Табличные интегралы:

$$\int \frac{dx}{cos^2x}=tgx+C;$$

$$\int \frac{dx}{sin^2x}=-ctgx+C.$$

1. Преобразуем подынтегральную функцию:
   $$\frac{1}{sin^2xcos^2x}=\frac{sin^2x+cos^2x}{sin^2xcos^2x}=$$

$$=\frac{sin^2x}{sin^2xcos^2x}+\frac{cos^2x}{sin^2xcos^2x}=$$$$\frac{1}{cos^2x}+\frac{1}{sin^2x}.$$

2. Найдем сумму интегралов:
   
   $$\int \frac{dx}{cos^2x}+ \int \frac{dx}{sin^2x}=tgx-ctgx+C.$$

Тригонометрическое тождество:
$$sin^2x+cos^2x=1.$$

$$\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}ln\frac{\left | x-a \right |}{\left |x+a \right |}+C$$

$$\int \frac{dx}{9\left ( x^2-\frac{4}{9} \right )}=\frac{1}{9}\int \frac{dx}{x^2-\left (\frac{2}{3} \right )^2}=$$

$$=\frac{1}{9}\cdot \frac{3}{4}ln$$$$\left |\frac{x-\frac{2}{3}}{x+\frac{2}{3}} \right |+C=$$$$\frac{1}{12}ln \left |\frac{3x-2}{3x+2} \right |+C.$$

Этот интеграл можно найти по формуле

$$\int \frac{dx}{x^2-1}=\frac{1}{2a}ln\frac{\left | x-1 \right |}{\left |x+1 \right |}+C,$$ если поступить так:

$$\int \frac{dx}{4\left(\frac{9x^2}{4}-1 \right)}= \frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}\int \frac{d(\frac{3x}{2})}{\left (\frac{3x}{2}\right)^2-1} =$$

$$=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2} ln \left |\frac{\frac{3x}{2}-1}{\frac{3x}{2}+1} \right |+C= \frac{1}{12}ln \left |\frac{3x-2}{3x+2} \right |+C.$$

Формула интегрирования по частям:
$$\int udv=uv-\int vdu,$$
где $$u=f_{1}(x),$$ а $$v=f_{2}(x)$$ – дифференцируемые функции.

Табличные интегралы:

$$\int sinxdx=-cosx+C;$$

$$\int cosxdx=sinx+C.$$

Полагая $$x=u,$$ а $$sinxdx=dv,$$ получим:

1. $$x{}'dx=u{}'du,$$ $$dx=du;$$
2. $$\int sinxdx=\int dv$$ $$-cosx=v.$$

$$\int xsinxdx=-xcosx+\int cosxdx=-xcosx+sinx+C.$$

Метод интегрирования по частям применяют в случае, когда подынтегральная функция является трансцендентной функцией или представляет собою произведение алгебраической и трансцендентной функций.
В качестве $$u$$ обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, а в качестве $$dv$$– оставшаяся часть подынтегрального выражения, обязательно содержащая $$dx.$$

Формула преобразования дифференциала:

$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}.$$

Табличный интеграл:

$$\int sinxdx=-cosx+C.$$

Изменяя дифференциал, получим:

$$\int \frac{xsin(x^2+2)d(x^2+2)}{(x^2+2){}'}=$$$$\int \frac{xsin(x^2+2)d(x^2+2)}{2x}=$$
$$=\frac{1}{2}\int sin(x^2+2)d(x^2+2)=-\frac{1}{2}cos(x^2+2)+C.$$

Этот интеграл можно найти и методом подстановки, если положить:

$$t=x^2+2.$$

1. Формула квадрата разности:

   $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$

2. Свойства интегралов:

   $$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx,k\neq 0;$$

   $$\int \left (f_{1}(x)\pm f_{2}(x) \right )dx=\int f_{1}(x)dx\pm \int f_{2}(x)dx .$$

3. Табличные интегралы:

   $$\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C;$$

   $$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.$$

1. Преобразуем подынтегральную функцию:
   $$\frac{1-2x+x^2}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}- \frac{2x}{\sqrt{x}}+\frac{x^2}{\sqrt{x}}=$$

   $$=\frac{1}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}+x\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}-2x^\frac{1}{2}+x^\frac{3}{2}.$$

