Дифференциальные уравнения первого порядка ИТ 2
Общее решение уравнения $$y+y'+2x=5$$ имеет вид:
- Дифференциальное линейное уравнение первого порядка имеет вид:
$$y'+p(x)y+q(x)=0$$. - Чтобы решить это уравнение, необходимо применить подстановку:
$$y=uv$$, $$y'=u'v+uv'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$.
- Полагая $$y=uv$$, $$y'=u'v+uv'$$, получим: $$uv+u'v+uv'=5-2x$$.
- Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель $$u$$, и вынесем $$u$$ за скобки:
$$u(v'+v)+u'v=5-2x$$. - Если положим $$v'+v=0$$, то получим систему уравнений:
$$\begin{cases} v'+v=0, \\ u'v=5-2x .\end{cases}$$ - Решим первое уравнение системы:
$$\frac{dv}{dx}=-v$$, $$\frac{dv}{v}=-dx$$, $$\int \frac{dv}{v}=-\int dx$$, $$\ln v=-x$$, $$v=e^{-x}$$. - Подставим значение $$v=e^{-x}$$ во второе уравнение системы:
$$\frac{e^{-e}du}{dx}=5-2x$$, $$du=(5-2x)e^xdx$$, $$u=\int(5-2x)e^xdx$$. - Применим формулу интегрирования по частям, полагая:
1) $$5-2x=U$$, откуда $$-2dx=dU$$;
2) $$dV=e^xdx$$, откуда $$V=e^x$$.
Найдем интеграл:
$$u=(5-2x)e^x+2\int e^xdx$$, $$u=(5-2x)e^x+2e^x+C$$, $$u=(7-2x)e^x+C$$. - Учитывая, что $$y=uv$$, найдем общее решение уравнения:
$$y=7-2x+Ce^{-x}$$.
Формула интегрирования по частям:
- $$\int UdV=UV- \int VdU$$.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$y=xy'-x\textrm{tg}\frac{y}{x}$$ имеет вид:
- Дифференциальное однородное уравнение первого порядка имеет вид:
$$P(x,y)dx=Q(x,y)dy$$,
где $$P(x,y)$$ и $$Q(x,y)$$ однородные функции одного и того же порядка:
$$P(kx,ky)=k^nP(x,y)$$ и $$Q(kx,ky)=k^nQ(x,y)$$. - Чтобы решить это уравнение, необходимо применить подстановку:
$$y=ux$$, $$dy=udx+xdu$$, где $$u=f(x)$$.
Запишем уравнение в виде:
$$\frac{xdy}{dx}=y+x\textrm{tg}\frac{y}{x}$$, $$xdy=\left (y+x\textrm{tg}\frac{y}{x} \right )dx$$.
Имеем однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
$$\frac{xdy}{dx}=y+x\textrm{tg}\frac{y}{x}$$, $$xdy=\left (y+x\textrm{tg}\frac{y}{x} \right )dx$$.
Имеем однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
- Полагая $$y=ux$$, $$dy=udx+xdu$$, получим:
$$x(udx+xdu)=(ux+x\textrm{tg} u)dx$$, $$x(udx+xdu)=x(u+\textrm{tg} u)dx$$,
$$udx+xdu=(u+\textrm{tg} u)dx$$, $$xdu=(u-u+\textrm{tg} u)dx$$, $$xdu=\frac{\sin u dx}{\cos u}$$. - Разделим переменные и проинтегрируем полученное равенство:
$$\frac{\cos u du}{\sin u}=\frac{dx}{x}$$, $$\int \frac{\cos u d(\sin u)}{\sin u\cos u}=\int \frac{dx}{x}$$,
$$\int \frac{d(\sin u)}{\sin u}=\int \frac{dx}{x}$$, $$\ln (\sin u)=\ln x+\ln C$$,
$$\ln (\sin u)=\ln Cx$$, $$\sin u=Cx$$. - Учитывая, что $$y=ux$$, а $$u=\frac{y}{x}$$, получим:
$$\sin\frac{y}{x}=Cx$$.
