1. Производные функций:
   $$(\textrm{tg}x )′= \frac {1}{\cos^2 x}$$;
   $$( f^n (g ( x ) ) )′=n\cdot f^{n−1} ( g ( x ) )\cdot g ' ( x )$$.
2. Дифференциал второго порядка функции $$y= f ( x )$$:
   $$d^2 y= f'' ( x ) dx^2$$.

1. Найдем производную первого порядка:
   $$y '= \frac {1} {\textrm{cos}^2 x}$$; $$y'=\textrm{cos}^{−2}x$$. 
2. Найдем производную второго порядка:
   $$y''=−2\textrm{cos}^{−3} x\cdot (\textrm{cos} x )'$$;
   $$y''=−2\textrm{cos}^{−3}x\cdot (−\textrm{sin} x )$$;
   $$y''=\frac {2\textrm{sin}x}{\textrm{cos}^3x}$$. 
3. Найдем дифференциал второго порядка:
   $$d^2y= \frac {2 \textrm{sin} x} {\textrm{cos}^3 x} dx^2$$.

1) прологарифмировать обе части данного равенства: $$\textrm{ln} y=\textrm{ln} f ( x )^{g ( x )}$$;
2) применить свойство логарифмов: $$\textrm{ln} y=g ( x ) \textrm{ln} f ( x )$$;
3) найти производные левой и правой части полученного равенства:
$$(\textrm{ln} y )′= \left(g ( x )\cdot \textrm{ln} f ( x ) \right)′$$.

1. Прологарифмируем обе части равенства $$y=5 x ^{\sqrt x}$$:
   $$\textrm{ln} y= \textrm{ln}\left(5\cdot x^{\sqrt x}\right)$$,
   $$\textrm{ln} y= \textrm{ln} 5+ \textrm{ln} x^{\sqrt x}$$,
   $$\textrm{ln} y=\textrm{ln} 5+\sqrt x\cdot \textrm{ln} x$$. 
2. Найдем производные левой и правой части полученного равенства:
   $$\frac {y '}{y}=0+\frac {\textrm{ln} x }{2\sqrt x}+\frac {\sqrt x}{x}$$,
   $$\frac {y '}{y}=\frac {\textrm{ln} x }{2\sqrt x}+\frac {1}{\sqrt x}$$,
   $$\frac {y '}{y}=\frac {\textrm{ln} x +2}{2\sqrt x}$$. 
3. Выразим явно $$y'$$:
   $$y ' =\frac {(\textrm{ln} x+2 ) y}{2\sqrt x}$$,
   $$y'=\frac {5 x^{\sqrt x} (\textrm{ln} x+2 )}{2\sqrt x}$$. 
4. Найдем значение производной в точке $$x= 1$$:
    $$y ' (1 )=\frac {5\cdot (0+2)}{2}=5$$.

1. Производная сложной функции:
   $$(\textrm{ln} g(x))′=\frac{1}{g(x)} \cdot g'(x)$$. 
2. Свойство логарифмов:
   $$\textrm{log}_ax^n=n \textrm{log} _ax$$.

1. $$( f^n (g ( x ) ) )′=n\cdot f^{n−1} ( g ( x ) )\cdot g ' ( x)$$; 
2. $$(\textrm{ln} g ( x ))′= \frac {1}{g(x)} \cdot {g ' ( x )}$$.

1. Найдем производную функции:
   $$y ' = 2 \textrm{ln} 4 x \cdot (\textrm{ln}4 x )′$$,
   $$y'=2 \textrm{ln} 4 x \cdot {\frac{(4x)'}{4x}}$$,
   $$y' =\frac {2 \textrm{ln} 4 x}{x}$$. 
2. Найдем значение производной в точке $$x=0,25$$:
   $$f '(0,25 )= \frac {2 \textrm{ln} 1}{0,25}=0$$.

