Производная функции ИТ 2
Производная функции $$y=\textrm{sin}(2-t)$$, $$x=2\textrm{cos}(t-2)$$ имеет вид:
Производную функции $$\left\{\begin{matrix} x=f(t), & \\ y=g(t) & \end{matrix}\right.$$ находят по формуле:
$$y{}'_{x}=\frac{g{}'(t)}{f{}'(t)}$$.
Найдем производные:
$$y^{'}_{t}=\textrm{cos}(2-t)\cdot {(2-t)}'$$, $$y^{'}_{t}=-\textrm{cos}(2-t)$$;
$$x^{'}_{t}=-2\textrm{sin}(t-2)\cdot {(t-2)}$$, $$x^{'}_{t}=-2\textrm{sin}(t-2)$$.
Тогда: $$y_{x}{}'=\frac{y_{t}{}'}{x_{t}{}'}$$,
$$y_{x}{}'=\frac{-\textrm{cos}(2-t)}{-2\textrm{sin}(t-2)}$$,
$$y_{x}{}'=0,5\textrm{ctg}(t-2)$$.
Так как функция косинус четная, то $$\textrm{cos}(-x)=\textrm{cos}(x)$$.
Выберите один из вариантов
Значение производной функции $$2^{xy} =x^2 +4$$ в точке $$(−1 ;0 )$$ равно:
1. Правило дифференцирования:
$$(u \cdot v )′=u' v + uv'$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.
2. Производная сложной функции:
$$(a^{g (x )} ) ′=a^{g ( x )}\cdot \textrm{ln} a \cdot g ' ( x )$$.
$$(u \cdot v )′=u' v + uv'$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.
2. Производная сложной функции:
$$(a^{g (x )} ) ′=a^{g ( x )}\cdot \textrm{ln} a \cdot g ' ( x )$$.
Найдем производную левой и правой части данного равенства, учитывая, что $$y= f ( x )$$:
$$(2^{xy})′=(x^2+4)′$$,
$$2^{xy} \textrm{ln}2 (xy )′=2x$$,
$$2^{xy} \textrm{ln} 2 (1\cdot y+ x \cdot y' )=2 x$$.
При $$x=−1$$, $$y=0$$, получим:
$$2^0 \textrm{ln} 2 (0 -y ' ) =2$$, $$y'\textrm{ln}2 = 2$$, $$y'= \frac{2}{\textrm{ln}2}$$.
Чтобы найти производную неявной функции
$$F ( x ; y )=0$$, необходимо найти производные обеих частей равенства $$F ( x ; y )=0$$, считая, что $$x$$ – независимая переменная, а $$y$$ – зависимая от $$x$$ переменная, и из полученного уравнения выразить явно $$y'$$.
Выберите один из вариантов
Если неявная функция имеет вид $$5x^{2}-2xy=3+2y^{2}$$, то значение выражения $$y{}'_{x}$$ в точке $$A(1;2)$$ равно:
Чтобы найти производную $$y{}'$$ неявной функции $$F(x,y)=0$$, необходимо найти производные обеих частей равенства $$F(x;y)=0$$, считая, что $$x$$ - независимая переменная, а $$y$$ - зависимая от $$x$$ переменная, и из полученного уравнения выразить явно $$y{}'$$.
Найдем производные обеих частей данного равенства:
$${(5x^{2})}'-{(2xy)}'={3}'+{(2y^{2})}'$$,
$$10x-2({x}'y+x{y}')=0+4y\cdot {y}'$$,
$$10x-2(y+x{y}')=4y\cdot {y}'$$,
$$10x-2y-2x{y}'=4y{y}'$$.
Подставляя в последнее равенство значения $$x=1$$ и $$y=2$$, получим:
$$10-4-2y{}'=8y{}'$$, $$10y{}'=6$$, $$y{}'=0,6$$.
Правило дифференцирования:
$$\left (u\cdot v \right ){}'=u{}'v+uv{}'$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.
