Загрузка

Исследование функции с помощью производной

Количество критических точек функции $$f(x)= \frac{2x}{5-x}$$ равно:
Критическими точками функции называют те значения аргумента, при которых производная функции равна нулю или не существует.
Критические точки функции находят, решая уравнение:

 $${f}'(x)=0$$.

Найдем производную функции:
$${f}'(x)=\frac{{(2x)}'(5-x)-(2x){(5-x)}'}{(5-x)^2}$$,
$${f}'(x)=\frac{2\cdot (5-x)-2x(-1)}{(5-x)^2}$$,
$${f}'(x)=\frac{10}{(5-x)^{2}}$$.
Решим уравнение:

 $$\frac{10}{(5-x)^2}=0$$,

откуда  $$x\neq 5$$

Следовательно, $$x=5$$ – критическая точка функции.

$$\left (\frac{u}{v} \right ){}'=\frac{u{}'v-uv{}'}{v^2}$$,

где $$u=f_{1}(x)$$ , $$v=f_{2}(x)$$ .

Введите ответ в поле
Если $$k$$  количество критических точек функции $$y=(6-x)\sqrt{x}$$, а $$m$$  количество целых чисел, принадлежащих промежутку возрастания функции, то сумма чисел $$k$$ и $$m$$ равна:
1. Критическими точками функции называют те значения аргумента, при которых производная функции равна нулю или не существует.
2. Функция возрастает на промежутке $$(a;b)$$, если $$f^{'}(x)>0$$ $$\forall x \in (a;b)$$.
1. Запишем область определения данной функции:
$$x \in [ 0; +\infty)$$.
2. Найдем производную функции:
$$y^{'}=-\sqrt{x}+\frac{6-x}{2\sqrt{x}}$$,
$$y^{'}=\frac{-3x+6}{2\sqrt{x}}$$.
3. Найдем критические точки функции:
$$\frac{-3x+6}{2\sqrt{x}}=0$$, откуда 
$$x=2$$ и $$x \neq 0$$.
4. Нанесем критические точки на область определения функции и установим знаки производной функции на полученных промежутках (рис. 3).
Функция возрастает на промежутке $$(0;2)$$.
5. Тогда, $$k+m=2+1=3$$.
                                                             
$$(u \cdot v)^{'}=u^{'}v+uv^{'}$$, где $$u=f_{1}(x)$$, $$v=f_{2}(x)$$.
Выберите один из вариантов
Произведение наибольшего и наименьшего значений функции $$y=x\cdot ln x$$  на отрезке $$[1;e^2]$$  равно:
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $$y=f(x)$$ на заданном отрезке: 
1) находим производную функции;
2) находим критические точки функции, решая уравнение $$f{}'(x)=0$$;
3) находим значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку;
4) определяем наибольшее и наименьшее значение функции. 
1. Найдем производную данной функции:

 $$y{}'=x{}'\cdot ln x+x\cdot (lnx){}'$$,

$$y{}'=1\cdot lnx+x\cdot \frac{1}{x}$$,

$$y{}'=lnx+1.$$

2. Найдем критические точки функции, решая уравнение:

 $$lnx+1=0$$,

 $$lnx=-1$$,

 $$x=e^{-1}=\frac{1}{e}$$.

3. Найдем значение функции на концах отрезка $$[1;e^2]$$ и в критической точке $$x=e^{-1}$$, поскольку она принадлежит данному отрезку:

 $$f(1)=1\cdot ln1=0,$$

 $$f(e^{-1})=e^{-1}lne^{-1}=-\frac{1}{e}$$,

 $$f(e^2)=e^2ine^2=2e^2$$.

4. Наибольшее значение функции на заданном отрезке равно $$2e^2$$, наименьшее – равно $$-\frac{1}{e}$$, а их произведение равно  $$-2e$$.
1. Правило дифференцирования:

 $$(u \cdot v){}'={u{}'v+uv{}'}$$,

 где $$u=f_{1}(x) , v=f_{2}(x) .$$

2. Если основание логарифма равно $$e\approx 2,7$$ , то записывают:

 $$log_{e}b=lnb$$

Читают: натуральный логарифм числа $$b$$
3. Справедливы равенства:

 $$ln1=0$$;

 $$lne=1$$;

 $$lne^{2}=2$$;

 $$lne^{-1}=-1$$.

