических уравнений совместная, если ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.
Система линейных алгебраических уравнений несовместная, если ранг ее основной матрицы меньше ранга расширенной матрицы.

1. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециевидному виду:
   $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 1 & -4 & 0 & 1\\2 & 0 & -2 & 1 & 0\\3 & -1 & 0 & -1 & 2\end{array}\right]$$; $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 1 & -4 & 0 & 1\\0 & 2 & -6 & -1 & 2\\0 & 4 & -12 & 1 & 1\end{array}\right]$$; $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 1 & -4 & 0 & 1\\0 & 2 & -6 & -1 & 2\\0 & 0 & 0 & -3 3\end{array}\right]$$. 
2. Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, так как среди миноров третьего (высшего) порядка есть отличные от нуля, например,
   $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\0 & 2 & -1\\0 & 0 & -3\end{vmatrix}=-6$$.
   Так как ранг меньше числа переменных, то система совместная неопределенная.
3. Составим и решим систему уравнений:
   $$\left\{\begin{array}{lr} x_1+x_2-4x_3=1,\\2x_2-6x_3-x_4=2,\\x_4=-1;\end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{lr} x_1+x_2-4x_3=1,\\2x_2-6x_3=1,\\x_4=-1.\end{array}\right.$$ 
4. Полагая $$x_3=a$$, где $$a\in \textrm{R}$$, получим:
   $$\left\{\begin{array}{lr} x_1+x_2-4a=1,\\2x_2-6a=1,\\x_4=-1;\end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{lr} x_1+x_2-4a=1,\\x_2=0,5+3a,\\x_4=-1;\end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{lr} x_1=a=0,5,\\x_2=3a+0,5,\\x_4=-1.\end{array}\right.$$

1. Если ранг системы равен числу переменных, то система имеет единственное решение. 
2. Если ранг меньше числа переменных, то множество решений системы бесконечно.