Введите ответ в поле
Дифференциал второго порядка функции $$y= \textrm{tg} x$$ имеет вид:
1. Производные функций:
$$( tgx )′= \frac {1}{cos^2 x}$$;
$$( f^n (g ( x ) ) )′=nf^{n−1} ( g ( x ) )\cdot g ' ( x )$$.
2. Дифференциал второго порядка функции $$y= f ( x )$$ :
$$d^2 y= f'' ( x ) dx^2$$.
$$( tgx )′= \frac {1}{cos^2 x}$$;
$$( f^n (g ( x ) ) )′=nf^{n−1} ( g ( x ) )\cdot g ' ( x )$$.
2. Дифференциал второго порядка функции $$y= f ( x )$$ :
$$d^2 y= f'' ( x ) dx^2$$.
1. Найдем производную первого порядка:
$$y '= \frac {1} {\textrm{cos}^2 x}$$; $$y'=\textrm{cos}^{−2}x$$.
2. Найдем производную второго порядка:
$$y''=−2\textrm{cos}^{−3} x\cdot (\textrm{cos} x )'$$ ; $$y''=−2\textrm{cos}^{−3}x\cdot (−\textrm{sin} x )$$; $$y''=\frac {2\textrm{sin}x}{\textrm{cos}^3x}$$.
3. Найдем дифференциал второго порядка:
$$d^2y= \frac {2 \textrm{sin} x} {\textrm{cos}^3 x} dx^2$$.
Дифференциал $$n$$-го порядка функции $$y= f(x)$$:
$$d^n y= f^{(n )} ( x ) dx^n$$.
$$d^n y= f^{(n )} ( x ) dx^n$$.
Выберите один из вариантов
Значение производной второго порядка функции $$y=\textrm{ln}\sqrt[4]{\frac{1-5x}{1+5x}}$$ в точке $$x=0$$ равно:
Производная сложной функции:
$$(ln(g(x)))'=\frac{1}{g(x)} \cdot g'(x)$$.
1. Преобразуем функцию:
$$y=ln(\frac{1-5x}{1+5x})^{\frac{1}{4}}$$,
$$y=\frac{1}{4}ln\frac{1-5x}{1+5x}$$,
$$y=\frac{1}{4}(ln-(1-5x)-ln(1+5x))$$.
2. Найдем производную первого порядка:
$$y'=\frac{1}{4}(\frac{(1-5x)'}{1-5x}-\frac{(1+5x)'}{1+5x})$$,
$$y'=\frac{1}{4}(\frac{-5}{1-5x}-\frac{5}{1+5x})$$,
$$y'=-\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{1-25x^2}$$.
3. Найдем производную второго порядка:
$$y''=\frac{5}{2}\cdot \frac{(1-25x^2)'}{(1-25x^2)^2}$$;
$$y''=\frac{5}{2}\cdot \frac{(-50x)}{(1-25x^2)^2}$$;
$$y''=-\frac{125x}{(1-25x^2)^2}$$.
4. Найдем значение производной второго порядка в точке $$x=0$$:
$$f''(0)=0$$ .
Свойства логарифмов:
$$lnx^n=n\cdot lnx$$;
$$ln\frac{x}{y}=lnx-lny$$.
Введите ответ в поле
Значение производной функции $$y=\left (2x-1 \right )^{2x}$$ в точке $$x=1$$ равно:
1. Чтобы найти производную показательно-степенной функции $$y=f(x)^{g(x)}$$ необходимо:
- 1) прологарифмировать обе части равенства $$y=f(x)^{g(x)}$$:
$$ln y= ln f(x)^{g(x)}$$;
2) согласно свойству логарифмов $$lnx^{n}=n \cdot lnx$$ записать:
$$ln y=g(x)ln f(x)$$;
3) найти производные левой и правой части последнего равенства:
$$(ln y)' =(g(x)ln f(x))'$$.
2. Производная сложной функции:
$$(ln(g(x)))'=\frac{1}{g(x)} \cdot g'(x)$$.