2. Найдем сумму интегралов:
   $$\int \frac{dx}{\sqrt{x}}-2\int x^\frac{1}{2}dx+\int x^\frac{3}{2}dx=$$

   $$=2\sqrt{x}-2\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+C=$$$$2\sqrt{x}-\frac{4}{3}x^\frac{3}{2}+\frac{2}{5}x^\frac{5}{2}+C.$$

Метод непосредственного интегрирования применяют в случае, когда возможен переход непосредственно к одному или нескольким простейшим интегралам.

Формула понижения степени:

$$cos^2 x=\frac{1}{2}(1+cos2x).$$

Табличные интегралы:

$$\int dx=x+C$$;

$$\int cos xdx =sinx+C.$$

$$\int 2cos ^{2} \frac{x}{2} dx= \int (1+cosx)dx=$$$$\int dx+\int cosxdx=x+sinx+C.$$

Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.

$$\int dx=x+C;$$

$$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.$$

Положим $$\sqrt{x+12}=t$$ и преобразуем это равенство:

$$x+12=t^2,$$ $$x=t^2-12.$$

Продифференцируем последнее равенство:

$${x}'dx = (t^2-12){}'dt,$$ $$dx =2tdt.$$

Подставляя $$\sqrt{x+12}=t$$ $$,x=t^2-12$$ $$dx=2tdt,$$ получим:

$$I=\int \frac{(t^2-12)2tdt}{t}=\int (2t^2-24)dt=$$

$$=\int 2t^2dt-\int 24dt=$$$$\frac{2t^3}{3}-24t+C.$$

Учитывая, что $$t=\sqrt{x+12}$$, запишем:

$$I=\frac{2}{3}\sqrt{(x+12)^3}-24\sqrt{x+12}+C.$$

Подстановка выполняется по формуле:

$$\int f(x)dx=\int f(g(t))g{}'(t)dt,$$
где $$x=g(t)$$ – дифференцируемая функция переменной $$t.$$

Формула преобразования дифференциала:

$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}.$$

Табличный интеграл:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C.$$

$$\int \frac{2x^2d(x^3-3)}{\sqrt{x^3-3}(x^3-3){}'}=$$$$\int \frac{2x^2d(x^3-3)}{3x^2\sqrt{x^3-3}}=$$

$$=\frac{2}{3}\int \frac{d(x^3-3)}{ \sqrt{x^3-3}}=\frac{4}{3}\sqrt{x^3-3}+C.$$

Этот интеграл можно найти и методом подстановки, если положить:

$$t=x^3-3.$$

1. Формула разности квадратов:

   $$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

2. Свойства интегралов:

   $$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx,k\neq 0;$$

   $$\int \left (f_{1}(x)\pm f_{2}(x) \right )dx=\int f_{1}(x)dx\pm \int f_{2}(x)dx.$$

3. Табличные интегралы:

   $$\int dx=x+C ;$$

   $$\int e^x dx=e^x+C.$$

1. Преобразуем подынтегральную функцию:

   $$\frac{25-e^{2x}}{5+e^x}=\frac{(5-e^x)(5+e^x)}{5+e^x}=5-e^x.$$

2. Получим:

   $$\int \left (5-e^x \right )dx=\int 5dx-\int e^xdx =5x-e^x+C.$$

Многие интегралы можно найти непосредственно, если предварительно преобразовать подынтегральную функцию.

Формула интегрирования по частям:

$$\int udv=uv-\int vdu$$.

Формула преобразования дифференциала:

$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}.$$

Табличный интеграл:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C.$$

Полагая $$arccosx=u,$$ а $$dx=dv,$$ получим:

1. $$\left ( arccosx \right ){}'dx=u{}'du,$$ $$- \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=du;$$
2. $$\int dx=\int dv,$$ $$x=v.$$

Интеграл $$\int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}$$ можно найти методом подстановки, если положить: $$t=1-x^2.$$