Методы интегрирования ИТ
Найдите интеграл $$\int \frac{x}{\sqrt{x+12}} dx$$:
- $$\int dx=x+C$$;
- $$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$.
- Положим $$\sqrt{x+12}=t$$ и преобразуем это равенство:
$$\left(\sqrt{x+12}\right)^2=t^2$$, $$x+12=t^2$$, $$x=t^2-12$$. - Продифференцируем равенство $$x=t^2-12$$:
$${x}'dx = (t^2-12){}'dt$$, $$dx =2tdt$$. - Подставляя $$\sqrt{x+12}=t$$, $$x=t^2-12$$, $$dx=2tdt$$, получим:
$$I=\int \frac{(t^2-12)2tdt}{t}=\int (2t^2-24)dt$$,
$$I=\int 2t^2dt-\int 24 dt$$,
$$I=\frac{2t^3}{3}-24t+C$$. - Учитывая, что $$t=\sqrt{x+12}$$, запишем:
$$I=\frac{2}{3}\sqrt{(x+12)^3}-24\sqrt{x+12}+C$$.
Подстановка выполняется по формуле:
$$\int f(x)dx=\int f(g(t))g{}'(t)dt$$,
где $$x=g(t)$$ – дифференцируемая функция переменной $$t$$.
Найдите интеграл $$\int \frac{dx}{\sin^2x\cos^2x}$$:
Табличные интегралы:
$$\int \frac{dx}{\cos^2x}=\textrm{tg}x+C$$;
$$\int \frac{dx}{\sin^2x}=-\textrm{ctg}x+C$$.
- Преобразуем подынтегральную функцию:
$$f(x)=\frac{1}{\sin^2x\cos^2x}$$, $$f(x)=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x\cos^2x}$$, - Найдем сумму интегралов:$$\int \frac{dx}{\cos^2x}+ \int \frac{dx}{\sin^2x}=\textrm{tg}x-\textrm{ctg}x+C$$.
$$f(x)=\frac{\sin^2x}{\sin^2x\cos^2x}+\frac{\cos^2x}{\sin^2x\cos^2x}$$, $$f(x)=\frac{1}{\cos^2x}+\frac{1}{\sin^2x}$$.
Тригонометрическое тождество:
$$\sin^2x+\cos^2x=1$$.
Найдите интеграл $$\int \frac{(25-e^{2x})dx}{5+e^x}$$:
- Формула разности квадратов:
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$.
- Свойства интегралов:
$$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx,k\neq 0$$;
$$\int \left (f_{1}(x)\pm f_{2}(x) \right )dx=\int f_{1}(x)dx\pm \int f_{2}(x)dx$$. - Табличные интегралы:
$$\int dx=x+C $$;
$$\int e^x dx=e^x+C$$.
- Преобразуем подынтегральную функцию:
$$f(x)=\frac{25-e^{2x}}{5+e^x}$$,
$$f(x)=\frac{(5-e^x)(5+e^x)}{5+e^x}$$,
$$f(x)=5-e^x$$. - Получим:
$$I=\int \left (5-e^x \right )dx=\int 5dx-\int e^xdx$$,
$$I =5x-e^x+C$$.
Многие интегралы можно найти непосредственно, если предварительно преобразовать подынтегральную функцию.
Найдите интеграл $$\int \frac{dx}{9x^2-4}$$:
$$\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\textrm{ln}\frac{\left | x-a \right |}{\left |x+a \right |}+C$$
- Приведем интеграл к виду $$\int \frac{dx}{x^2-a^2}$$:
$$I=\int \frac{dx}{9\left (x^2-\frac{4}{9} \right )}$$,
$$I=\frac{1}{9}\int \frac{dx}{x^2-\left (\frac{2}{3} \right )^2}$$. - Применим формулу $$\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\textrm{ln}\frac{\left | x-a \right |}{\left |x+a \right |}+C$$:
$$I=\frac{1}{9}\cdot \frac{3}{4}\textrm{ln}\left|\frac{x-\frac{2}{3}}{x+\frac{2}{3}}\right|+C$$,
$$I=\frac{1}{12}\textrm{ln} \left |\frac{3x-2}{3x+2} \right |+C$$.
Получим:
- $$I=\int \frac{dx}{4\left(\frac{9x^2}{4}-1 \right)}$$,
$$I= \frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}\int \frac{d(\frac{3x}{2})}{\left (\frac{3x}{2}\right)^2-1}$$,
$$I=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2} \textrm{ln} \left |\frac{\frac{3x}{2}-1}{\frac{3x}{2}+1} \right |+C$$,
$$I= \frac{1}{12}\textrm{ln} \left |\frac{3x-2}{3x+2} \right |+C$$.
Найдите интеграл $$\int x\sin(x^2+2)dx$$:
- Формула преобразования дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}$$. - Табличный интеграл:
$$\int \sin{x}dx=-\cos{x}+C$$.
- Полагая $$g(x)=x^2+2$$ и изменяя дифференциал, получим:
$$I=\int \frac{x\sin(x^2+2)d(x^2+2)}{(x^2+2){}'}$$,
$$I=\int \frac{x\sin(x^2+2)d(x^2+2)}{2x}$$,
$$I=\frac{1}{2}\int \sin(x^2+2)d(x^2+2)$$. - Применим табличный интеграл $$\int \sin{x}dx=-\cos{x}+C$$:
$$I=-\frac{1}{2}\cos(x^2+2)+C$$.