1. $$\textrm{ln} {e}=1$$; 
2. $$\textrm{ln} {1}=0$$.

1. Производные функций:
   $$(\textrm{arctg} f (x))′ = \frac {f'(x)}{1+ f^2 ( x )}$$;
   $$(\sqrt x )′= \frac {1} {2\sqrt x}$$. 
2. Дифференциал первого порядка функции $$y= f ( x )$$:
   $$dy= f ' ( x ) dx$$.

1. Найдем производную функции:
   $$y ' = \frac { (\sqrt x )′} {1+x}$$, $$y' = \frac {1}{2\sqrt {x} (1+x)}$$. 
2. Найдем значение производной в точке $$x=4$$:
   $$y ' ( 4 )= \frac {1} {2⋅2⋅5}=0,05$$. 
3. Найдем дифференциал функции в точке $$x=4$$:
   $$dy=0,05dx$$.

1) прологарифмировать обе части равенства $$y=f(x)^{g(x)}$$: 
$$\ln y= \ln f(x)^{g(x)}$$; 
2) согласно свойству логарифмов $$\ln x^{n}=n \cdot \ln x$$ записать: 
$$\ln y=g(x)\cdot \ln f(x)$$;
3) найти производные левой и правой части последнего равенства: 
$$(\ln y)' =(g(x)\cdot \ln f(x))'$$.

1. Прологарифмируем обе части данного равенства:

   $$\ln y=\textrm{ln}(2x-1)^{2x}$$;  
   $$\textrm{ln} y=2x\cdot \textrm{ln}(2x-1)$$.

2. Найдем производные левой и правой части полученного равенства:

   $${\left (\textrm{ln} y \right )}'={\left (2x \right )}'\cdot \textrm{ln}(2x-1)+2x\cdot {\left (\textrm{ln}(2x-1) \right ) }'$$; 

   $$\frac{y{}'}{y}=2\cdot \textrm{ln}(2x-1)+\frac{2x(2x-1)'}{2x-1}$$.

3. Выразим явно $$y{}'$$:

   $$y{}'= \left (\textrm{ln}(2x-1)^{2}+\frac{4x}{2x-1} \right ) \cdot (2x-1)^{2x}$$.

4. Найдем значение производной функции в точке $$x=1$$:

   $$y^{'}=(\textrm{ln}1+4)\cdot 1^{2}=4$$.

1. степенной функции $${\left (x^{a} \right )}'=a\cdot x^{a-1}$$; 
2. показательной функции $${\left (a^{x} \right )}'=a^{x}\cdot lna$$; 
3. показательно-степенной функции $$y= \left (f(x) \right )^{g(x)}$$.

1. Правило дифференцирования:
   $$(u \cdot v )′=u' \cdot v + u\cdot v'$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции. 
2. Производная сложной функции:
   $$(a^{g (x )} ) ′=a^{g ( x )}\cdot \textrm{ln} a \cdot g ' ( x )$$.

1. Найдем производную левой и правой части данного равенства, учитывая, что $$y= f (x)$$:
   $$(2^{xy})′=(x^2+4)′$$,
   $$2^{xy}\cdot \textrm{ln}2\cdot (xy )′=2x$$,
   $$2^{xy} \cdot\textrm{ln} 2 \cdot(1\cdot y+ x \cdot y' )=2 x$$. 
2. При $$x=−1$$, $$y=0$$, получим:
    $$2^0\cdot \textrm{ln} 2\cdot (0 -y ') =2$$, $$y'\cdot \textrm{ln} 2 = 2$$, $$y'= \frac{2}{\textrm{ln} 2}$$.