- Прологарифмируем обе части данного равенства:
$$ln y=\textrm{ln}(2x-1)^{2x}$$;
$$\textrm{ln} y=2x\cdot \textrm{ln}(2x-1)$$. - Найдем производные левой и правой части полученного равенства:
$${\left (\textrm{ln} y \right )}'={\left (2x \right )}'\cdot \textrm{ln}(2x-1)+2x\cdot {\left (\textrm{ln}(2x-1) \right ) }'$$;
$$\frac{y{}'}{y}=2\cdot \textrm{ln}(2x-1)+\frac{2x(2x-1)'}{2x-1}$$.
- Выразим явно $$y{}'$$:
$$y{}'= \left (\textrm{ln}(2x-1)^{2}+\frac{4x}{2x-1} \right ) \cdot (2x-1)^{2x}$$.
- Найдем значение производной функции в точке $$x=1$$:
$$y^{'}=(\textrm{ln}1+4)\cdot 1^{2}=4$$.
Различайте производные:
степенной функции $${\left (x^{a} \right )}'=a\cdot x^{a-1}$$;
показательной функции $${\left (a^{x} \right )}'=a^{x}\cdot lna$$;
показательно-степенной функции $$y= \left (f(x) \right )^{g(x)}$$.
Введите ответ в поле
Значение дифференциала функции $$y=\textrm{arctg}\sqrt x$$ в точке $$x=4$$ равно:
1. Производные функций:
$$(\textrm{arctg} f ( x ) )′ = \frac {f'x}{1+ f^2 ( x )}$$;
$$(\sqrt x )′= \frac {1} {2\sqrt x}$$.
2. Дифференциал первого порядка функции $$y= f ( x )$$:
$$dy= f ' ( x ) dx$$.
$$(\textrm{arctg} f ( x ) )′ = \frac {f'x}{1+ f^2 ( x )}$$;
$$(\sqrt x )′= \frac {1} {2\sqrt x}$$.
2. Дифференциал первого порядка функции $$y= f ( x )$$:
$$dy= f ' ( x ) dx$$.
1. Найдем производную функции:
$$y ' = \frac { (\sqrt x )′} {1+x}$$, $$y' = \frac {1}{2\sqrt {x} (1+x)}$$.
2. Найдем значение производной в точке $$x=4$$:
$$y ' ( 4 )= \frac {1} {2⋅2⋅5}=0,05$$.
3. Найдем дифференциал функции в точке $$x=4$$:
$$dy=0,05dx$$.
$$y ' = \frac { (\sqrt x )′} {1+x}$$, $$y' = \frac {1}{2\sqrt {x} (1+x)}$$.
2. Найдем значение производной в точке $$x=4$$:
$$y ' ( 4 )= \frac {1} {2⋅2⋅5}=0,05$$.
3. Найдем дифференциал функции в точке $$x=4$$:
$$dy=0,05dx$$.
Дифференциал $$n$$-го порядка функции $$y= f ( x )$$:
$$d^n y= f^{(n )} ( x ) dx^n$$.
$$d^n y= f^{(n )} ( x ) dx^n$$.
Выберите один из вариантов
Производная функции $$y=\textrm{ln}^2 (4 x )$$ в точке $$x=0,25$$ равна:
Производные сложных функций:
$$( f^n (g ( x ) ) )′=nf^{n−1} ( g ( x ) )\cdot g ' ( x)$$;
$$(\textrm{ln} ( g ( x ) ) )′= \frac {1}{g(x)} \cdot {g ' ( x )}$$.
$$( f^n (g ( x ) ) )′=nf^{n−1} ( g ( x ) )\cdot g ' ( x)$$;
$$(\textrm{ln} ( g ( x ) ) )′= \frac {1}{g(x)} \cdot {g ' ( x )}$$.
1. Найдем производную функции:
$$y ' = 2 \textrm{ln} 4 x \cdot (\textrm{ln}4 x )′$$,
$$y'=2 \textrm{ln} 4 x \cdot {\frac{(4x)'}{4x}}$$,
$$y' =\frac {2 \textrm{ln} 4 x}{x}$$.