Этот интеграл можно найти и методом подстановки, если положить:
$$t=x^2+2$$.
Найдите интеграл $$\int \frac{(1-x)^2}{\sqrt{x}}dx$$:
- Формула квадрата разности:
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$.
- Свойства интегралов:
$$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$$, $$k\neq 0$$;
$$\int \left (f_{1}(x)\pm f_{2}(x) \right )dx=\int f_{1}(x)dx\pm \int f_{2}(x)dx$$.
- Табличные интегралы:
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C$$;
$$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$.
- Преобразуем подынтегральную функцию:
$$f(x)=\frac{1-2x+x^2}{\sqrt{x}}$$,
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}- \frac{2x}{\sqrt{x}}+\frac{x^2}{\sqrt{x}}$$,$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}+x\sqrt{x}$$,
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-2x^\frac{1}{2}+x^\frac{3}{2}$$. - Найдем сумму интегралов:
$$I=\int \frac{dx}{\sqrt{x}}-2\int x^\frac{1}{2}dx+\int x^\frac{3}{2}dx$$,$$I=2\sqrt{x}-2\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+C$$,
$$I=2\sqrt{x}-\frac{4}{3}x^\frac{3}{2}+\frac{2}{5}x^\frac{5}{2}+C$$.
Найдите интеграл $$\int x\sin{x}dx$$:
- Формула интегрирования по частям:
$$\int udv=uv-\int vdu$$,
где $$u=f_{1}(x)$$, $$v=f_{2}(x)$$ – дифференцируемые функции. - Табличные интегралы:
$$\int \sin{x}dx=-\cos{x}+C$$,
$$\int \cos{x}dx=\sin{x}+C$$.
- Полагая $$x=u$$, а $$\sin{x}dx=dv$$, получим:
$$x{}'dx=u{}'du$$, $$dx=du$$;
$$\int \sin{x}dx=\int dv$$, $$-\cos{x}=v$$. - Применим формулу интегрирования по частям:
$$I=\int x\sin{x}dx=-x\cos{x}+\int \cos{x}dx$$,
$$I=-x\cos{x}+\sin{x}+C$$.
- Метод интегрирования по частям применяют в случае, когда подынтегральная функция является трансцендентной функцией или представляет собою произведение алгебраической и трансцендентной функций.
- В качестве $$u$$ выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, а в качестве $$dv$$– оставшаяся часть подынтегрального выражения, обязательно содержащая $$dx$$.
- Формула понижения степени:
$$\cos^2 x=\frac{1}{2}(1+\cos 2x)$$. Табличные интегралы:
$$\int dx=x+C$$;
$$\int \cos {x}dx =\sin{x}+C$$.
- Применим формуле понижения степени:
$$I=\int 2\cos ^{2} \frac{x}{2} dx$$, $$I= \int (1+\cos{x})dx$$. - Найдем интеграл суммы:
$$I=\int dx+\int \cos{x}dx$$, $$I=x+\sin{x}+C$$.
Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.
Найдите интеграл $$\int \frac{2x^2dx}{\sqrt{x^3-3}}$$:
- Формула преобразования дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}$$. - Табличный интеграл:
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C$$.
- Полагая $$g(x)=x^3-3$$, изменим форму дифференциала:
$$I=\int \frac{2x^2dx}{\sqrt{x^3-3}}$$,
$$I=\int \frac{2x^2d(x^3-3)}{\sqrt{x^3-3}\cdot (x^3-3)'}$$,
$$I=\int \frac{2x^2d(x^3-3)}{\sqrt{x^3-3}\cdot 3x^2}$$,
$$I=\frac{2}{3}\int \frac{d(x^3-3)}{ \sqrt{x^3-3}}$$. - Получили табличный интеграл $$\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C$$.
Следовательно, $$I=\frac{4}{3}\sqrt{x^3-3}+C$$.
Этот интеграл можно найти и методом подстановки, если положить:
$$t=x^3-3$$.
Найдите интеграл $$\int \textrm{arccos}xdx$$:
- Формула интегрирования по частям:
$$\int udv=uv-\int vdu$$. - Формула преобразования дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}$$.
Табличный интеграл:
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C$$.
- Полагая $$\textrm{arccos}x=u$$, а $$dx=dv$$, получим:
$$\left (\textrm{arccos}x \right ){}'dx=u{}'du$$, $$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=du$$;
$$\int dx=\int dv$$, $$x=v$$. - Применим формулу интегрирования по частям:
$$I=\int \textrm{arccos}xdx=x \textrm{arccos}x+\int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}$$. - Полагая $$g(x)=1-x^2$$, применим формулу преобразования дифференциала:
$$I=x\textrm{arccos}x+\int \frac{xd(1-x^2)}{-2x\sqrt{1-x^2}}$$,
$$I=x\textrm{arccos}x-\frac{1}{2}\int \frac{d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}$$. - Применяя табличный интеграл $$\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C$$, получим:
$$I=x\textrm{arccos}x-\sqrt{1-x^2}+C$$.
Интеграл $$\int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}$$ можно найти методом подстановки, если положить:
$$t=1-x^2$$.