Выберите один из вариантов
Функция $$y=\frac{2x+1}{x-2}$$ убывает на промежутке:
Функция убывает на промежутке $$(a;b)$$, если 
$$f^{'}(x)<0$$  $$\forall x \in (a;b)$$.
1. Запишем область определения данной функции:
$$x \in R/x \neq 2$$.
2. Найдем производную функции:
$$y^{'}=\frac{(2x+1)^{'}(x-2)-(2x+1)(x-2)^{'}}{(x-2)^{2}}$$,
$$y^{'}=\frac{2 \cdot (x-2)-1 \cdot (2x+1)}{(x-2)^{2}}$$,
$$y^{'}=\frac{-5}{(x-2)^{2}}$$.
3. Чтобы найти промежутки убывания функции, необходимо решить неравенство:
$$\frac{-5}{(x-2)^{2}}<0$$, которое справедливо на всей области определения данной функции. 
Следовательно, $$x \in (- \infty ;2) \cup (2; + \infty)$$.

$$\left (\frac{u}{v} \right ){}'=\frac{u{}'v-uv{}'}{v^2}$$,

где $$u=f_{1}(x)$$ , $$v=f_{2}(x)$$ .

Выберите один из вариантов
Функция $$y=arcctg\sqrt{x}$$ вогнута на промежутке:
Функция вогнула (выпукла вниз) на промежутке $$(a;b)$$, если $$f^{''}(x)>0$$ $$\forall x \in (a;b)$$.
1. Запишем область определения данной функции:
$$x \in [0;+\infty)$$.
2. Найдем первую производную функции:
$$y^{'}=-\frac{5(\sqrt{x})^{'}}{1+x}$$,
$$y^{'}=-\frac{5}{2\sqrt{x}(1+x)}$$.
3. Найдем вторую производную функции:
$$y^{''}=\frac{5(\sqrt{x}(1+x))^{'}}{2x(1+x)^{2}}$$,
$$y^{''}=\frac{5}{2x(1+x)^{2}} \cdot \frac{1+3x}{2\sqrt{x}}$$,
$$y^{''}=\frac{5(1+3x)}{4x\sqrt{x}(1+x)^{2}}$$.
4. Решим неравенство:
$$\frac{5(1+3x)}{4x\sqrt{x}(1+x)^{2}}>0$$.
С учетом области определения функции получим:
$$x \in (0; +\infty)$$.
$$(\sqrt{x}(1+x))^{'}=(\sqrt{x})^{'}(1+x)+\sqrt{x}(1+x)^{'}$$,
$$(\sqrt{x}(1+x))^{'}=\frac{1+x}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}$$,
$$(\sqrt{x}(1+x))^{'}=\frac{1+3x}{2\sqrt{x}}$$.
Выберите один из вариантов
Наибольшее целое значение, принадлежащее промежутку, на котором функция $$y=\frac{x^3}{3}-9x^2+\frac{x}{4}-9$$ выпукла, равно:
Если на некотором промежутке выполняется неравенство $$f{}''(x)>0$$ , то функция $$y=f(x)$$ вогнута на этом промежутке, а если $$f{}''(x)<0$$ , то функция выпукла на этом промежутке.
1. Найдем первую производную функции: 
$$y{}'=\left (\frac{1}{3}x^3 \right ){}'-\left (9x^2 \right ){}'+\left (\frac{1}{4}x \right ){}'-9{}'$$,
$$y{}'=x^2-18x+\frac{1}{4}$$.
2. Найдем вторую производную функции:

 $$y{}''=(x^2-18x+0,25){}'$$,

$$y{}''=2x-18$$.

3. Решим неравенство:

 $$2x-18<0$$,

 $$x<9$$.

4. Запишем:

 $$x=8$$.

Находя промежутки выпуклости и вогнутости  функции, мы определяем на промежутках знаки ее второй производной.

Введите ответ в поле
Функция $$y=2x^2+5x-4$$  не возрастает на промежутке:
Достаточное условие возрастания (убывания) функции: 
а) если на заданном промежутке $$f{}'(x)>0$$  , то функция $$y=f(x)$$  возрастает на этом промежутке;
б) если $$f{}'(x)<0$$ , то функция $$y=f(x)$$ убывает на этом промежутке.
Найдем производную функции:

 $$y{}'=4x+5$$.

Чтобы найти промежутки не возрастания функции, необходимо решить неравенство:
$$4x+5\leq 0$$ , откуда $$x\leq -1,25$$ .
Функция  $$y=f(x)$$ не возрастает, если $$f{}'(x)\leq 0$$  и не убывает, если $$f{}'(x)\geq 0$$ .
Выберите один из вариантов
Количество точек перегиба графика функции $$y=\frac{x^5}{20}-\frac{x^4}{12}+240x-480$$ равно:
Критическими точками второго рода функции $$y=f(x)$$ называют те значения аргумента, при которых вторая производная этой функции равна нулю или не существует.
Критические точки второго рода функции $$y=f(x)$$ находят, решая уравнение:

 $$f{}''(x)=0$$.

Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная функции меняет знак, то имеем точку перегиба
1. Найдем первую производную функции:

$$y{}'=\frac{5x^4}{20}-\frac{4x^3}{12}+240$$,

$$y{}'=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+240$$.

2. Найдем вторую производную функции:

$$y{}''=$$$$\frac{4x^3}{4}-\frac{3x^2}{3}$$,

$$y{}''=x^3-x^2$$.

3. Найдем критические точки второго рода:

$$x^{3}-x^{2}=0$$,

$$x^{2}(x-1)=0$$,

откуда $$x=0$$ (двукратный корень) и $$x=1$$.

4. Нанесем точки $$0$$ и $$1$$ на область определения данной функции и установим знаки ее второй производной на полученных промежутках (рис. 4). 
Следовательно, $$x=1$$ – точка перегиба. 

Точки перегиба необходимо искать среди критических точек второго рода. 
Но не всякая такая точка может быть точкой перегиба.

Введите ответ в поле

Значение функции $$y=3x^{5}-20x^{3}+16$$ в точке максимума равно:

Алгоритм нахождения точек экстремума функции $$y=f(x)$$:
1) находим область определения функции;
2) находим производную функции;
3) находим критические точки функции, решая уравнение $$f^{'}(x)=0$$;
4) наносим критические точки на область определения функции;
5) определяем знак производной функции на полученных промежутках;
6) определяем точки экстремума функции по правилу:
если при переходе через критическую точку производная изменяет знак с $$"+"$$ на $$"-"$$, то имеем точку максимума, если с $$"-"$$ на $$"+"$$, то имеем точку минимума.
1. Запишем область определения данной функции:
$$x \in R$$.
2. Найдем производную функции:
$$y^{'}=15x^{4}-60x^{2}$$.
3. Найдем критические точки функции:
$$15x^{4}-60x^{2}=0$$,
$$x^{2}(x^{2}-4)=0$$, откуда
$$x_{1,2}=0$$, $$x_{3}=-2$$, $$x_{4}=2$$.
4. Нанесем критические точки на координатную прямую и установим знаки производной функции на полученных промежутках (рис. 2).
Точки экстремума:
$$x_{max}=-2$$;
$$x_{min}=2$$.
5. Найдем значение функции в точке максимума:
$$f(-2)=-96+160+16=80$$.
                                                                     
Так как число $$0$$ двукратный корень уравнения $$y^{'}=0$$, то при переходе через точку $$x=0$$ производная функции не изменяет свой знак.
Введите ответ в поле
Значение функции $$y=15x^3+9x^2-12$$ в точке минимума равно:
Максимумом (минимумом) функции  $$y=f(x)$$ называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех ее других значений в окрестности рассматриваемой точки. 
Максимум и минимум функции называют экстремумом функции
Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называют точкой экстремума
Алгоритм нахождения точек экстремума функции $$y=f(x)$$:
1) находим область определения функции;
2) находим производную функции;
3) находим критические точки функции, решая уравнение $$f{}'(x)=0$$;
4) наносим критические точки на область определения функции;
5) определяем знак производной функции на полученных промежутках;
6) определяем точки экстремума функции по правилу: 
если при переходе через критическую точку производная изменяет знак c «+» на «–», то имеем точку максимума, а если с «–» на «+», то имеем точку минимума.
1. Запишем область определения данной функции:

 $$x \in R$$.

2. Найдем производную функции:

 $$y{}'=45x^2+18x$$.

3. Найдем критические точки функции:

 $$45x^2+18x=0$$,

 $$x(45x+18)=0$$, 

откуда $$x=0$$ и $$x=-0,4$$

4. Нанесем числа $$0$$ и $$–0,4$$ на координатную прямую и установим знаки производной функции на полученных промежутках.
Согласно рисунку 1, запишем:

 $$x_{max}=-0,4$$$$x_{min}=0.$$

5. Найдем значение функции в точке минимума:

 $$f(0)=-12$$  .

1. Точки экстремума функции необходимо искать среди ее критических точек. 
Но не каждая критическая точка может быть точкой экстремума. 
2. Находя точки экстремума, мы определяем на промежутках знаки производной функции, а не самой функции.
Выберите один из вариантов