1. Преобразуем функцию:
    $$y=\ln\left(\frac{1-5x}{1+5x}\right)^{\frac{1}{4}}$$, $$y=\frac{1}{4}\ln\frac{1-5x}{1+5x}$$,
    $$y=\frac{1}{4}\left(\ln(1-5x)-\ln(1+5x)\right)$$. 
2. Найдем производную первого порядка:
    $$y'=\frac{1}{4}\left(\frac{(1-5x)'}{1-5x}-\frac{(1+5x)'}{1+5x}\right)$$,
    $$y'=\frac{1}{4}\left(\frac{-5}{1-5x}-\frac{5}{1+5x}\right)$$,
    $$y'=-\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{1-25x^2}$$. 
3. Найдем производную второго порядка:
    $$y''=\frac{5}{2}\cdot \frac{(1-25x^2)'}{(1-25x^2)^2}$$,
    $$y''=\frac{5}{2}\cdot \frac{(-50x)}{(1-25x^2)^2}$$,
    $$y''=-\frac{125x}{(1-25x^2)^2}$$. 
4. Найдем значение производной второго порядка в точке $$x=0$$:
   $$f''(0)=0$$.

1. $$\ln{x^n}=n\cdot \ln x$$; 
2.  $$\ln\frac{x}{y}=\ln x-\ln y$$.

1. Правила дифференцирования:
   $$ (k \cdot(f(x))'=k \cdot f(x)' $$, где $$k$$ – число;
    $$(u+v)'= u' +v'$$, где $$u=f_{1}(x)$$, $$v=f_{2}(x)$$.
2. Производные сложных функций:

   $${\left (\sin g(x) \right )}'=\cos g(x)\cdot g{}'(x)$$;

   $${\left (\cos g(x) \right )}'=-\sin g(x)\cdot g{}'(x)$$.

3. Свойство логарифмов:

   $$\textrm{log}_{a}x^{n}=n\cdot \textrm{log}_{a}x$$.

1. Запишем функцию в виде:

   $$y=\cos3x+x\textrm{log}_{2}15$$.

2. Найдем производную первого порядка:

   $$y{}'=-\sin 3x\cdot {\left (3x \right )}'+\textrm{log}_{2}15\cdot x{}'$$,
   $$y'=-3sin3x+log_{2}15$$.

3. Найдем производную второго порядка:

   $$y{}'{}'={\left (-3\sin 3x \right )}'+{\left (\textrm{log}_{2}15 \right )}'$$,
   $$y''=-3\cos 3x\cdot(3x){}'+0$$, $$y''=-9\cos 3x$$.

Производной второго порядка (второй производной) функции $$y=f(x)$$ называют производную ее первой производной и записывают: 

$$y{}''=(f{}'(x)){}'$$.

1. Найдем производные функций $$y=g(t)$$ и $$x=f(t)$$:
   1) $$y^{'}_{t}=\textrm{cos}(2-t)\cdot {(2-t)}'$$, $$y^{'}_{t}=-\textrm{cos}(2-t)$$;
   2) $$x^{'}_{t}=-2\textrm{sin}(t-2)\cdot {(t-2)}$$, $$x^{'}_{t}=-2\textrm{sin}(t-2)$$.
2. Найдем производную $$y_{x}{}'$$: 
   $$y_{x}{}'=\frac{y_{t}{}'}{x_{t}{}'}$$,
   $$y_{x}{}'=\frac{-\textrm{cos}(2-t)}{-2\textrm{sin}(t-2)}$$,
   $$y_{x}{}'=0,5\textrm{ctg}(t-2)$$.

1. Найдем производные обеих частей данного равенства:
   $${(5x^{2})}'-{(2xy)}'={3}'+{(2y^{2})}'$$,
   $$10x-2({x}'y+x{y}')=0+4y\cdot {y}'$$,
   $$10x-2(y+x{y}')=4y\cdot {y}'$$,
   $$10x-2y-2x{y}'=4y{y}'$$. 
2. Подставляя в последнее равенство значения $$x=1$$ и $$y=2$$, получим:
   $$10-4-2y{}'=8y{}'$$, $$10y{}'=6$$, $$y{}'=0,6$$.