Функции $$P(x;y)=x$$ и $$Q(x;y)=y+x\textrm{tg}\frac{y}{x}$$ являются однородными функциями первого порядка, так как:
- 1) $$P(kx)=kx=kP(x)$$;
2) $$Q(kx;ky)=ky+kx\textrm{tg}\frac{ky}{kx}$$, $$Q(kx;ky)=k\left (y+x\textrm{tg}\frac{y}{x} \right)$$, $$Q(kx;ky)=kQ(x;y)$$.
Выберите один из вариантов
Решением дифференциального уравнения $$y'-3x(x^2-1)=\frac{xy}{x^2-1}$$ является функция:
Подстановка:
- $$y=uv$$, $$y'=u'v+uv'$$,
где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$.
- Полагая $$y=uv$$, $$y'=u'v+uv'$$, получим:
$$u'v+uv'-3x(x^2-1)=\frac{xuv}{x^2-1}$$. - Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель $$u$$, и вынесем его из скобок:
$$u'v+u\left (v'-\frac{xv}{x^2-1} \right )=3x(x^2-1)$$. - Если положим $$v'-\frac{xv}{x^2-1}=0$$ (1), то получим:
$$u'v=3x(x^2-1)$$ (2). - Решим уравнение (1):
$$\frac{dv}{dx}=\frac{xv}{x^2-1}$$, $$\frac{dv}{v}=\frac{xdx}{x^2-1}$$,
$$\int \frac{dv}{v}=\int \frac{xd(x^2-1)}{(x^2-1)2x}$$, $$\ln v=\frac{1}{2}\ln (x^2-1)$$,
$$v=(x^2-1)^{0,5}$$. - Подставим полученное значение $$v=(x^2-1)^{0,5}$$ в уравнение (2) и решим его:
$$\frac{du}{dx}(x^2-1)^{0,5}=3x(x^2-1)$$, $$du=3x(x^2-1)^{0,5}dx$$,
$$\int du=\int \frac{3x(x^2-1)^{0,5}}{2x}d(x^2-1)$$, $$u=\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}(x^2-1)^{1,5}+C$$,
$$u=(x^2-1)^{1,5}+C$$. - Так как $$y=uv$$, то получим:
$$y=(x^2-1)^2+C\sqrt{x^2-1}$$.
Решая первое уравнение системы всегда полагаем $$C=0$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$xy'+y=2x-1$$, удостоверяющее начальным условиям $$y(1)=0$$, имеет вид:
- Дифференциальное линейное уравнение первого порядка имеет вид:
$$y'+p(x)y+q(x)=0$$. - Чтобы решить это уравнение, необходимо применить подстановку:
$$y=u\cdot v$$, $$y'=u'v+uv'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$.
- Полагая $$y=uv$$, $$y'=u'v+uv'$$, получим:
$$x(u'v+uv')+uv=2x-1$$, $$xu'v+xuv'+uv=2x-1$$. - Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель $$u$$, и вынесем $$u$$ за скобки:
$$xu'v+(xuv'+uv)=2x-1$$, $$u(xv'+v)+xu'v=2x-1$$. - Если положим $$xv'+v=0$$, то получим $$0+xu'v=2x-1$$.
- Запишем систему уравнений:
$$\begin{cases} xv'+v=0, \\ xu'v=2x-1.\end{cases}$$ - Решим первое уравнение системы:
$$\frac{xdv}{dx}=-v$$, $$xdv=-vdx$$, $$\frac{dv}{v}=-\frac{dx}{x}$$,
$$\int \frac{dv}{v}=-\int \frac{dx}{x}$$, $$\ln v=-\ln x$$, $$\ln v=\ln x^{-1}$$, $$v=x^{-1}$$. - Подставим значение $$v=x^{-1}$$ во второе уравнение системы:
$$xu'x^{-1}=2x-1$$, $$u'=2x-1$$, $$\frac{du}{dx}=2x-1$$,
$$du=(2x-1)dx$$, $$\int du= \int(2x-1)dx$$, $$u=x^2-x+C$$. - Так как $$y=uv$$, то получим общее решение уравнения:
$$y=(x^2-x+C)x^{-1}$$, откуда $$y=x-1+Cx^{-1}$$. - Найдем значение произвольной постоянной, при условии, что $$y(1)=0$$:
$$0=1-1+C$$, откуда $$C=0$$. - Запишем частное решение уравнения: $$y=x-1$$.