2. Найдем значение производной в точке $$x=0,25$$:
$$f '(0,25 )= \frac {2 \textrm{ln} 1}{0,25}=0$$.
Свойства логарифмов:
$$\textrm{ln} {e}=1$$; $$\textrm{ln} {1}=0$$.
$$\textrm{ln} {e}=1$$; $$\textrm{ln} {1}=0$$.
Введите ответ в поле
Значение производной функции $$y=5 x ^ {\sqrt x }$$
в точке $$x=1$$ равно:
1. Чтобы найти производную показательно-степенной функции $$y= f ( x )^{g(x)}$$ необходимо:
1) прологарифмировать обе части данного равенства:
$$\textrm{ln} y=\textrm{ln} f ( x )^{g ( x )}$$;
2) применить свойство логарифмов:
$$\textrm{ln} y=g ( x ) \textrm{ln} f ( x )$$;
3) найти производные левой и правой части полученного равенства:
$$(\textrm{ln} y )′= (g ( x ) \textrm{ln} f ( x ) )′$$.
1. Прологарифмируем обе части равенства $$y=5 x ^{\sqrt x}$$:
$$\textrm{ln} y= \textrm{ln}5 x\sqrt x$$; $$\textrm{ln} y= \textrm{ln}5+ \textrm{ln} x\sqrt x$$, $$\textrm{ln} y=\textrm{ln}5+\sqrt x \textrm{ln} x$$.
2. Найдем производные левой и правой части полученного равенства:
$$\frac {y '}{y}=0+\frac {\textrm{ln} x }{2\sqrt x}+\frac {\sqrt x}{x}$$; $$\frac {y '}{y}=\frac {\textrm{ln} x }{2\sqrt x}+\frac {1}{\sqrt x}$$; $$\frac {y '}{y}=\frac {\textrm{ln} x +2}{2\sqrt x}$$.
3. Выразим явно $$y'$$:
$$y ' =\frac {(\textrm{ln} x+2 ) y}{2\sqrt x}$$, $$y'=\frac {5 x^{\sqrt x} (\textrm{ln} x+2 )}{2\sqrt x}$$.
4. Найдем значение производной в точке $$х = 1$$:
$$y ' (1 )=\frac {5(0+2)}{2}=5$$.
1. Производная сложной функции:
$$(\textrm{ln} (g(x)))′=\frac{1}{g(x)} \cdot g'(x)$$.
2. Свойство логарифмов:
$$\textrm{log}_ax^n=n \textrm{log} _ax$$.
Введите ответ в поле
Производная второго порядка функции $$y=\textrm{cos}3x+\textrm{log}_{2}15^{x}$$ имеет вид:
- Правила дифференцирования:$$ (k \cdot(f(x))'=k \cdot f(x)' $$, где $$k$$ – число;$$(u+v)'= u' +v'$$, где $$u=f_{1}(x)$$, $$v=f_{2}(x)$$.
- Производные сложных функций:
$${\left (sin g\left ( x \right ) \right )}'=cos g\left ( x \right )\cdot g{}'(x)$$,
$${\left (cos g\left ( x \right ) \right )}'=-sin g\left ( x \right )\cdot g{}'(x).$$
- Свойство логарифмов:
$$log_{a}x^{n}=nlog_{a}x$$.
- Запишем функцию в виде:
$$y=cos3x+xlog_{2}15$$.
- Найдем производную первого порядка:
$$y{}'=-sin3x\cdot {\left (3x \right )}'+log_{2}15\cdot x{}'$$,
$$y'=-3sin3x+log_{2}15$$. - Найдем производную второго порядка:
$$y{}'{}'={\left (-3sin3x \right )}'+{\left (log_{2}15 \right )}'$$,
$$y''=-3cos3x\cdot(3x){}'+0$$,
$$y''=-9cos3x$$.
Производной второго порядка (второй производной) функции $$y=f(x)$$ называют производную ее первой производной и записывают:
$$y{}''=(f{}'(x)){}'$$.
Выберите один из вариантов