Решить задачу Коши – значит найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям $$y(x_0)=y_0$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y'+y=e^x$$ имеет вид:
- Дифференциальное линейное уравнение первого порядка имеет вид:
$$y'+p(x)y+q(x)=0$$. - Чтобы решить это уравнение, необходимо применить подстановку:
$$y=uv$$, $$y'=u'v+uv'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$.
- Полагая $$y=uv$$, $$y'=u'v+uv'$$, получим:
$$u'v+uv'+uv=e^x$$. - Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель $$u$$, и вынесем его из скобок:
$$u'v+(uv'+uv)=e^x$$, $$u'v+u(v'+v)=e^x$$. - Если положим $$v'+v=0$$, то получим:
$$u'v=e^x$$. - Запишем систему уравнений:
$$\begin{cases} v'+v=0, \\ u'v=e^x. \end{cases}$$ - Решим первое уравнение системы:
$$\frac{dv}{dx}=-v$$, $$dv=-vdx$$, $$\frac{dv}{v}=-dx$$,
$$\int \frac{dv}{v}=-\int dx$$, $$\ln v=-x$$, $$v=e^{-x}$$. - Подставим полученное значение $$v=e^{-x}$$ во второе уравнение системы и решим его:
$$u'e^{-x}=e^x$$, $$\frac{du}{dx}=e^{2x}$$,
$$du=e^{2x}dx$$, $$\int du=\frac{1}{2}\int e^{2x}d2x$$,
$$u=0,5e^{2x}+C$$. - Так как $$y=uv$$, то получим:
$$y=0,5e^x+Ce^{-x}$$.
$$y'=\frac{dy}{dx}$$, $$u'=\frac{du}{dx}$$, $$v'=\frac{dv}{dx}$$.
Выберите один из вариантов
Частное решение уравнения $$2x^2y'=x^2+y^2$$, удовлетворяющее начальным условиям $$y(1)=0$$, имеет вид:
- Дифференциальное однородное уравнение имеет вид:
$$P(x,y)dx=Q(x,y)dy$$,
где $$P(x,y)$$ и $$Q(x,y)$$ однородные функции одного и того ж порядка:
$$P(kx,ky)=k^n P(x,y)$$ и $$Q(kx,ky)=k^nQ(x,y)$$. - Чтобы решить это уравнение, необходимо применить подстановку:
$$y=u\cdot x$$, $$dy=udx+xdu$$, где $$u=f(x)$$.
- Запишем уравнение в виде:
$$\frac{2x^2dy}{dx}=x^2+y^2$$, $$2x^2dy=(x^2+y^2)dx$$. - Имеем однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Полагая $$y=u\cdot x$$, $$dy=udx+xdu$$, получим:
$$2x^2(udx+xdu)=(x^2+u^2x^2)dx$$, $$2x^2(udx+xdu)=x^2+(1+u^2)dx$$,
$$2udx+2xdu=(1+u^2)dx$$, $$2xdu=(u^2-2u+1)dx$$, $$2xdu=(u-1)^2dx$$. - Разделим переменные и проинтегрируем полученное равенство:
$$\frac{2du}{(u-1)}^2=\frac{dx}{x}$$,
$$\int \frac{2d(u-1)}{(u-1)^2}=\int \frac{dx}{x}$$,
$$-\frac{2}{u-1}=\ln x+C$$. - Учитывая, что $$u=\frac{y}{x}$$, найдем общее решение данного уравнения:
$$\frac{2x}{x-y}=\ln x+C$$. - Зная, что $$y(1)=0$$, найдем произвольную постоянную:
$$\frac{2}{1-0}=\ln 1+C$$, откуда $$C=2$$. - Запишем частное решение уравнения:
$$\frac{2x}{x-y}=\ln x+2$$.
Функции $$P(x;y)=2x^2$$ и $$Q(x;y)=x^2+y^2$$ являются однородными функциями второго порядка, так как:
- $$P(kx;ky)=2k^2x^2=k^2P(x;y)$$,
$$Q(kx;ky)=k^2x^2+k^2y^2=k^2(x^2+y^2)=k^2Q(x;y)$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$x^2y'+2xy-1=0$$ имеет вид:
- Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:
$$y'+p(x)y+q(x)=0$$. - Чтобы решить это уравнение, необходимо применить подстановку:
$$y=u\cdot v$$, $$y'=u'v+uv'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$.
Имеем дифференциальное линейное уравнение первого порядка.
- Полагая $$y=uv$$, $$y'=u'v+uv'$$, получим:
$$x^2(u'v+uv')+2xuv=1$$, $$x^2u'v+x^2uv'+2xuv=1$$, $$x^2u'v+ux(xv'+2v)=1$$. - Полагая $$xv'+2v=0$$, получим: $$x^2u'v=1$$.
- Решим уравнение $$xv'+2v=0$$:
$$\frac{xdv}{dx}=-2v$$; $$xdv=-2vdx$$;
$$\frac{dv}{v}=\frac{-2dx}{x}$$; $$\int \frac{dv}{v}=-2\int \frac{dx}{x}$$;
$$\ln v=-2\ln x$$; $$v=x^{-2}$$. - Решим уравнение $$x^2u'v=1$$:
$$x^2u'x^{-2}=1$$; $$\frac{du}{dx}=1$$; $$\int du=\int dx$$; $$u=x+C$$. - Запишем общее решение уравнения:
$$y=uv$$; $$y=(x+C)x^{-2}$$.
Свойство логарифмов:
- $$\textrm{log}_ax^n=n\cdot\textrm{log}_ax$$.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$xyy'=x^2-y^2$$ имеет вид:
- Дифференциальное однородное уравнение имеет вид:
$$P(x,y)dx=Q(x,y)dy$$,
где $$P(x,y)$$ и $$Q(x,y)$$ однородные функции одного и того же порядка:
$$P(kx,ky)=k^nP(x,y)$$ и $$Q(kx,ky)=k^nQ(x,y)$$. - Чтобы решить это уравнение, необходимо применить подстановку:
$$y=ux$$, $$dy=udx+xdu$$, где $$u=f(x)$$.
Запишем уравнение в виде:
$$\frac{xydy}{dx}=x^2-y^2$$, $$xydy=(x^2-y^2)dx$$.
Имеем однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
$$\frac{xydy}{dx}=x^2-y^2$$, $$xydy=(x^2-y^2)dx$$.
Имеем однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
- Полагая $$y=ux$$, $$dy=udx+xdu$$, получим:
$$x^2u(udx+xdu)=(x^2-u^2x^2)dx$$, $$x^2u(udx+xdu)=x^2(1-u^2)dx$$,
$$u^2dx+xudu=(1-u^2)dx$$, $$xudu=(1-u^2)dx-u^2dx$$,
$$xudu=(1-2u^2)dx$$. - Разделим переменные и проинтегрируем полученное равенство:
$$\frac{udu}{1-2u^2}=\frac{dx}{x}$$, $$\int \frac{ud(1-2u^2)}{(1-2u^2)(-4u)}=\int \frac{dx}{x}$$,
$$-\frac{1}{4}\ln \left(1-2u^2\right)=\ln Cx$$, $$\ln \left(1-2u^2\right)=-4\ln Cx$$,
$$\ln \left(1-2u^2\right)=\ln (Cx)^{-4}$$, $$1-2u^2=\frac{1}{(Cx)^4}$$,
$$u^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(Cx)^4}$$. - Учитывая, что $$u=\frac{y}{x}$$, получим:
$$\frac{y^2}{x^2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(Cx)^4}$$,
$$y^2=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2C^4x^2}$$.
Функции $$P(x;y)=2xy$$ и $$Q(x;y)=x^2-y^2$$ являются однородными функциями второго порядка, так как:
- 1) $$P(kx;ky)=2kxky$$,
$$P(kx;ky)=k^2(2xy)$$,
$$P(kx;ky)=k^2P(x;y)$$;
2) $$Q(kx;ky)=k^2x^2-k^{2}y^{2}$$, $$Q(kx;ky)=k^2(x^2-y^2)$$, $$Q(kx;ky)=k^2Q(x;y)$$.
Выберите один из вариантов